Помогите решить, сломал всю голову..

[настя82]

мне дали эту задачу друзья. сказали, на МехМате на нее нают 15 минут...

Есть окружность, известен ее центр и есть ТОЛЬКО одна линейка.
ничего больше нет.

нужно вписать в окружность квадрат.

[Ворона]

А линейка двухсторонняя или односторонняя? При двух- кажется, решается элементарно.

[настя82]

мы это обговаривали.

[vm__]

Есть окружность, известен ее центр и есть ТОЛЬКО одна линейка. ничего больше нет.

Карандашик или гвоздик? Руки? Глаза?

[KP580BE51]

Есть окружность, известен ее центр и есть ТОЛЬКО одна линейка. ничего больше нет.

Карандашик или гвоздик? Руки? Глаза?

Если линейкой можно мерять, то элементарно.

[blak_box]

Вот что мне пришло в голову:

1) Проведите прямую через центр оркужности. Так как центр известен, то делате насечки на линейке равные радиусу и диаметру. Назовем центр окружости Р, точки на окружности А и Г. Насечки на линейке назовем Л1, ЛЦ (посередине) и Л2.

2) Совместив Л1 с А, двигаем линейку так чтобы ЛЦ оказалась на окружности. Назовем точку пересечения линейки и оркужности Б. Назовем точку, соответствуюшую насечке Л2 точкой В.

3) Повторите 2) только теперь в другую сторону. Получите точки Д (на окружности) и Е.

4) Треугольники АВГ и АЕГ равносторонние со стороной равной диаметру.

5) Соедините В и Е. Они пересекут окружность в точках Ж и З.

6) Искомый квадрат имеет вершины АЖГЗ.

[настя82]

нельзя делать на линейке никаких насечек.

если бы можно было, решалось бы несколькими путями.

у меня мысли такие:
1. надо использовать угол, операющийся на диаметр (он всегда 90 гр)
2. надо использовать перпендикуляр в виде соединения двух любых точек окружности с соединением центра и пересечения касательных этих точек.

задача не решается просто, но решается очень изящно.

не хочу спрашивать друзей решение.

давайте попробуем решить вместе.

[blak_box]

Хочу уточнить насчет линейки: можно ли ее использовать для построения касательной к окружности от точки вне оркужности? Или только для соединения точек?

[PavelM]

линейкой мерять нельзя и насечки насекать на ней тоже

красный, желтый, зеленый, синий

[venco]

красный, желтый, зеленый, синий

А касательные разве можно строить? По моему, это нереально.

[vm__]

А касательные разве можно строить? По моему, это нереально.

Если только "глазом пристрелямши"
Не помешало бы договориться, что разрешено делать линейке, кроме прямых через две точки.
(Ну, и что бумагу нельзя складывать и смотреть на просвет )

[Tigrius]

красный, желтый, зеленый, синий

А касательные разве можно строить? По моему, это нереально.

Если известен центр, то можно! Пусть O - центр окружности, мы хотим построить касательную, проходящую через точку A (не лежащую на окружности).

Построим 3 секущие к окружности, проходящие через точку A. Обозначим точки пересечения с окружностью через B1, C1, B2, C2 и B3, C3.
Найдем точки пересечения отрезков B1-C2 и B2-C1, и отрезков B2-C3 и B3-C2, обозначим их K и L. Теперь построим прямую KL (она называется полярой точки A). Пусть она пересекает окружность в точках M и N. Тогда AM и AN касательные к окружности.

Если A лежит на окружности, построение чуть-чуть сложнее.

[Tigrius]

Не помешало бы договориться, что разрешено делать линейке, кроме прямых через две точки.

А ничего больше делать и нельзя .

[blak_box]

1) Рисуем диаметр. Для нагладности рисуем по горизонтали. Обозначим точки диаметра: А - слева, Ц - центр, Б - справа.

2) Выбираем 2 точки на окружности: В - в северо-западном угле, Г - в северо-восточном. Строим прямые АВ, БГ, продолжаем их наверх, пока они не пересекутса за пределами окружности в точке Д. Соединяем А с Г, Б с В и точку пересечения обзываем Е. А теперь соединаем Д с Е. Высоты треугольника АДБ пересекаютса в одной точке, отсюда делаем вывод, что ДЕ перпендикулярна диамерту, или в нашем случае строго вертикальна.

3) Соединяем В с Ц и Г с Ц, продолжем их вниз, получив еше 2 точки пересечения с окружносью В1 и Г1. Повторив все вышеописанные процедуры получаем еше один вертикальный перпендикуляр, который находитса на том же расстоянии от центра окружности, что и первый, но уже с другой стороны.

4) Далее по-моему все очевидно.

[Dweller]

1) Рисуем диаметр. Для нагладности рисуем по горизонтали. Обозначим точки диаметра: А - слева, Ц - центр, Б - справа.

2) Выбираем 2 точки на окружности: В - в северо-западном угле, Г - в северо-восточном. Строим прямые АВ, БГ, продолжаем их наверх, пока они не пересекутса за пределами окружности в точке Д. Соединяем А с Г, Б с В и точку пересечения обзываем Е. А теперь соединаем Д с Е. Высоты треугольника АДБ пересекаютса в одной точке, отсюда делаем вывод, что ДЕ перпендикулярна диамерту, или в нашем случае строго вертикальна.

3) Соединяем В с Ц и Г с Ц, продолжем их вниз, получив еше 2 точки пересечения с окружносью В1 и Г1. Повторив все вышеописанные процедуры получаем еше один вертикальный перпендикуляр, который находитса на том же расстоянии от центра окружности, что и первый, но уже с другой стороны.

4) Далее по-моему все очевидно.

А мне неочевидно.
Две параллельные прямые на одинаковом расстоянии от центра можно получить и более простым способом.
Что дальше?

[blak_box]

А мне неочевидно.
Две параллельные прямые на одинаковом расстоянии от центра можно получить и более простым способом.
Что дальше?

Они не просто паралелльные, а еше и перпендикулярные исходному диаметру.

Ети 2 прямые пересекают окружность в 4-х точках. Соедините А с северо-восточной точкой, Б с северо-западной. Они пересекутса в точке "Север". Теперь соедините А с юго-восточной точкой, Б с юго-западной. Они пересекутса в точке "Юг". Постройте прямую Север-Юг, которая проходит через центр окружности и строго вертикальна. Ее пересечение с окружностью, а также точки А и Б и есть вершины квадрата.

[vm__]

Ее пересечение с окружностью, а также точки А и Б и есть вершины квадрата.

[PavelM]

2) Выбираем 2 точки на окружности: В - в северо-западном угле, Г - в северо-восточном. Строим прямые АВ, БГ, продолжаем их наверх, пока они не пересекутса за пределами окружности в точке Д. Соединяем А с Г, Б с В и точку пересечения обзываем Е. А теперь соединаем Д с Е. Высоты треугольника АДБ пересекаютса в одной точке, отсюда делаем вывод, что ДЕ перпендикулярна диамерту, или в нашем случае строго вертикальна.

Поясните пожалуйста откуда Вы взяли что АГ и БВ высоты треугольника АДБ?

[venco]

Поясните пожалуйста откуда Вы взяли что АГ и БВ высоты треугольника АДБ?

Потому что это АВБ и АГБ - углы, построенные на диаметре АБ, следовательно - прямые.

[olg2002]

Высоты треугольника АДБ пересекаютса в одной точке, отсюда делаем вывод, что ДЕ перпендикулярна диамерту, или в нашем случае строго вертикальна.

[Репка]

Цель - провести две диагонали в под ПРЯМЫМ углом. Поскольку торцом линейкой пользоваться нельзя , то ---

Проводим через центр две диагонали под произвольными углами.
Проводим КАСАТЕЛЬНЫЕ через 4 точки пересечения этих диагоналей с окружностью.
Касательные пересекутся между собой и образуют ромб (ВНЕ круга).
Проводим диагонали в ромбе. Они пересекутся под ПРЯМЫМ углов в центре окружности. Все. Соединяем точки их пересечения с окр. - получается квадрат в окружности.


-

[Merilica]

Проводим КАСАТЕЛЬНЫЕ через 4 точки пересечения этих диагоналей с окружностью.
-

.

Только касательные должны быть строго перпендикулярны этим диагоналям.

[blak_box]

Цель - провести две диагонали в под ПРЯМЫМ углом. Поскольку торцом линейкой пользоваться нельзя , то ---

Проводим через центр две диагонали под произвольными углами.
Проводим КАСАТЕЛЬНЫЕ через 4 точки пересечения этих диагоналей с окружностью.
Касательные пересекутся между собой и образуют ромб (ВНЕ круга).
Проводим диагонали в ромбе. Они пересекутся под ПРЯМЫМ углов в центре окружности. Все. Соединяем точки их пересечения с окр. - получается квадрат в окружности.
-

Слокько всего прямых вы проведете пока не построите ети две диагонали?
Если мой алгоритм упростить, точнее убрать лишние движения, то нужно будет провести 10 прямых, плюс 4 стороны получившегося квадрата, то всего 14 прямых.

[Репка]

Merilica, такого не бывает - " касательные провести строго перпендикулярны этим диагоналям" - ТОЛЬКО! одну касательную можно провести через точку на окружности (аксиома.. или как там называется) и нельзя провести одну перпенд., а другую неперпендик.
Да, касательная будет перпендикулярна той диагонали, кот. пересекается с окр. и дает нам эту точку. Вам кажется, что чуть-чуть отклони касательную и она....- нет - только ОДНУ - ЧЕРЕЗ точку на диагонали. В этом суть задачи. И потом, если бы могли прямой угол сделать, то сразу бы построили квадрат проведя перпендикулярно две диагонали - ведь в чем суть головоломки %), - как сделать прямой угол.


blak-box, нужно провести всего 8 линий + стороны квадрата

Вот, не поленилась - сделала рисунок (неровно и не по центру - да ладно)
Осталось провести диагонали во внешнем ромбе и потом стороны квадрата, соединив точки пересечения этих диаг. с окр. Теперь понятно?

[venco]

А касательные разве можно строить? По моему, это нереально.

Если A лежит на окружности, построение чуть-чуть сложнее.

Приведите его, пожалуйста, а то без этого вариант Павла не проходит.