2 шара катящиеся вниз...

Snafu · Post by **Snafu** » 03 Oct 2007 21:04

Так, решение задачи в общем виде.
Два шарика катятся по горизонтальной поверхности. Один из них на какое-то время переходит на уровень с меньшей потенциальной энергией, приобретая за счет этого более высокую кинетическую энергию (т.е. скорость). По истечении какого-то времени возвращается на прежний уровень, восстанавливая прежние скорость и высоту. Процесс идеальный, потери энергии отсутствуют, сумма кинетической и потенциальной - константа.
Ничего не напоминает?
Именно! Небесная механика, низкие (скоростные) и высокие (медленные) орбиты и переходы между ними. И чему меня в Баумани шесть лет учили? :angry:

Посыпаю голову пеплом...

vaduz · Post by **vaduz** » 03 Oct 2007 21:08

venco wrote:Есть ещё одна тонкость - инерция вращения шарика.
Её действие противоположно по знаку - про разгоне (и раскручивании) шарика трение будет иметь горизонтальную составляющую, направленную назад. Надо подумать, может ли она скомпенсировать разгон...

IMHO, профессор подразумевал что-нибудь скользящее без трения...

venco · Post by **venco** » 03 Oct 2007 21:08

venco wrote:Есть ещё одна тонкость - инерция вращения шарика.

Если учесть инерцию вращения, при условии, что проскальзывания нет, то шарик не будет разгонятся горизонтально только если это не шарик, а пустой цилиндр с максимальным моментом инерции.

Ворона · Post by **Ворона** » 03 Oct 2007 21:24

Snafu wrote:Предельный случай - ямка занимает всю длину траектории. ... И вся любофф.

Вот именно. А еще предельнее - если начальная скорость у шариков равна нулю. Тогда второй шарик упадет в лунку и выскочит на противоположном конце, а первый так и останется лежать на том же месте. Ну и кто быстрее? Кстати, с дорогами и машинами это тоже работает - надо только вырыть правильного размера яму между пунктами А и Б.

vm__ · Post by **vm__** » 03 Oct 2007 21:47

Ворона wrote: надо только вырыть правильного размера яму между пунктами А и Б.

Оффтоплю - однако про такое даже не подозревал что возможно! http://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve: " the curve for which the time taken by a frictionless particle sliding down it under uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point"
"Первых нет и отстающих..." (c) :mrgreen:

Dimchik · Post by **Dimchik** » 03 Oct 2007 21:57

А, понял где у меня глюк: у меня при входе в ямку сидит демон, и своей демонической рукой направляет шарик в ямку, без отрыва от поверхности, сохраняя абсолютную величину скорости. Если же демона нет, то Flash и venco правы, видимо.

Ворона · Post by **Ворона** » 03 Oct 2007 22:03

vm__ wrote:
Ворона wrote: надо только вырыть правильного размера яму между пунктами А и Б.
Оффтоплю - однако про такое даже не подозревал что возможно! http://en.wikipedia.org/wiki/Tautochrone_curve: " the curve for which the time taken by a frictionless particle sliding down it under uniform gravity to its lowest point is independent of its starting point"
"Первых нет и отстающих..." (c)

И брахистохрона, и таутохрона - циклоды по сути и как раз являтся "особым случаем".
Так вот я все же думаю, что речь о том, что для специфицеской формы лунки и специфической начальной скорости шариков в начале лунки - возможно, что 2-й шарик придет первым. Ему ведь не надо набрать на выходе из лунки выше скорость, а достаточно преодолеть лунку быстрее, чем 1-й шарик пройдет свой горизонтальный участок.
Грубо прикинуть: Время движения по циклоидальной лунке – t2 = 2pi*sqrt(a/g) (a- глубина лунки). ( http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html )
Пусть оба шарика в момент перед лункой имеют скорость v. Даже если допустить, что первый шарик так и будет двигаться с этой скоростью, то, чтобы он отстал от второго на выходе из лунки, достаточно, чтобы t1 = s/v > t2 (s – «ширина» лунки, для циклоиды равна 2pi*a). => v < sqrt(ag/2). :mrgreen:

vm__ · Post by **vm__** » 03 Oct 2007 23:53

venco wrote:Силой трения, как я понимаю, пренебрегаем.
Шарик от поверхности не отрывается.
Вопрос в том, как обеспечивается это условие.
Если нет никаких дополнительных прижимающих рельсов, т.е. просто форма ямки такова, что шарик не оторвётся, то можно показать...

А если отрывается - то может пролететь почти над всей ямой, удариться в (идеальную) правую стенку ямы, отскочить влево, и продолжать болтаться туда-сюда бесконечно долго... В то время как первый шарик будет катиться вправо бесконечно далеко :mrgreen:

Polar Cossack · Post by **Polar Cossack** » 04 Oct 2007 00:01

vm__ wrote:
venco wrote:Силой трения, как я понимаю, пренебрегаем.
А если отрывается - то может пролететь почти над всей ямой, удариться в (идеальную) правую стенку ямы, отскочить влево, и продолжать болтаться туда-сюда бесконечно долго... В то время как первый шарик будет катиться вправо бесконечно далеко

Да что там - раз уж трения нет - давайте и гравитацию выкинем. Полетит он над ямой, а так как больше нет силы, тянущей его вниз, "он как рванет

".

voyager · Post by **voyager** » 04 Oct 2007 01:25

Мне кажется, правильная модель должна учитывать вращение шаров (а это именно шары а не точки). Так вот, очевидно что если один из шаров крутится медленнее, то и к финишу он придет первым. Когда шар проваливается в лунку, да еще на горке, он может проскользнуть начальный кусок пути в лунке (крутой). Если так, то его скорость вращения будет меньше чем у другого шара, а скорость чентра масс, соответственно больше.

Polar Cossack · Post by **Polar Cossack** » 04 Oct 2007 01:32

voyager wrote:Так вот, очевидно что если один из шаров крутится медленнее, то и к финишу он придет первым.

По принципу "тише едешь..."?
Кстати, если у нас трения нет, шары вообще не покатят. :pain1:

voyager · Post by **voyager** » 04 Oct 2007 02:18

Polar Cossack wrote:
voyager wrote:Так вот, очевидно что если один из шаров крутится медленнее, то и к финишу он придет первым.
По принципу "тише едешь..."?

- Потенциальная энергия в начале = кинетическая знергия ц. масс + знергия вращения в конце.

Polar Cossack wrote:Кстати, если у нас трения нет, шары вообще не покатят.

- Зто у вас: The balls both start uphill, roll down

venco · Post by **venco** » 04 Oct 2007 02:54

Потенциальная энергия в начале = кинетическая знергия ц. масс + знергия вращения в конце + потери от трения.

Если есть проскальзывание, то потери от трения будут большие.
Если же проскальзывания нет, то даже с учётом вращения шар через ямку доедет быстрее.

Polar Cossack · Post by **Polar Cossack** » 04 Oct 2007 03:40

voyager wrote:
Polar Cossack wrote:Кстати, если у нас трения нет, шары вообще не покатят.
- Зто у вас: The balls both start uphill, roll down

У меня такого не случается. :nono#:

Расскажите, с какого физического принципа шары покатятся при отсуствии трения.

voyager · Post by **voyager** » 04 Oct 2007 04:12

venco wrote:Потенциальная энергия в начале = кинетическая знергия ц. масс + знергия вращения в конце + потери от трения.

Если есть проскальзывание, то потери от трения будут большие.
Если же проскальзывания нет, то даже с учётом вращения шар через ямку доедет быстрее.

Браво!

А теперь попробуйте оценить часть энергии которая диссипирует при проскальзывании.

voyager · Post by **voyager** » 04 Oct 2007 04:19

Polar Cossack wrote:
voyager wrote:
Polar Cossack wrote:Кстати, если у нас трения нет, шары вообще не покатят.
- Зто у вас: The balls both start uphill, roll down
У меня такого не случается. Расскажите, с какого физического принципа шары покатятся при отсуствии трения.

Вы пишите: "у нас трения нет ..."
Я отвечаю: в условии задачи явно есть. Еще что-то неясно?

venco · Post by **venco** » 04 Oct 2007 04:22

voyager wrote:А теперь попробуйте оценить часть энергии которая диссипирует при проскальзывании.

0-100%

Polar Cossack · Post by **Polar Cossack** » 04 Oct 2007 04:32

voyager wrote:Вы пишите: "у нас трения нет ..."
Я отвечаю: в условии задачи явно есть. Еще что-то неясно?

Тогда шар в лунке замедлится, а при недостаточной начальной скорости и не выберется. Либо отменяем законы, либо считаем по-честному. Нас так на физике учили.

JustCat · Post by **JustCat** » 04 Oct 2007 05:46

Народ. все просто как бином Ньютона.
Пренебрегая тонкостями мы имеем следующую задачу.
Из точку А отправляются два одинаковые шарика с одинаковыми горизонтальными скоростями v по двум траекториям до точки В: одна горизонтальная, вторая через яму. Время прохождения расстояние АВ делить на среднюю горизонтальную скорость. На пути с ямой средняя горизонтальная скорость выше по причине увеличения из-за горизонтальной проекции силы реакции опоры (дорожки) на пути до дна ямы, а затем уменьшения до начальной скорости, т.к. горизонтальная проекция силы реакции опоры меняет знак на противоположный.

Учет момент инерции приводит к некой задержке, но не меняет результат.

Удачи.

Иоп · Post by **Иоп** » 04 Oct 2007 13:42

Очень интересная задачка!

(остальное удалил. написал, неподумав)

vm__ · Post by **vm__** » 04 Oct 2007 15:45

JustCat wrote:Народ. все просто как бином Ньютона.
Пренебрегая тонкостями мы имеем следующую задачу.
Из точку А отправляются два одинаковые шарика с одинаковыми горизонтальными скоростями v по двум траекториям до точки В: одна горизонтальная, вторая через яму. Время прохождения расстояние АВ делить на среднюю горизонтальную скорость. На пути с ямой средняя горизонтальная скорость выше по причине увеличения из-за горизонтальной проекции силы реакции опоры (дорожки) на пути до дна ямы, а затем уменьшения до начальной скорости, т.к. горизонтальная проекция силы реакции опоры меняет знак на противоположный.
Учет момент инерции приводит к некой задержке, но не меняет результат.
Удачи.

Просто-то просто, если тонкостями пренебречь, конечно! :fr:

Пренебрегаем трением, моментом инерции, считаем шарики точками, замечательно.
И подразумеваем, что яма имеет "правильную" для данной задачи форму - при которой шары плавно катятся и не отрываются от поверхности (а не движутся как бусинки по проволочке или тележка по рельсам). И не рассматриваем ямы "неправильной" формы (например, с вертикальными стенками).

Можно, кстати, было бы рассмотреть симметричную задачку - когда на дороге вместо выбоины - наоборот, нашлепка, speed bump, выпуклость с формой, симметричной ямке в исходной задаче :mrgreen:

venco · Post by **venco** » 04 Oct 2007 16:23

vm__ wrote:Просто-то просто, если тонкостями пренебречь, конечно!
Пренебрегаем трением, моментом инерции, считаем шарики точками, замечательно.

Пренебрегаем только трением качения, и требуем качения без проскальзывания, соответственно трение скольжения есть.
Моментом инерции уже не пренебрегаем, соответственно шарики точками не считаем.

И подразумеваем, что яма имеет "правильную" для данной задачи форму - при которой шары плавно катятся и не отрываются от поверхности (а не движутся как бусинки по проволочке или тележка по рельсам). И не рассматриваем ямы "неправильной" формы (например, с вертикальными стенками).

Это да. Но этим условиям удовлетворяет любая достаточно гладкая ямка.

Можно, кстати, было бы рассмотреть симметричную задачку - когда на дороге вместо выбоины - наоборот, нашлепка, speed bump, выпуклость с формой, симметричной ямке в исходной задаче

В этом случае никакого противоречия со здавым смыслом нет. Он подсказывает, что будет медленнее, и так оно и есть.

vm__ · Post by **vm__** » 04 Oct 2007 16:34

venco wrote: этим условиям удовлетворяет любая достаточно гладкая ямка.

Т.е. любая "правильная"? :mrgreen:

Вот и я о том же! (В смысле - гладкая, да, но далеко не любая).

Snafu · Post by **Snafu** » 04 Oct 2007 17:04

Можно, кстати, было бы рассмотреть симметричную задачку - когда на дороге вместо выбоины - наоборот, нашлепка, speed bump, выпуклость с формой, симметричной ямке в исходной задаче

Легко

Шарик вкатывается на бугор, тормозясь при этом, какое-то время движется с меньшей скоростью, чем контольный шарик, потом скатывается вниз - но поздно, поезд ушел

Джентльмены, вся задача крутится вокруг определения ямки. Если это канава, траншея, противотанковый ров или канал имени Москвы - переходными процессами (закатыванием и выкатыванием) можно пренебречь. А стало быть и трением, моментами инерции, сопротивлением воздуха и реликтовым космическим излучением - на прямом участке все это одинаково действует на оба шарика (зависимостью от скорости пренебрегаем). Чем длиннее прямолинейный участок внутри ямки, тем более верно данное утверждение.
А если ямка - это именно ямка (т.е. свалился - и сразу взад), то все с точностью до наоборот. Т.е. не имеем ничего, кроме переходных процессов. Которые могут быть какими угодно в зависимости от принятых допущений. Т.е. шарик может катиться быстрее контрольного, медленнее, или вообще остаться в ямке. Однозначного решения нет и быть не может. Я вам одним коэффициентом трения любой результат подгоню.

vm__ · Post by **vm__** » 04 Oct 2007 18:10

Snafu wrote: Джентльмены, вся задача крутится вокруг определения ямки.