Бесконечная сетка сопротивлений

Deynekin · Post by **Deynekin** » 11 Feb 2006 16:37

venco wrote:Ладно, вот решение. [...]

За-ме-ча-тель-но! :great:

(хотя те, для кого линейные цепи - повседневное занятие, могут и плечами пожать: в чём, мол-де, вообще заковыка?)

В заключение разговора (а кому интересно, то не в заключение, но в продолжение!) процитирую здесь концовку статьи "Сопротивление рёбер многомерного куба" ("Квант", № 6, 1988; стр. 21-24):

"Задача 6. Покажите, что сопротивление между соседними узлами схемы из m узлов, в каждый из которых входит s сопротивлений в 1 Ом, равно R = (2/s)*(1 - 1/m).

Например, для бесконечной двумерной квадратной сетки получается простой ответ: R = 1/2 (s = 4, m = inf). Для сетки из треугольников (s = 6, m = inf) R = 1/3, для сетки из шестиугольников (s = 3, m = inf) R = 2/3, для тетраэдра (s = 3, m = 4) R = 1/2. Для n-мерного куба получаем (s = n, m = 2^n) R = (2/n)*(1 - 1/2^n).

Ещё более интересна (но, увы, не элементарна!) задача о подсчёте сопротивления между соседними диагональными узлами бесконечной квадратной сетки из сопротивлений в 1 Ом. Ответ оказывается равным 2/π Ом, хотя в схеме нет ни намёка на окружность!"

Иоп · Post by **Иоп** » 11 Feb 2006 17:52

KP580BE51 wrote:
venco wrote:В этом приближении сопротивление получится 40/87.

Вот. Инженерное решение задачи.

PS: Ногами не бить, я в нем почти не работал.

Я открыл и испугался сначала!

Dimchik · Post by **Dimchik** » 11 Feb 2006 22:56

Deynekin wrote:Ещё более интересна (но, увы, не элементарна!) задача о подсчёте сопротивления между соседними диагональными узлами бесконечной квадратной сетки из сопротивлений в 1 Ом. Ответ оказывается равным 2/π Ом, хотя в схеме нет ни намёка на окружность!"

Кстати, а как она по-человечески решается? Я знаю совсем уж недетское решение с функциями Грина. Есть проще?

KP580BE51 · Post by **KP580BE51** » 12 Feb 2006 00:21

Deynekin wrote:За-ме-ча-тель-но! (хотя те, для кого линейные цепи - повседневное занятие, могут и плечами пожать: в чём, мол-де, вообще заковыка?)

Бесконечное поле резисторов на 1 Ом? Повседневно? :horror:

Тут Иоп перепугался небольшой сетки, а если она будет БЕСКОНЕЧНАЯ!!!

Deynekin · Post by **Deynekin** » 12 Feb 2006 02:15

Dimchik wrote:Кстати, а как она по-человечески решается? Я знаю совсем уж недетское решение с функциями Грина. Есть проще?

Не знаю, Dimchik, то, как Вы видите, была цитата, не мой текст. Но если у Вас есть решение, не покажете ли? Я, хоть и ленив, но по временам очень любопытен.

Dimchik · Post by **Dimchik** » 12 Feb 2006 06:48

Deynekin wrote:
Dimchik wrote:Кстати, а как она по-человечески решается? Я знаю совсем уж недетское решение с функциями Грина. Есть проще?

Не знаю, Dimchik, то, как Вы видите, была цитата, не мой текст. Но если у Вас есть решение, не покажете ли? Я, хоть и ленив, но по временам очень любопытен.

А, понял.

Но позвольте мне вам пока отказать в подробных выкладках, или хотя бы отложить до времен, когда будет бельше времени.

Т.е. шаги такие (только один ток стекает и растекается на бесконечность):
1) пишем з-н Кирхгофа для n-ого узла (сумма токов из него есть ноль, если это не нулевой узел, куда втекает ток, и полный ток, когда n=0).
2) Переходим в обратное пространство (фурьим все), получаем уравнение для потенциала
3) Для двух токов, втекающего и вытекающего пользуемся принципом суперпозиции, получаем разность потенциалов между двумя узлами, делим на ток, получаем сопротивление.

vm__ · Post by **vm__** » 12 Feb 2006 07:27

KP580BE51 wrote:Вот. Инженерное решение задачи.

Инженерное - спаять сетку 1х1 - померить, добавить, померить, добавить, померить - нарисовать графики - попытаться аппроксимировать функцеечкой - допаять еще, померить, еще, померить, нарисовать графики, обработать статистически. Задуматься - а нафига это надо? Если надо - еще припаять и померить :mrgreen:

А "бесконечность" - вааще не инженерное слово! :mrgreen:

KP580BE51 · Post by **KP580BE51** » 12 Feb 2006 07:34

vm__ wrote:Инженерное - спаять сетку 1х1 - померить, добавить, померить, добавить, померить - нарисовать графики - попытаться аппроксимировать функцеечкой - допаять еще, померить, еще, померить, нарисовать графики, обработать статистически. Задуматься - а нафига это надо? Если надо - еще припаять и померить

Ну вот, чуть что, так сазу паять.

Но с другой стороны, сетку из 4х4, я быстрее спаяю, чем вспомню как ее моделировать на компютере.

А вот 200х200.....

А "бесконечность" - вааще не инженерное слово!

Вот это правильно! Аднозначно! Математикаффф Ф топку!

vm__ · Post by **vm__** » 12 Feb 2006 08:19

KP580BE51 wrote:А вот 200х200.....

Ну, это же практически бесконечность! :mrgreen:

Типа - "параноики - пишут нолики" (а не инженерА) :mrgreen:

KP580BE51 · Post by **KP580BE51** » 12 Feb 2006 08:28

vm__ wrote:
KP580BE51 wrote:А вот 200х200.....

Ну, это же практически бесконечность!
Типа - "параноики - пишут нолики" (а не инженерА)

При 200х200 придется кроме того что прецезионные использовать, так еще и учитывать то что те к которым питание подведено больше нагреются...

vm__ · Post by **vm__** » 12 Feb 2006 09:05

KP580BE51 wrote:учитывать то что те к которым питание подведено больше нагреются...

Поливать жидким азотом, или на каждый поставить по радиатору с вентилятором... Но все равно - по сравнению с бесконечностью - детские игры :mrgreen:

flip_flop · Post by **flip_flop** » 14 Feb 2006 10:58

Dimchik wrote:
Deynekin wrote:Ещё более интересна (но, увы, не элементарна!) задача о подсчёте сопротивления между соседними диагональными узлами бесконечной квадратной сетки из сопротивлений в 1 Ом. Ответ оказывается равным 2/π Ом, хотя в схеме нет ни намёка на окружность!"

Кстати, а как она по-человечески решается? Я знаю совсем уж недетское решение с функциями Грина. Есть проще?

О! Чудесные задачки проглядел. Спасибо. :great:

"детское" решение сопротивления по диагонали - берем решение venco (замечательное решение) и применяем два раза - сумма напряжений на 2 ветвях: 1) ветвь исходный узел- смежный узел (1/4) V ; 2) смежный узел - диагональный узел (1/3*1/4) V, затем сумму умножаем на два в силу суперпозиции двух источников тока +1 A и -1 A и находим напряжение между ними: 2*(1/4+1/4*1/3)=2/3. Осталось домыслить куда девались 0.1415926... (но это уже другая задача) :wink:

Vector · Post by **Vector** » 22 Feb 2006 01:36

venco wrote:Ладно, вот решение.
Для начала заземлим сетку на бесконечности и присоединим к одному узлу источник тока 1А.
Этот ток разделится поровну между 4-мя резисторами подсоединёнными к узлу. Как ток течёт дальше - нам неважно, главное, что по ближайшим резисторам течёт ток в 0.25А. Теперь к соседнему узлу добавим отрицательный источник тока -1А. Этот ток также разделится поровну, так что по резистору между источниками тока будет течь ток 0.5А, т.е. напряжение между источниками тока - 0.5В.
Итак, мы пропустили через сетку 1А, и напряжение установилось 0.5В, т.е. сопротивление сетки - 0.5В / 1А = 0.5 Ома.

А откуда известно, что напряжение 0.5В ?

venco · Post by **venco** » 22 Feb 2006 03:51

0.5А * 1Ом = 0.5В

Dimchik · Post by **Dimchik** » 22 Feb 2006 04:13

venco wrote:0.5А * 1Ом = 0.5В

0.5 ампера умножить на десять метров равно 5 Ампер*метр, а не какие-то 0.5В :umnik1: