Вероятность значений поля

[venco]

Вы отоздествляете метрику и систему координат, хотя это совершенно разные понятия.
Метрика множества S (в нашем случае - поверхность): вещественная функция distance(x, y): S^2 -> R, где x, и y - элементы S (в нашем случае - 2 точки на поверхности).
Система координат: векторная функция coords(x), S -> R^n (n - размерность пространства) , где x - одна точка на поверхности.
Уже размерности этих функций не совпадают.

Координаты можно рассматривать как способ идентификации точек. Это просто вводится для удобства использования алгебры в геометрических вычислениях. В пространствах с разной метрикой удобно использовать разные системы координат - просто формулы проще получаются.

Площадь определяется метрикой. Т.е. если задана функция distance(x, y), площадь зафиксирована, независимо от того, какую систему координат мы использовали.

[AndreyT]

Вот ещё пример для прояснения ситуации.
У нас есть сфера (глобус).
На сфере - фигура (Россия).
У этой фигуры есть площадь (не помню).
Если вы теперь будете считать параллели и меридианы не от северного/южного полюсов, а от западного/восточного, площадь просто обязана сохраниться - это свойство поверхности (метрика) и фигуры на этой поверхности..

Вы опять меняете инварианты, но никак не меняете метрику. Система координат будет одна и та же. Я же говорю о принципиальной смене самой природы метрики и системы координат.

Похоже, вы путаете площадь самой фигуры и площадь её отображения на плоской карте. Площадь на карте действительно зависит от выбора системы координат этой карты. Но это именно площадь изображения, а не самой фигуры.

Здесь я вас совсем не понимаю.

Ваше отношение к понятию площади напоминает мне то, как говорит на английском языке начинающий иностранец - он думает на родном языке и переводит сллова и предложения на английский в уме. Вот так же и вы "думаете" в терминах привычной нам евклидовой (прямоуголной) площади, считаете ее какой-то "особенной" и все измерения площади в разнообразных системах координат и метриках сводите к ней. Я же в своих сообщщениях никак не фиксировался на евклидовой площади.

[venco]

Вот ещё пример для прояснения ситуации.
У нас есть сфера (глобус).
На сфере - фигура (Россия).
У этой фигуры есть площадь (не помню).
Если вы теперь будете считать параллели и меридианы не от северного/южного полюсов, а от западного/восточного, площадь просто обязана сохраниться - это свойство поверхности (метрика) и фигуры на этой поверхности..

Вы опять меняете инварианты, но никак не меняете метрику. Система координат будет одна и та же.

Ну как же она будет одна и та же?
В первом случае у Москвы будут координаты 55°45′8″N, 37°37′56″E, а во втором 33°E (от Гринвича к восточному полюсу), 50°N (от экватора в северное полушарие) (цифры очень приблизительны).
Координаты - разные. Площадь России - прежняя.

Между прочим, инвариант - нечто не меняющееся.
Соответственно, я так и не понял какие инварианты я меняю...

[AndreyT]

Вы отоздествляете метрику и систему координат, хотя это совершенно разные понятия.

Ничего подобного я не отождествлял. Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(A,B) = (delta x)^2 + (delta y)^2

где 'delta x' - разность первых координат точек A и B, а 'delta y' - разность их вторых координат.

Все. Я не приводил это формулу в своем исходном сообщении, ибо полагал, что пердложенный мною способ определения площади делает это достаточно очевидным.

Площадь определяется метрикой. Т.е. если задана функция distance(x, y), площадь зафиксирована, независимо от того, какую систему координат мы использовали.

Соврешенно верно. Но в расматривамых мною примерах выбранный способ задания distance(x, y) - это наложение на плоскость некоей системы координат и затем введение distance(x, y) через отдельные координаты как показано выше. Так что метрика и площадь там существенно зависят от выбора системы координат.

[AndreyT]

Чтобы разгрести назревающую путаницу, я еще раз кратко опишу свои примеры.

Способы построения трех разных систем 2D координат в круге (точка задачется парой (x, y)) я описал раньше. Повторять не буду.

Площадь фигуры, ограниченной снизу и сверху графиками функций y = f(x) и y = g(x) я определяю традиционно

Code: Select all

       x2
   интеграл (g(x) - f(x)) dx
       x1

Площадь одной и той же фигуры (принципиально: не задаваемой одними и тем же "координатами", а наприсованной черным углем на нашей унивресальной белой "мировой плоскости") зависит от выбора конкретной системы координат и её положения. Все.

Желающие "выдистеллировать" из каждой системы и введенного определения площади формальной определение метрики могут сделать это в свое свободное время.

Также людям, понимающим взаимосвязь между понятиями площади и геометрической вероятности, могу почитать про Bertrand paradox, чтобы понять, о чем я веду речь.

[venco]

Вы отоздествляете метрику и систему координат, хотя это совершенно разные понятия.

Ничего подобного я не отождествлял. Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

В этой формуле x слева и x справа как нибудь связаны?

Я не приводил это формулу в своем исходном сообщении, ибо полагал, что пердложенный мною способ определения площади делает это достаточно очевидным.

Совершенно не очевидно.
Естественно, если вы именно это подразумевали, то задание системы координат будет однозначно определять и метрику. Но это совершенно независимые понятия. И если уж вы постоянно открещиваетесь от декартовой системы координат, то почему придерживаетесь, и даже неявно подразумеваете именно так заданную метрику?

Площадь определяется метрикой. Т.е. если задана функция distance(x, y), площадь зафиксирована, независимо от того, какую систему координат мы использовали.

Соврешенно верно.

Ну слава Богу!

[venco]

Также людям, понимающим взаимосвязь между понятиями площади и геометрической вероятности, могу почитать про Bertrand paradox, чтобы понять, о чем я веду речь.

А чего там понимать. В формулировке задачи не указано, что именно подразумевается под словами "at random".
Разные трактовки этих слов приводят к разным ответам.

[AndreyT]

Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

В этой формуле x слева и x справа как нибудь связаны?

ОК, поправлюсь (и там поправлю)

distance(A,B) = (delta x)^2 + (delta y)^2

где 'delta x' - разность первых координат точек A и B, а 'delta y' - разность их вторых координат.

[venco]

Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

Кстати, очевидное определение расстояния на плоскости в полярной системе координат выглядит так:

distance(x, y) = sqrt( rx^2 + ry^2 - 2*rx*ry*cos(ax-ay) )

[AndreyT]

Также людям, понимающим взаимосвязь между понятиями площади и геометрической вероятности, могу почитать про Bertrand paradox, чтобы понять, о чем я веду речь.

А чего там понимать. В формулировке задачи не указано, что именно подразумевается под словами "at random". Разные трактовки этих слов приводят к разным ответам.

Разумеется (хоть вы, похоже,читали какое-то недостаточно формализованное описание). Но вся соль состоит в том, что традиционно приводимые в качестве примера три разных трактовки "at random" сводятся к простоению трех разных систем 2D координат, а "at random" определяется уже над ними, "одинаково" во всех трех случаях - выбираются две случайных кооординаты из двух диапазонов. Получаемое распределение точек в круге является равномерным во всех трех случаях, но в каждом случае оно "равномерно" для своей отдельной метрики. И в каждом случае неявно вводится понятие площади и метрики.

Несложно видеть, что применение тех же равномерных распределений для определения площади методом Монте-Карло будет давать "площади" которые ведут себя именно так, как я описывал в своем первом соообщении.

[AndreyT]

Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

Кстати, очевидное определение расстояния на плоскости в полярной системе координат выглядит так:

distance(x, y) = sqrt( rx^2 + ry^2 - 2*rx*ry*cos(ax-ay) )

Это опять формула вычисления "прямоугольного" расстояния через полярные координаты. Зачем вы все время силой сводите все к прямоугольным координатам, расстояниям и площадям? Речь-то, как я уже несколько раз говорил, не об этом.

[olg2002]

Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

А площадь прямоугольника однозначно определяется длиной короткой стороны, при условии, что он является квадратом.

Метрика и система координат - понятия независимые. Для одной и той же системы координат можно ввести разные метрики. Одна и та же метрика будет инвариантна в разных системах координат. Вы из каких-то соображений считаете метрику d^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 "естественной" для произвольной двумерной системы координат (в случае полярных координат такая "естественная" метрика будет d^2=(R1-R2)^2 + (phi1-phi2)^2, что есть совершенно неестественно, поскольку приходится жертвовать полюсом, для которого расстояние до любой точки оказывается неопределенным) и удивляетесь, что остальным это неочевидно и непонятно.

Начальное утверждение, что "равномерное распределение" зависит от метрики, верно. От системы координат зависимости нет.

[AndreyT]

Я лишь сказал, что выбор 2D системы координат однозначно определяет метрику, при условии, что понятие расстояния определяется как

distance(x,y) = (delta x)^2 + (delta y)^2

А площадь прямоугольника однозначно определяется длиной короткой стороны, при условии, что он является квадратом.

Совершенно верно. Я привел примеры. Если мне захотелось в этих примерах, чтобы все прямоугольники были квадратами - то они будут квадратами. Это мое дело. Мое дело лишь описать, о чем идет речь.

Примеры к тому же не мои, а фактически классические.

Метрика и система координат - понятия независимые. Для одной и той же системы координат можно ввести разные метрики. Одна и та же метрика будет инвариантна в разных системах координат.

Это все очень интересно, но не имеет никакого отношения к делу. Я никогда не утверждал никакий зависимости между системой координат и метрикой за пределами приведенных примеров. В приведенных же примерах зависимость пристутвует просто потому, что метрика вводится на основе предварительно введенной системы координат. Это один из способов введения метрики, ничем не хуже и не лучше чем любой другой. По крайней мере, достаточный для иллюстрации того, что я хотел проилллюстрировать.

Вы из каких-то соображений считаете метрику d^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 "естественной" для произвольной двумерной системы координат [...] и удивляетесь, что остальным это неочевидно и непонятно.

Мне не совсем понятны ваши критерии оценки "естественности" в данном случае, не говоря уже о том, что никакой "естественности" тут на само деле и не требуется. Также стоит заметить, что в исходном контексте никакого явного введдения метрики не требовалось в принципе - там все прекрасно понятно и без этого, а метрика там подразумевается неявно. И возиться с метриками явным образом здесь (естественными или нет) мне пришлось в рамках не совсем понятно зачем нужной и ушедшей в сторону дискуссии с оппонентом.

Плохое поведение такой метрики в полюсе никоим образом не является свидетельством "плохости" или "неествственности" моей метрики, а является натуральным следствием общеизвестного плохого поведения в полюсе самой полярной системы координат. Для человека, знакомого с особенностями полярной системы координат, такое поведение никак не может служить индикатором какой-то "неестественности".

Начальное утверждение, что "равномерное распределение" зависит от метрики, верно. От системы координат зависимости нет.

В использованных примерах метрика вводится через ad hoc введенные системы координат. Вот и вся зависимость. Общей зависимости никто не утверждал.

[AndreyT]

Координаты - разные. Площадь России - прежняя.

А теперь посчитайте площадь России методом Монте-Карло. Пусть нас интересует отношение площади Росии к площади земного шара (именно то, что непосредственно вычисляет метод Монте-Карло). Т.е. мы будем стрелять в поверхность шара случайными равномерно распределенными точками и посмотрим, какой процент из них попадет в Россию.

В первом случае будем выбирать точки просто выбором случайных значений широты и долготы, равномерно распределеных в соотв. диапазонах.

Во втором случае будем выбирать точку так: сначала "погружамеся" по диаметру с северного полюса на случайную глубину (равномерно из диапазона [0...диаметр шара]), а затем "выкапываемся" на поверхность параллельно экваториальной плоскости на случайно выбранной долготе.

Предлагаю вам сравнить площади России в первом и во втором случае. Думаете, они будут одинаковы? Нет, не будут.

Как правило неподготовленный читатель сразу заявляет, что во втором случае распределение случайных точек по поверхности земного шара "очевидно" не является равномерным. Отвечаю - является. Только метрика, в которой оно является равномерным, отличается от соответствующей первому случаю. Заметьте, что в самом мысленном эксперименте упоминать метрики как таковые было совсем не нужно.

[venco]

Как правило неподготовленный читатель сразу заявляет, что во втором случае распределение случайных точек по поверхности земного шара "очевидно" не является равномерным.

А подготовленный читатель скажет, что и в первом случае распределение не является равномерным. В той метрике, в которой мы хотим посчитать площадь России.
Вывод: неправильно применяя правильные методы, можно получить результат, далёкий от требуемого.
Например, можно стрелять в малой окрестности Москвы (ну так получилось). Такое распределение тоже будет равномерным в специально подобраной метрике. В этой метрике площадь России будет равна площади земного шара. Вас устроит такой результат?