Вероятность значений поля

venco · Post by **venco** » 26 May 2006 03:05

От, блин. И я не заметил, что нужно распределение значений, и зачем-то считал среднее значение поля. :upset:

Будем думать дальше...

vlad12345 · Post by **vlad12345** » 26 May 2006 08:49

Aspirant wrote:Точки распределены равномерно по пространству, не вижу проблемы.

Имхо, как раз здесь собака и зарыта. Распределение выбираемых точек _существенно_ влияет на результат. Равномерное распределение внутри сферы тоже можно понять по-разному: для кого-то это само собой декартовы координаты, а для кого-то полярные. А может вам больше подходит нормальное распределение? Или вы предполагаете некую процедуру проведения экспериментов, тогда хорошо бы описать эту процедуру формально.

Aspirant · Post by **Aspirant** » 27 May 2006 21:20

Чего-то народ, кроме Dimchik-а, пытается решать более сложную задачу, чем я предложил. Или поверить не может, что задачка такая лёгкая, или это отличие математиков от физиков, не знаю. Полностью обсуждать эксперимент смысла нет, там проблемы уж точно не для раздела "Головоломки", а вот известные в определённых кругах и, как мне показалось, красивые идеи обсудить, по-моему, интересно.

Так что, продолжение задачи. "По всему пространству случайным образом" распределены описанные в первом посте "заряды". Каково распределение вероятностей величины "напряженности поля"? Для начала, найдите вероятность того, что в "случайно выбранной точке" величина поля (a)очень велика (b)почти равна нулю.

Я понимаю, что "по всему пространству", "случайным образом" и "случайно выбранная точка" опять нечётко определены, но интуитивно должно быть понятно что это значит. Задача эта впервые возникла в астрономии, получающееся распределение известно точно и имеет название. Это же распределение используется в физике плазмы, во всяком случае, заряженной плазмы (мои трудности состоят в том, что мне нужно решить её для нейтральной плазмы, но оставим эту часть пока в покое).

Noskov Sergey · Post by **Noskov Sergey** » 29 May 2006 17:54

Yukawa screening potential используется повсеместно - у вас есть потенциал (ну или его градиент если так удобней) суть произведение кулоновского и потенциала Юкавы. Одно непонятно зачем заморачиваться с вероятностями для поля если вы можете его получить в лоб зная дистанцию от центра. Все же надо немного подформулировать чего хочется.

ksi · Post by **ksi** » 30 May 2006 02:15

Aspirant wrote:Чего-то народ, кроме Dimchik-а, пытается решать более сложную задачу, чем я предложил. Или поверить не может, что задачка такая лёгкая, или это отличие математиков от физиков, не знаю. Полностью обсуждать эксперимент смысла нет, там проблемы уж точно не для раздела "Головоломки", а вот известные в определённых кругах и, как мне показалось, красивые идеи обсудить, по-моему, интересно.

Так что, продолжение задачи. "По всему пространству случайным образом" распределены описанные в первом посте "заряды". Каково распределение вероятностей величины "напряженности поля"? Для начала, найдите вероятность того, что в "случайно выбранной точке" величина поля (a)очень велика (b)почти равна нулю.

Я понимаю, что "по всему пространству", "случайным образом" и "случайно выбранная точка" опять нечётко определены, но интуитивно должно быть понятно что это значит. Задача эта впервые возникла в астрономии, получающееся распределение известно точно и имеет название. Это же распределение используется в физике плазмы, во всяком случае, заряженной плазмы (мои трудности состоят в том, что мне нужно решить её для нейтральной плазмы, но оставим эту часть пока в покое).

Просто если ваше f(r)->0, при r-> inf, а вы считаете, что распределение точки равномерное в большой сфере радиуса R, то ответом при R -> inf будет очевидно ноль. Ваше "равномерное" обязано иметь ненулевую (и не стремящуюся к нулю) массу в любой фиксированной сфере с центром в нуле, иначе ответ всегда 0. А такое распределение далеко не равномерно. И ответ на вопрос, который вы задаете полностью определяется этим распределением."случайной точки". Не формализуете распределение, не получите ответ.

Hamster · Post by **Hamster** » 30 May 2006 23:27

Как я понимаю, вам нужно распределение как функция плотности зарядов.
Для случая f(r) ~ 1/r^2 задача в такой постановке не решается, т.к. потенциал слишком медленно убывает. Получается, что среднее значение поля расходится пропорционально радиусу пространства, в котором распределены заряды. ( На пальцах - потенциал, создаваемый зарядами между сферами радиуса r и r+dr, порядка 1/r^2, а число этих зарядов порядка r^2 dr ).

Для случая f(r) ~ e(-r/R) / r^2 решения в общем виде не получается. Можно оценить поведение распределения в предельных случаях. ( В частности, для U>>1, p(U) ~ 2 * pi * rho * U^(-2.5) ) Результаты будут принципиально разные в зависимости от значения величины \rho * R^3 ( среднее число зарядов в характерном объеме ), проще говоря, от того, насколько перекрываются потенциалы разных зарядов.

ПБХ · Post by **ПБХ** » 07 Jun 2006 03:49

Равномерное распределение внутри сферы тоже можно понять по-разному: для кого-то это само собой декартовы координаты, а для кого-то полярные.

Huh? Равномерное распределение подразумевает, что вероятность попадания в "кусок" пропорциональна площади куска.

AndreyT · Post by **AndreyT** » 06 Sep 2006 01:08

ПБХ wrote:
Равномерное распределение внутри сферы тоже можно понять по-разному: для кого-то это само собой декартовы координаты, а для кого-то полярные.

Huh? Равномерное распределение подразумевает, что вероятность попадания в "кусок" пропорциональна площади куска.

(Хоть и запоздало). Пусть речь идет о 2D случае, раз уж использовался термин "площадь".

Любая геометрическая вероятность опирается на зарнее выбраннную метрику. Без выбора метрики говорить о каком-то равномерном распределении бессмысленно. Разные метрики будут давать разные результаты. Понятие "площади куска" тоже опирается на выбор метрики. Можно, например, вычислять площать интегрированием в прямоугольных кординатах, можно - в полярных, а можно в эдаких "периферийных полярных" с полюсом на границе области (джентельменский набор из парадокса Бертрана). Каждый раз получится свое значение площади. И, соответсвенно, свое равномерное распределение.

Если под "площадью" вы подразумевали классическую евклидову площадь, то тем самым вы уже неявно завязались на конкретную метрику. А кто вам разрешил завязываться именно на нее? В условии задачи ничего подобного не сказано.

venco · Post by **venco** » 06 Sep 2006 02:35

AndreyT wrote:Можно, например, вычислять площать интегрированием в прямоугольных кординатах, можно - в полярных, а можно в эдаких "периферийных полярных" с полюсом на границе области

Каждый раз получится одинаковая площадь.
Выбор системы координат на площадь не влияет. Метрика - влияет.

AndreyT · Post by **AndreyT** » 06 Sep 2006 18:40

venco wrote:
AndreyT wrote:Можно, например, вычислять площать интегрированием в прямоугольных кординатах, можно - в полярных, а можно в эдаких "периферийных полярных" с полюсом на границе области

Каждый раз получится одинаковая площадь.
Выбор системы координат на площадь не влияет. Метрика - влияет.

Хм... Мы по-видимому говорим о разных вещах. Выбор системы координат в моем случае однозначно подразумевает метрику. По крайней мере так было задумано.

Совершенно очевидно, например, что площадь равновеликих в "традиционном" смысле (прямоугольные координаты) полигонов может быть сколь угодно различной в полярных координатах в зависимости от расположения этих полигонов относительно полюса. Тот, который "располагается дальше" от полюса" будет иметь меньшую полярную площадь. Это не менее очевидно (а может даже более очевидно и релевантно к данной задаче) если считать площадь методом Монте-Карло.

Под "периферийными полярными" координатами (название, конечно, неудачное) я имел в виду не просто перенос полюса в новое место, а принципиально отличную систему координат для территории внутри круга с центром O. Я думал будет понятно, о чем идет речь, именно потому, что я упомянул парадокс Бертрана (все три метрики обычно рассматриваются в нем). Берем "крайнюю правую" точку на окружности - это полюс P. Для определения координат произвольной точки A в круге проводим прямую OA. Пусть B - вторая точка пересечения OA с окружностью. Радиус-координата точки A - это, скажем, отношение длины OA к длине OB. Угловая координата точки A - это угловая координата точки B в традиционных полярных координатах с полюсом O (не P, а именно O). Таким образом, центр круга будет иметь координаты (0.5, Pi). Такая система координат принципиально отлична от первых двух и будет определять свою уникальную "площадь".

venco · Post by **venco** » 06 Sep 2006 19:05

AndreyT wrote:
venco wrote:Выбор системы координат на площадь не влияет. Метрика - влияет.

Хм... Мы по-видимому говорим о разных вещах. Выбор системы координат в моем случае однозначно подразумевает метрику. По крайней мере так было задумано.

Метрика - заданная функция расстояния между любыми точками: distance(x, y), где x, y - любые точки (сами точки, а не их координаты).
Систему координат можно выбрать любую. Площадь от этого не изменится.
Например, площадь сферы с расстоянием определённым как R*angle(x, y), где angle(x, y) - величина угла x0y из центра, будет всегда 4*Pi*R, не зависимо от того, какую систему координат вы выберете.

venco · Post by **venco** » 06 Sep 2006 19:08

С точки зрения здравого смысла, площадь можно посчитать так:
покроем всё, что надо, например, воском одной толщины, взвесим воск, и поделим на толщину и плотность.

venco · Post by **venco** » 06 Sep 2006 19:41

AndreyT wrote:Выбор системы координат в моем случае однозначно подразумевает метрику.

Вот ещё пример для прояснения ситуации.
У нас есть сфера (глобус).
На сфере - фигура (Россия).
У этой фигуры есть площадь (не помню).
Если вы теперь будете считать параллели и меридианы не от северного/южного полюсов, а от западного/восточного, площадь просто обязана сохраниться - это свойство поверхности (метрика) и фигуры на этой поверхности..

Похоже, вы путаете площадь самой фигуры и площадь её отображения на плоской карте. Площадь на карте действительно зависит от выбора системы координат этой карты. Но это именно площадь изображения, а не самой фигуры.

AndreyT · Post by **AndreyT** » 06 Sep 2006 21:30

venco wrote:
AndreyT wrote:
venco wrote:Выбор системы координат на площадь не влияет. Метрика - влияет.

Хм... Мы по-видимому говорим о разных вещах. Выбор системы координат в моем случае однозначно подразумевает метрику. По крайней мере так было задумано.

Метрика - заданная функция расстояния между любыми точками: distance(x, y), где x, y - любые точки (сами точки, а не их координаты).

Ну так не надо забывать, что определить "расстояние" можно множеством принципиально различных способов. В этом, собсвенно, вся и соль.

Систему координат можно выбрать любую. Площадь от этого не изменится.

Неверно. Все завысит от определения понятий "расстояния" и, соответсвенно, "площади" в данной метрике. Соврешенно очевидные примеры я уже приводил.

Неизменность площади будет соблюдаться только при изменение каких-то инвариантных свойств фиксированной системы координат. (При этом я полагаю, что "положение" и "размеры" рассматриваемого полигонна не меняются в какой-то неизменной глобальной "мировой" прямоугольной системе координат).

Например, в прямоугольных координатах выбор точки отсчета или ориентации осей не меняет площади полигона.

А в полярных координатах "расстояние" и "площадь" не меняется только при смене положения луча "нулевого угла", а вот при переносе полюса площадь и расстояние меняются. Для пояснения упоминавшейся мною полярной метрики сообщу, что в ней

distance(x,y) := (delta rx)^2 + (delta ax)^2

где, 'delta rx' - разность радиусов точек, а 'delta ax' - разность их углов.

Например, площадь сферы с расстоянием определённым как R*angle(x, y), где angle(x, y) - величина угла x0y из центра, будет всегда 4*Pi*R, не зависимо от того, какую систему координат вы выберете.

Ну здрасьте! Зафиксировав определенике расстояния вы зафиксировали метрику и, тем самым, зафиксировали природу соответствующеей системы координат. Меняться теперь тогут только инвариантные парамтеры этой системы координат. Так что никакого "выбора системы координат" здесь у нас уже нет.

AndreyT · Post by **AndreyT** » 06 Sep 2006 21:49

venco wrote:С точки зрения здравого смысла, площадь можно посчитать так:
покроем всё, что надо, например, воском одной толщины, взвесим воск, и поделим на толщину и плотность.

Ну ну ну... Ваша ошибка заключается в том, что вы опять неявно подразумеваете постоянство некоторых характеристик вашего воска, которые совсем не должны являться постоянными в нашем эксперименте. Вы принесли наш привычный "прямоугольный" воск в "полярный" мир. В полярном мире не бывает прямоугольного воска, а если и бывает, то пытаться корректно определить полярную площадь (соответствующую введенной мною выше метрике) с его помощью не удастся.

Правильно рассмотреть даннную ситуацию можно по разному - зависит от выбора инвариантов. Наиболее логично предположить постоянство расстояния между молекулами воска независимо от его положения в системе координат. Но "полярное" расстояние в моем полярном мире определяется так, как я сказал в предыдущем сообщении. Таким образом, по мере удаления от полюса, "полярный объем" куска воска и его "полярная плотность" будут отставаться неизменными (это довольно естественный выбор физических инвариантов). Но с точки зрения внешнего "прямоугольного" наблюдателя, "прямоугольный объем" куска воска будет расти по мере удаления от полюса, а его "прямоугольная плотность" - падать. Несложно видеть, что "полярная" и "прямоугольная" площади, измеренные таким воском будет вести себя именно так, как я описал раньше.