Игра с кубиками

[M. Ridcully]

поскольку ходящий первым может выиграть еще до третьего хода противника то я не не вижу как можно сказать что шансы равны...

Угу, только если это.
А разные паттерны - 1 3 5 vs 4 4 4 - так, для отвода глаз.

[Chessplayer]

я думаю, что вопрос все-таки был в том какая последовательность имеет большую вероятность выпасть первой и предполагалось, что или оба участника кидают кубики на каждом ходе или что начинают случайным образом.

Если для простоты взять 2-х значные последовательности (1,4) и (4,4), то я вижу где ломается симметрия и вероятности действительно отличаются, но вот для (1,3) и (4, 4) - нет.

[jsjs]

поскольку ходящий первым может выиграть еще до третьего хода противника то я не не вижу как можно сказать что шансы равны...

Нет здесь понятия "ходящий первым". У каждого свой кубик, бросают одновременно. Так что возможна ничья.

Если угодно: есть две бесконечные последовательности из элементов {1,2,3,4,5,6}, выбираемых случайно. Рассмотрим случайные величины "номер первого появления слова 444" и "номер первого появления слова 135". Равны ли мат.ожидания этих величин и, если нет, то какая больше?

[jsjs]

я думаю, что вопрос все-таки был в том какая последовательность имеет большую вероятность выпасть первой и предполагалось, что или оба участника кидают кубики на каждом ходе.

Да, именно так.

[Физик-Лирик]

Если для простоты взять 2-х значные последовательности (1,4) и (4,4), то я вижу где ломается симметрия и вероятности действительно отличаются, но вот для (1,3) и (4, 4) - нет.

И как/где симметрия ломается?

[Chessplayer]

Для (1,4) и (4,4) (предположим, что первая комбинация - это поражение, вторая - победа)
существует 3 состояния (state) перед каждым броском кубика:
1. на предыдущем ходе выпала 1.
2. на предыдущем ходе выпала 4.
3. на предыдущем ходе выпала не 1 или 4.

Вероятности переходов между состояниями:
из состояния 3: 1/6 в сост. 1, 1/6 в сост. 2, 4/6 остаться
из состояния 1: 1/6 - lose (выпала 4, как следствие переход в сост 2 запрещен), 5/6 - в сост.3
из состояния 2: 1/6 - win (выпала 4), 1/6 - в сост. 1, 4/6 - в сост. 3.

Как мы видим симметрия нарушена. Можно честно расписать мат ожидание и все посчитать. Но если (1,4) заменить на (1,3), то симметрия восстанавливается - опять появляется переход из состояния 1 в сост. 2.

Как-то так.

[jsjs]

Марковские цепи - наше всё. Однако, эти рассуждения по поводу победы/поражения, похоже про какую-то другую задачу -- есть одна бесконечная последовательность из {1,2,...,6}, какое из слов (1,4) или (4,4) появится там раньше. Здесь же последовательностей (и кубиков) две (два), и они независимы друг от друга.

[Chessplayer]

вот это пока непонятно. Казалось бы, что в каждой из последовательностей мат ожидание выпадения каждого из 2-х слов должно быть одинаково. Если мы говорим о математической задаче, конечно.

[jsjs]

Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.

[M. Ridcully]

вот это пока непонятно. Казалось бы, что в каждой из последовательностей мат ожидание выпадения каждого из 2-х слов должно быть одинаково. Если мы говорим о математической задаче, конечно.

Мат. ожидание как раз будет больше для повторяющихся цифр.
Но вот как оно может отличаться для _первого_ случая - не понятно мне.

[Chessplayer]

Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.

да, разница в формулировке задачи действительно есть. Осталось только понять почему эргодичность нарушается.

[Chessplayer]

Мат. ожидание как раз будет больше для повторяющихся цифр.

меньше.

[veey+]

я не вижу, как у одного игрока шансов может быть больше, чем у другого. Вот почему.

У стандартного кубика сумма чисел на противоположных сторонах равна 7. Т.е. чтобы выпала 4-ка, надо, чтобы кубик приземлился на 3-ку.
Т.е., если бы игра заключалось в том, кто первый выбросит 4-ку (т.е. приземлит кубик на 3-ку) три раза подряд, то очевидно, что оба игрока имеют одинаковые шансы.
В нашем случае совершенно неважно стандартные кубики или нет. Поэтому сделаем так:
- оба игрока просто бросают кубик в надежде 3 раза подряд приземлить его на 3-ку.
- с кубиком 1-го игрока мы ничего не делаем, а у кубика 2-го меняем местами 1 и 4. Далее, если таки он приземлил кубик на 3-ку, меняем местами 3 и 1. И если ему повезло дважды - то 5 и 3.

Т.е. вполне очевидно, что шансы равны.

[Физик-Лирик]

Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.

да, разница в формулировке задачи действительно есть. Осталось только понять почему эргодичность нарушается.

Вы уверены, что "эргодичность" тут имеет значение? Вы имеете в виду процесс, трансформацию, что? Стохастический процесс стационарен, как в широком так и в узком смысле. Где что нарушается?

[Физик-Лирик]

Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.

Другими словами, есть случайная величина, равная времени первого события (т.е. номера итерации). Событие = выпадение заданной последовательности. Ищется распределение этой случайной величины (а точнее, двух величин) и, как следствие, сравнение моментов.

Марковские цепи - наше всё.

Да, Марковкая цепочка. Однако, если под событием подразумевать выпадение следующего кубика, то получается транзитивная вероятность 1/6 (она же условная вероятность) в силу независимости событий.