Вероятность значений поля

[venco]

Выбор системы координат на площадь не влияет. Метрика - влияет.

Хм... Мы по-видимому говорим о разных вещах. Выбор системы координат в моем случае однозначно подразумевает метрику. По крайней мере так было задумано.

Метрика - заданная функция расстояния между любыми точками: distance(x, y), где x, y - любые точки (сами точки, а не их координаты).
Систему координат можно выбрать любую. Площадь от этого не изменится.
Например, площадь сферы с расстоянием определённым как R*angle(x, y), где angle(x, y) - величина угла x0y из центра, будет всегда 4*Pi*R, не зависимо от того, какую систему координат вы выберете.

[venco]

С точки зрения здравого смысла, площадь можно посчитать так:
покроем всё, что надо, например, воском одной толщины, взвесим воск, и поделим на толщину и плотность.

[venco]

Выбор системы координат в моем случае однозначно подразумевает метрику.

Вот ещё пример для прояснения ситуации.
У нас есть сфера (глобус).
На сфере - фигура (Россия).
У этой фигуры есть площадь (не помню).
Если вы теперь будете считать параллели и меридианы не от северного/южного полюсов, а от западного/восточного, площадь просто обязана сохраниться - это свойство поверхности (метрика) и фигуры на этой поверхности..

Похоже, вы путаете площадь самой фигуры и площадь её отображения на плоской карте. Площадь на карте действительно зависит от выбора системы координат этой карты. Но это именно площадь изображения, а не самой фигуры.

[AndreyT]

Выбор системы координат на площадь не влияет. Метрика - влияет.

Хм... Мы по-видимому говорим о разных вещах. Выбор системы координат в моем случае однозначно подразумевает метрику. По крайней мере так было задумано.

Метрика - заданная функция расстояния между любыми точками: distance(x, y), где x, y - любые точки (сами точки, а не их координаты).

Ну так не надо забывать, что определить "расстояние" можно множеством принципиально различных способов. В этом, собсвенно, вся и соль.

Систему координат можно выбрать любую. Площадь от этого не изменится.

Неверно. Все завысит от определения понятий "расстояния" и, соответсвенно, "площади" в данной метрике. Соврешенно очевидные примеры я уже приводил.

Неизменность площади будет соблюдаться только при изменение каких-то инвариантных свойств фиксированной системы координат. (При этом я полагаю, что "положение" и "размеры" рассматриваемого полигонна не меняются в какой-то неизменной глобальной "мировой" прямоугольной системе координат).

Например, в прямоугольных координатах выбор точки отсчета или ориентации осей не меняет площади полигона.

А в полярных координатах "расстояние" и "площадь" не меняется только при смене положения луча "нулевого угла", а вот при переносе полюса площадь и расстояние меняются. Для пояснения упоминавшейся мною полярной метрики сообщу, что в ней

distance(x,y) := (delta rx)^2 + (delta ax)^2

где, 'delta rx' - разность радиусов точек, а 'delta ax' - разность их углов.

Например, площадь сферы с расстоянием определённым как R*angle(x, y), где angle(x, y) - величина угла x0y из центра, будет всегда 4*Pi*R, не зависимо от того, какую систему координат вы выберете.

Ну здрасьте! Зафиксировав определенике расстояния вы зафиксировали метрику и, тем самым, зафиксировали природу соответствующеей системы координат. Меняться теперь тогут только инвариантные парамтеры этой системы координат. Так что никакого "выбора системы координат" здесь у нас уже нет.

[AndreyT]

С точки зрения здравого смысла, площадь можно посчитать так:
покроем всё, что надо, например, воском одной толщины, взвесим воск, и поделим на толщину и плотность.

Ну ну ну... Ваша ошибка заключается в том, что вы опять неявно подразумеваете постоянство некоторых характеристик вашего воска, которые совсем не должны являться постоянными в нашем эксперименте. Вы принесли наш привычный "прямоугольный" воск в "полярный" мир. В полярном мире не бывает прямоугольного воска, а если и бывает, то пытаться корректно определить полярную площадь (соответствующую введенной мною выше метрике) с его помощью не удастся.

Правильно рассмотреть даннную ситуацию можно по разному - зависит от выбора инвариантов. Наиболее логично предположить постоянство расстояния между молекулами воска независимо от его положения в системе координат. Но "полярное" расстояние в моем полярном мире определяется так, как я сказал в предыдущем сообщении. Таким образом, по мере удаления от полюса, "полярный объем" куска воска и его "полярная плотность" будут отставаться неизменными (это довольно естественный выбор физических инвариантов). Но с точки зрения внешнего "прямоугольного" наблюдателя, "прямоугольный объем" куска воска будет расти по мере удаления от полюса, а его "прямоугольная плотность" - падать. Несложно видеть, что "полярная" и "прямоугольная" площади, измеренные таким воском будет вести себя именно так, как я описал раньше.

[venco]

Вы отоздествляете метрику и систему координат, хотя это совершенно разные понятия.
Метрика множества S (в нашем случае - поверхность): вещественная функция distance(x, y): S^2 -> R, где x, и y - элементы S (в нашем случае - 2 точки на поверхности).
Система координат: векторная функция coords(x), S -> R^n (n - размерность пространства) , где x - одна точка на поверхности.
Уже размерности этих функций не совпадают.

Координаты можно рассматривать как способ идентификации точек. Это просто вводится для удобства использования алгебры в геометрических вычислениях. В пространствах с разной метрикой удобно использовать разные системы координат - просто формулы проще получаются.

Площадь определяется метрикой. Т.е. если задана функция distance(x, y), площадь зафиксирована, независимо от того, какую систему координат мы использовали.

[AndreyT]

Вот ещё пример для прояснения ситуации.
У нас есть сфера (глобус).
На сфере - фигура (Россия).
У этой фигуры есть площадь (не помню).
Если вы теперь будете считать параллели и меридианы не от северного/южного полюсов, а от западного/восточного, площадь просто обязана сохраниться - это свойство поверхности (метрика) и фигуры на этой поверхности..

Вы опять меняете инварианты, но никак не меняете метрику. Система координат будет одна и та же. Я же говорю о принципиальной смене самой природы метрики и системы координат.

Похоже, вы путаете площадь самой фигуры и площадь её отображения на плоской карте. Площадь на карте действительно зависит от выбора системы координат этой карты. Но это именно площадь изображения, а не самой фигуры.

Здесь я вас совсем не понимаю.

Ваше отношение к понятию площади напоминает мне то, как говорит на английском языке начинающий иностранец - он думает на родном языке и переводит сллова и предложения на английский в уме. Вот так же и вы "думаете" в терминах привычной нам евклидовой (прямоуголной) площади, считаете ее какой-то "особенной" и все измерения площади в разнообразных системах координат и метриках сводите к ней. Я же в своих сообщщениях никак не фиксировался на евклидовой площади.

[venco]

Вот ещё пример для прояснения ситуации.
У нас есть сфера (глобус).
На сфере - фигура (Россия).
У этой фигуры есть площадь (не помню).
Если вы теперь будете считать параллели и меридианы не от северного/южного полюсов, а от западного/восточного, площадь просто обязана сохраниться - это свойство поверхности (метрика) и фигуры на этой поверхности..

Вы опять меняете инварианты, но никак не меняете метрику. Система координат будет одна и та же.

Ну как же она будет одна и та же?
В первом случае у Москвы будут координаты 55°45′8″N, 37°37′56″E, а во втором 33°E (от Гринвича к восточному полюсу), 50°N (от экватора в северное полушарие) (цифры очень приблизительны).
Координаты - разные. Площадь России - прежняя.

Между прочим, инвариант - нечто не меняющееся.
Соответственно, я так и не понял какие инварианты я меняю...

[AndreyT]

Вы отоздествляете метрику и систему координат, хотя это совершенно разные понятия.

Ничего подобного я не отождествлял. Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(A,B) = (delta x)^2 + (delta y)^2

где 'delta x' - разность первых координат точек A и B, а 'delta y' - разность их вторых координат.

Все. Я не приводил это формулу в своем исходном сообщении, ибо полагал, что пердложенный мною способ определения площади делает это достаточно очевидным.

Площадь определяется метрикой. Т.е. если задана функция distance(x, y), площадь зафиксирована, независимо от того, какую систему координат мы использовали.

Соврешенно верно. Но в расматривамых мною примерах выбранный способ задания distance(x, y) - это наложение на плоскость некоей системы координат и затем введение distance(x, y) через отдельные координаты как показано выше. Так что метрика и площадь там существенно зависят от выбора системы координат.

[AndreyT]

Чтобы разгрести назревающую путаницу, я еще раз кратко опишу свои примеры.

Способы построения трех разных систем 2D координат в круге (точка задачется парой (x, y)) я описал раньше. Повторять не буду.

Площадь фигуры, ограниченной снизу и сверху графиками функций y = f(x) и y = g(x) я определяю традиционно

Code: Select all

       x2
   интеграл (g(x) - f(x)) dx
       x1

Площадь одной и той же фигуры (принципиально: не задаваемой одними и тем же "координатами", а наприсованной черным углем на нашей унивресальной белой "мировой плоскости") зависит от выбора конкретной системы координат и её положения. Все.

Желающие "выдистеллировать" из каждой системы и введенного определения площади формальной определение метрики могут сделать это в свое свободное время.

Также людям, понимающим взаимосвязь между понятиями площади и геометрической вероятности, могу почитать про Bertrand paradox, чтобы понять, о чем я веду речь.

[venco]

Вы отоздествляете метрику и систему координат, хотя это совершенно разные понятия.

Ничего подобного я не отождествлял. Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

В этой формуле x слева и x справа как нибудь связаны?

Я не приводил это формулу в своем исходном сообщении, ибо полагал, что пердложенный мною способ определения площади делает это достаточно очевидным.

Совершенно не очевидно.
Естественно, если вы именно это подразумевали, то задание системы координат будет однозначно определять и метрику. Но это совершенно независимые понятия. И если уж вы постоянно открещиваетесь от декартовой системы координат, то почему придерживаетесь, и даже неявно подразумеваете именно так заданную метрику?

Площадь определяется метрикой. Т.е. если задана функция distance(x, y), площадь зафиксирована, независимо от того, какую систему координат мы использовали.

Соврешенно верно.

Ну слава Богу!

[venco]

Также людям, понимающим взаимосвязь между понятиями площади и геометрической вероятности, могу почитать про Bertrand paradox, чтобы понять, о чем я веду речь.

А чего там понимать. В формулировке задачи не указано, что именно подразумевается под словами "at random".
Разные трактовки этих слов приводят к разным ответам.

[AndreyT]

Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

В этой формуле x слева и x справа как нибудь связаны?

ОК, поправлюсь (и там поправлю)

distance(A,B) = (delta x)^2 + (delta y)^2

где 'delta x' - разность первых координат точек A и B, а 'delta y' - разность их вторых координат.

[venco]

Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

Кстати, очевидное определение расстояния на плоскости в полярной системе координат выглядит так:

distance(x, y) = sqrt( rx^2 + ry^2 - 2*rx*ry*cos(ax-ay) )

[AndreyT]

Также людям, понимающим взаимосвязь между понятиями площади и геометрической вероятности, могу почитать про Bertrand paradox, чтобы понять, о чем я веду речь.

А чего там понимать. В формулировке задачи не указано, что именно подразумевается под словами "at random". Разные трактовки этих слов приводят к разным ответам.

Разумеется (хоть вы, похоже,читали какое-то недостаточно формализованное описание). Но вся соль состоит в том, что традиционно приводимые в качестве примера три разных трактовки "at random" сводятся к простоению трех разных систем 2D координат, а "at random" определяется уже над ними, "одинаково" во всех трех случаях - выбираются две случайных кооординаты из двух диапазонов. Получаемое распределение точек в круге является равномерным во всех трех случаях, но в каждом случае оно "равномерно" для своей отдельной метрики. И в каждом случае неявно вводится понятие площади и метрики.

Несложно видеть, что применение тех же равномерных распределений для определения площади методом Монте-Карло будет давать "площади" которые ведут себя именно так, как я описывал в своем первом соообщении.