Задачки для школьников

COPOKA · Post by **COPOKA** » 06 Apr 2001 00:19

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Joker:
[i:b77bf5929c]Похожая идея позволяет отличить крутое яйцо от сырого...[/i:b77bf5929c]<HR></BLOCKQUOTE>
В оригинале, по-моему, их предлагается скатить с наклонной плоскости. [img:b77bf5929c]images/smiles/icon_smile.gif[/img:b77bf5929c] Детям предложила, один сказал "постучать", другой - скатить с горки. Тому шарику, у которого масса сосредоточена дальше от центра, "будет труднее раскручиваться". По-моему, вполне логично.

Chicken, если книжки нет в библиотеке, сходите в Барнс с Нобелем, полистайте. Покупать, может, и ни к чему, а несколько идей почерпнуть и так можно.

На разрезание - склеивание была чудная задача-шутка, когда разрезается клетчатый прямоугольник, куски складываются, и получается треугольник с площадбю на единицу больше (или меньше?). Я ее могу, наверное, вспомнить, но нарисовать здесь все равно некак. Так что вспоминайте сами. [img:b77bf5929c]images/smiles/icon_smile.gif[/img:b77bf5929c]

Гораздо более сложная задача на разрезание есть здесь: http://www.nsa.gov/programs/mepp/usamts/problems/problems12R4.pdf

Joker · Post by **Joker** » 06 Apr 2001 03:31

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by ChickenFromMinsk:
[i:dc47f60c3d]Joker, ну с вами прямо не интересно - вы все знаете[/i:dc47f60c3d]<HR></BLOCKQUOTE> Не, я просто яйца люблю [img:dc47f60c3d]images/smiles/icon_smile.gif[/img:dc47f60c3d]

Joker · Post by **Joker** » 06 Apr 2001 03:44

Ко мне тут друг приехал, с которым мы вместе лет 15... в физматшколе и университете... олимпиадами и задачками заведовали. Вот вам по этому случаю еще пара свеженьких очень красивых и малоизвестных задачек:

1. На каждой стороне квадрата пометили по точке. Потом квадрат взяли... и стерли. Как восстановить квадрат по этим четырем точкам?

2. Имеется бесконечная квадратная сетка со стороной ячейки 1 см. Имеется (односвязное) пятно произвольной формы, площадью ровно 1 кв.см. Ну, короче, клякса. Доказать, что сетку всегда можно сдвинуть/повернуть так, что на пятне не окажется ни одного перекрестия.

Enchanter · Post by **Enchanter** » 06 Apr 2001 04:09

Физика -> Механика

Два абсолютно одинаковых шарика бросаются сверху на разные чаши весов. Одна чашка липкая и шарик прилипает. Другая нелипкая и шарик прыгает вверх-вниз. Какая чаша весов в конечном счёте перевесит?

COPOKA · Post by **COPOKA** » 06 Apr 2001 04:29

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Joker:
[i:8c121a4e2a]
1. На каждой стороне квадрата пометили по точке. Потом квадрат взяли... и стерли. Как восстановить квадрат по этим четырем точкам?

2. Имеется бесконечная квадратная сетка со стороной ячейки 1 см. Имеется (односвязное) пятно произвольной формы, площадью ровно 1 кв.см. Ну, короче, клякса. Доказать, что сетку всегда можно сдвинуть/повернуть так, что на пятне не окажется ни одного перекрестия.[/i:8c121a4e2a]<HR></BLOCKQUOTE>
Ну, про сетку я знаю - распилить и сложить в стопочку... [img:8c121a4e2a]images/smiles/icon_smile.gif[/img:8c121a4e2a] Красиво. Хотя я помню формулировку "площадью меньше 1 кв. см." Правда, задачки на доказательства здешние (обыкновенные) школьники не любят. Или не понимают. А про квадрат сейчас пойду, поставлю эксперимент (не с квадратом, а с детьми)

А вот и задачка: Три шахматиста А, В и С сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков А занял первое место, а С - последнее, а по числу побед, наоборот, А занял последнее место, а С - первое (за победу присуждается одно очко, за ничью - пол-очка)? [img:8c121a4e2a]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:8c121a4e2a] Что-то мне это недавние президентские выборы напоминает...

И еще вспоминается мне красивая задача про паука и муху, сидящих в разных концах комнаты (прямоугольного параллелепипеда). Предлагалось найти для паука кратчайший путь к мухе, и путь этот находился мгновенно путем рисования прямой линии, если догадаться развернуть все стенки в плоскость. Я, разумеется, [img:8c121a4e2a]images/smiles/icon_rolleyes.gif[/img:8c121a4e2a] не помню, где они в точности сидели, а именно в этом расположении заключается граница между тривиальной версией этой задачи и нетривиальной... Может, кто-нибудь вспомнит?

vofa · Post by **vofa** » 06 Apr 2001 09:21

Специально для школьников с богатым (не обязательно пространственным!) воображением.

Очевидно, что вокруг окружности единичного радиуса можно расположить 6 равных ей окружностей, касающихся исходной и не пересекающихся друг с другом - в вершинах правильного шестиугольника со стороной равной 2.
*** Это была присказка, а вот - сказка.
Вокруг сферы 1-го радиуса легко расположить (в вершинах соответствующего икосаэдра!) 12 касающихся ей сфер, также единичного радиуса.
Вопрос: а могут ли 13 единичных сфер одновременно касаться исходной?

COPOKA · Post by **COPOKA** » 06 Apr 2001 17:59

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Joker:
[i:e7740a8ea9]
1. На каждой стороне квадрата пометили по точке. Потом квадрат взяли... и стерли. Как восстановить квадрат по этим четырем точкам?
[/i:e7740a8ea9]<HR></BLOCKQUOTE>
Joker, я что-то в растерянности. Получается, что при любом симметричном расположении точек (например, в середине каждой стороны) квадратов можно нарисовать сколько угодно...

Virgo · Post by **Virgo** » 06 Apr 2001 19:09

Мне кажется, при любом расположении точек можно нарисовать сколько угодно квадратов. Все они будут равны исходному (если точки не накладываются друг на друга), только ориентация будет разная.

vofa · Post by **vofa** » 07 Apr 2001 03:27

2COPOKA, 2Virgo

"Легкая паника?" ;=)
Аналитическая геометрия позволяет найти соотношение между
1) искомым углом ориентации квадрата - alfa;
2) длинами отрезков между точками с противоположных сторон квадрата - L13, L24;
3) углом между отрезками L13, L24 - fi.

Для определенности alfa - наклон первой стороны квадрата. Тогда имеем
(L13/L24)*sin(alfa) = cos(fi-alfa).
При fi=90 градусов (ортогональные, равные отрезки!) получаем тождество:
1*sin(alfa) = cos(90-alfa) = sin(alfa).
Отсюда следует, что alfa - произвольный угол... из ОДЗ (не упустить из виду!): ориентация "пробного" квадрата НЕ должна нарушать топологической картины == точки 1,2,3,4 располагаются именно на сторонах квадрата, а не просто на линиях, эти стороны содержащие.
Окончательно: значение alfa (наклона первой стороны квадрата) варьируется ВНЕ раствора угла, образованного точками "4-1-2".

З.Ы. При fi, не равном 90 градусов, решение единственное.
З.З.Ы. Задача допускает обобщение: вместо квадрата построить прямоугольник с заданным соотношением сторон.

[ 06-04-2001: Message edited by: vofa ]

[ 06-04-2001: Message edited by: vofa ]

ChickenFromMinsk · Post by **ChickenFromMinsk** » 09 Apr 2001 17:59

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Enchanter:
[i:f9dec51f78]Физика -> Механика

Два абсолютно одинаковых шарика бросаются сверху на разные чаши весов. Одна чашка липкая и шарик прилипает. Другая нелипкая и шарик прыгает вверх-вниз. Какая чаша весов в конечном счёте перевесит?[/i:f9dec51f78]<HR></BLOCKQUOTE>

Enchanter, а ваша задача с подвохом? Логически рассуждая, в конце концов прыгающий шарик перестанет прыгать и весы уравновесятся (если пренебречь весом липкой массы)? Или я что-то упускаю? Кстати, мне вот тут подкинули задачу тоже по физике, которую я не могу решить. Может кто-нибудь подскажет. Сила тяготения возрастает по мере приближения тел друг к другу. Привести пример, когда тела приближаются, а сила тяготения ослабевает. Я предложила решение "лед и пламя", но мне было сказано, что тела не меняют свое состояние и никакая другая сила в процессе не участвует...

COPOKA · Post by **COPOKA** » 09 Apr 2001 18:36

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by vofa:
[i:075ade7014]2COPOKA, 2Virgo

"Легкая паника?" ;=)
. . . .
З.Ы. При fi, не равном 90 градусов, решение единственное.
[/i:075ade7014]<HR></BLOCKQUOTE>
Ну. А я о чем говорила? При симметричном расположении точек угол как раз 90... Вот отступите от каждого угла по часовой стрелке на одинаковое расстояние и посмотрите сами ... [img:075ade7014]images/smiles/icon_smile.gif[/img:075ade7014]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 09 Apr 2001 18:42

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by ChickenFromMinsk:
[i:f20025d733]
в конце концов прыгающий шарик перестанет прыгать и весы уравновесятся (если пренебречь весом липкой массы)?[/i:f20025d733]<HR></BLOCKQUOTE>
Я так понимаю, они могут уравновеситься наперекосяк? И вообще, есть ли у весов масса? (Ребенок спрашивает, я в задачку по обыкновению не врубалась, не пинайтесь больно)
<BLOCKQUOTE>quote:<HR>[i:f20025d733]
Привести пример, когда тела приближаются, а сила тяготения ослабевает. [/i:f20025d733]<HR></BLOCKQUOTE>
Как насчет маленького шарика, приближающегося изнутри к стенке большого полого шара? (just a thought)

ChickenFromMinsk, ну как, книжку-то нашли в библиотеке?

Sasha K · Post by **Sasha K** » 09 Apr 2001 22:59

Просили задачки по физике, а дают все по математике. Вот старая задачка с физ. олимпиады. Все, наверное, знают решение, но вдруг кто не знает..
Когда на велосипеде тормозишь передним тормозом, то он имеет тенденцию переворачиваться через руль. Почему этого не случается, когда используешь задний тормоз?

Joker · Post by **Joker** » 09 Apr 2001 23:16

Потому что сзади не руль, а седло [img:7c8082e515]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:7c8082e515] [img:7c8082e515]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:7c8082e515] [img:7c8082e515]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:7c8082e515]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 09 Apr 2001 23:54

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Joker:
[i:27c732564e][QUOTE]
P.P.S. Так ни одной задачки никто и не решил [img:27c732564e]images/smiles/icon_wink.gif[/img:27c732564e] про квадрат, конечно, задача намного легче...[/i:27c732564e]<HR></BLOCKQUOTE>
Почему это ни одной? Говорю же - распилить по сетке. Сложить квадратики в стопочку. Посмотреть на просвет... Где виднеется сквозная дырочка - воткнуть булавку. Разложить все обратно [img:27c732564e]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:27c732564e] и нарисовать новую сетку с узлами в дырочках. Поворот даже и ни к чему, одного сдвига вроде как хватает... А зачем, кстати, кляксе быть такой уж односвязной?