Уравнение Бернулли

[Deynekin]

В "паровозные" времена, говорят, было предложенно устройство, позволяющее паровозу набирать воду на ходу: на некотором участке вдоль пути устраивался канал, запоненный водой, а паровоз снабжался L-образным опускаемым водозаборником. Под действием скоростного напора вода поднималась по трубе водозаборника и попадала в бак. Очевидно, что максимальная высота H подъёма воды определяется соотношением ρV^2/2 = ρgH, где V - скорость паровоза. (Кстати, в наше время так, вроде бы, набирают воду из озера некоторые самолёты-борцы с лесными пожарами.)

А теперь сядем на берег и проанализируем процесс с этой точки зрения:

Вода в водозаборной трубе движется вместе с трубой, т.е. скорость жидкости на входе в трубу равна V. Далеко перед трубой ("на бесконечности") жидкость покоится и её давление равно нулю (будем давление отсчитывать от этого уровня). Тогда, записывая уравнение Бернулли для линии тока, начинающейся в бесконечности и упирающейся в центр водозаборника, получаем: 0+0 = ρV^2/2 + P.
Здесь первый нуль - это скоростной напор на бесконечности (там скорость равна нулю), второй нуль - давление на бесонечности; и P - давление на входе в трубу. Видим. что это давление отрицательное! Караул, вода в трубе не будет подниматься!

- В чём ошибка?

[underdog]

Для того, чтобы исключить действие силы тяжести поверните трубу на 90 градусов. Тогда поймете, где ошибка.

[Deynekin]

Для того, чтобы исключить действие силы тяжести поверните трубу на 90 градусов. Тогда поймете, где ошибка.

А если я предложу вместо трубы вообще двигать стакан открытым концом вперёд (чтоб уж совсем нечего было поворачивать но 90 градусов) и спрошу какое при этом образуется давление в стакане (более дотошно: "насколько оно отличается от давления на том же уровне на бесконечности, где жидкость покоится?"), Вы поймёте, где ошибка? Не говоря уж о том, чем Вам сила тяжести-то помешала?

Дисклаймер: Признаюсь: уж на эту-то задачу я ответ знаю точно, так что на сей раз, спрашивая "Где ошибка?" я не прошу помощи , как не раз уже бывало с другими задачами, но именно, что предлагаю головоломку с заранее известным решением.

[Koza]

Вода в водозаборной трубе движется вместе с трубой, т.е. скорость жидкости на входе в трубу равна В. ?

а какой же стати она движется?

[Hamster]

Уравнение Бернулли в форме ρV^2/2 + P + ρgH = const применимо в условиях "steady flow" ( как это будет по русски? ). Если считать в системе отсчета, связанной с берегом - это больше не steady flow, появляются новые слагаемые. В системе отсчета, связанной с паровозом, в приближении бесконечно длинного канала, все ОК.

[underdog]

Условие задачи представляет из себя бессмысленный набор фраз.

[underdog]

Уравнение Бернулли в форме ρV^2/2 + P + ρgH = const применимо в условиях "steady flow" ( как это будет по русски? ). Если считать в системе отсчета, связанной с берегом - это больше не steady flow, появляются новые слагаемые.

Почему?

[Deynekin]

Уравнение Бернулли в форме ρV^2/2 + P + ρgH = const применимо в условиях "steady flow" ( как это будет по русски? ). Если считать в системе отсчета, связанной с берегом - это больше не steady flow, появляются новые слагаемые. В системе отсчета, связанной с паровозом, в приближении бесконечно длинного канала, все ОК.

-Абсолютно правильно, в самую точку!

Рассматриваемый интеграл Бернулли ρV^2/2 + P + ρgH = const является результатом теоремы, справедливой при соблюдении (помимо, разумеется, невязкости жидкости/газа) следующих условий:

1. Течение стационарно, т.е. в любой точке скорость течения остаётся неизменной.

2. Внешние объёмные силы, действующие на жидкость, консервативны, т.е. имеют потенциал. (Сила тяжести как раз из таких, в привычных условиях она даёт член ρgH.)

3. Течение баротропно: плотность, если и меняется, то может быть целиком выражена через давление - т.е., напр., температура уже не понадобится. (В случае именно жидкости это вообще константа. Если же рассматривается газ, то следует различать вид течения: адиабатическое, изотермическое, etc.; для каждого из этих случаев соотв. член в интеграле Бернулли будет выглядеть по-своему; для жидкости же это просто Р.)

Итак, при переходе с паравоза на берег первое условие перестало выполняться - отсюда и "парадокс".

Интересно также отметить, что для выполнения интеграла Бернулли отсутствие завихренности жидкости отнюдь не требуется.

В случае же нестационарного течения имеется "аналогичный" интеграл - интеграл Коши (слова в ответе "появляются новые слагаемые" - это как раз намёк на него), но он тоже не всеобъемлющ: он справедлив только для незавихренных (потенциальных) течений. В случае же, когда течение и стационарно и потенциально, оба интеграла совпадают.

Вот такая "кухня" стоит за простеньким ρV^2/2 + P + ρgH = const.