"Упёртые" шары

Deynekin · Post by **Deynekin** » 03 Mar 2006 23:24

Над горизонтальной плоскостью заданы две точки, расположенные на разной высоте. К ним поочерёдно подкатывают шары различного диаметра так, что они, оставаясь на плоскости, упираются в эти две точки.
Найти геометрическое место точек касания шаров с плоскостью.

PS Со дна памяти: эта задача в далёком 1966-м году помогла мне расположить в свою пользу экзаменатора на вступительных экзаменах.

ArtemiZagagulin · Post by **ArtemiZagagulin** » 04 Mar 2006 00:47

Спроецировать обе точки на плоскость и из каждой проецированной точки провеси окружность радиусом r = SQRT(2*h*R-h^2), где h - высота каждой точки над плоскостью, а R - радиус шара. В месте пересечения окружностей будет точка касания шара

А вот интересно, куда это вы поступали? Однако легко у вас дело обстояло в 60-ых, мне бы так. Мне вот экзаменатор, на вступительных экзаменах по физике в Военмех, попросил, с пол торца, вычислить длину цепи , свисающей с края стола, когда она начнет сползать из-за собственного веса.

Deynekin · Post by **Deynekin** » 04 Mar 2006 02:25

ArtemiZagagulin wrote:
Спроецировать обе точки на плоскость и из каждой проецированной точки провеси окружность радиусом r = SQRT(2*h*R-h^2), где h - высота каждой точки над плоскостью, а R - радиус шара. В месте пересечения окружностей будет точка касания шара

-Что-то форма искомой линии ("геметрическое место точек") пока не видна... Не поясните ли? :pain1:

venco · Post by **venco** » 04 Mar 2006 02:38

Окружность с радиусом, равным среднему геометрическому высот точек, поделённому на синус угла между прямой, проходящей через точки, и плоскостью.

Deynekin · Post by **Deynekin** » 04 Mar 2006 03:32

venco wrote:
Окружность с радиусом, равным среднему геометрическому высот точек, поделённому на синус угла между прямой, проходящей через точки, и плоскостью.

-Вот это правда! :hat:

Но публика вправе спросить: "А почему?"

venco · Post by **venco** » 04 Mar 2006 04:32

Deynekin wrote:Но публика вправе спросить: "А почему?"

Увы, последнее время мне кажется, что публика разбрелась куда-то. :pain1:

Вы наверно, ждёте от меня какого-то красивого решения "на пальцах", но я вас разочарую. Задача довольно легко решается "в лоб", через систему из двух уравнений. Так что у меня просто такой ответ получился. :hat:

Да, кстати:

Центр окружности - пересечение плоскости и прямой.

Deynekin · Post by **Deynekin** » 04 Mar 2006 05:03

venco wrote:Увы, последнее время мне кажется, что публика разбрелась куда-то.

Да я и сам только как вернулся из короткого недельного отпуска, может, и остальные там же?

venco wrote:Задача довольно легко решается "в лоб", через систему из двух уравнений. Так что у меня просто такой ответ получился.

Поскольку у меня вообще "без уравнений", то предлагаю обмен: я Вам своё, а Вы мне - своё.
Итак, моё:
Через заданные точки и точку касания шара с горизонталью проводим плоскость; в ней задача сводится к плоской задаче (которая сама по себе небезинтересна): При заданном угле построить окружность, проходящую через две точки, лежащие на одной стороне угла, и касающейся его другой стороны. Эта задача решается (причём "циркулем и линейкой"!) посредством довольно редко используемой теоремы о касательной и секущей к окружности: "Квадрат касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть". Отсюда уже рукой подать до того, что искомая линия - окружность.
А на Ваши уравнения можно взглянуть?

venco · Post by **venco** » 04 Mar 2006 05:24

Мне мой способ кажется проще - просто применяем теорему Пифагора, и записываем два уравнения второй степени описывающие расстояния от центра шара до точек. Из них легко исключаем радиус шара и получаем уравнение кривой второй степени, из которого сразу видно, что это за кривая.

Deynekin · Post by **Deynekin** » 04 Mar 2006 05:58

venco wrote:применяем теорему Пифагора, и записываем два уравнения второй степени описывающие расстояния от центра шара до точек. Из них легко исключаем радиус шара и получаем уравнение кривой второй степени, из которого сразу видно, что это за кривая.

Т.е. начало, как я понимаю, то же, что и у ArtemiZagagulin, только он остановился на полдороге, как я его ни подталкивал.

ArtemiZagagulin · Post by **ArtemiZagagulin** » 04 Mar 2006 16:54

Deynekin wrote:Т.е. начало, как я понимаю, то же, что и у ArtemiZagagulin, только он остановился на полдороге, как я его ни подталкивал.

Че чуть што, так остановился на пол дороги. Вчера вечером ответ написал, а сейчас вот только проснулся недавно. Суббота все-таки. Тем не менее, так и нужно было спрашивать, что вам уравнение кривой ВСЕХ точек требовалось. Вот я вам и нашел то, что вы спрашивали - геометрическое место точки касания для шара любого диаметра.

Deynekin · Post by **Deynekin** » 04 Mar 2006 21:41

ArtemiZagagulin wrote:
Deynekin wrote:Тем не менее, так и нужно было спрашивать, что вам уравнение кривой ВСЕХ точек требовалось. Вот я вам и нашел то, что вы спрашивали - геометрическое место точки касания для шара любого диаметра.

Дорогой ArtemiZagagulin, давайте соблюдать формат, благо, беседы здесь - дело добровольное: если один задал вопрос, а другой взялся на него ответить, то не надо говорить, что "так и нужно было спрашивать". Иначе получается, что Вы отвечали на какой-то другой вопрос.

В данном конкретном случае "геометрическое место точек - веками устоявшийся термин! - касания" и то что Вы назвали "геометрическое место точки касания" - это не одно и то же. Из Вашего результата ещё совсем не видно, что искомая линия - это окружность. Вот если бы Вы, как venco, исключили бы этот "произвольный радиус" и предъявили бы что-то вроде x^2+y^2=ρ^2, тогда задачу, пожалуй, и можно было бы считать решённой. Хотя, изначально ответ желательно было получить именно в "школьной", если угодно, "древнегреческой" (т.е. "додекартовой") форме: окружность радиуса *** с центром в *** (да ещё и этот самый "радиус" построить циркулем и линейкой!) - как-никак задача предлагалась школяру, а не первокурснику, уже постигшему аналитическую геометрию.

Кстати, я только что заметил, что моё решение оказалось почему-то обрезанным на самом интересном месте. Что даже и к лучшему, т.к. оставляет простор для решения упомянутой плоской задачи: Дан угол и две точки на одной из его сторон. Построить окружность, проходящую через эти две точки и касающуюся другой стороны угла. Решить нужно "циркулем и линейкой". - Удачи!

P.S. Да, забыл ответить на Ваш прежний вопрос: "Куда поступали". Ответ: МФТИ, ФАЛТ; то был год, когда школы дали двойной выпуск - 10 и 11 классов зараз, так что всё было очень даже "без дураков", поверьте.

ArtemiZagagulin · Post by **ArtemiZagagulin** » 06 Mar 2006 14:19

Deynekin wrote:Дорогой ArtemiZagagulin, давайте соблюдать формат...

Давайте, а что за формат? Можно я почитаю спецификацию данного формата и соблюду его впредь.

Ну а если серьезно, то я дико извеняюсь за намек на то, что задача была не сложная.

А насчет моего решения, не получилось, так и ладно! Не понял условия. Как бы мне сказал один из наших преподователей: "Закройте дверь с другой стороны"

Deynekin · Post by **Deynekin** » 08 Mar 2006 04:11

ArtemiZagagulin wrote: а что за формат? Можно я почитаю спецификацию данного формата и соблюду его впредь.

Да Вы его и так знаете, хоть почитать его, наверное, и нельзя, он "устный": о давным-давно выработанных правилах ведения научной дискуссии, что-то вроде

1. First let's define words! - стороны должны применять/использовать термины в одинаковом смысле, по возможности придерживаться общепринятой терминологии.
2. Рассуждения строить в соответствии с правилами логики.
3. Говорить по теме; тему не "размазывать" (последнее не путать с углублять!), "лишние сущности" не привлекать ("лезвие Оккама").
4. Вопросы задавать конкретные, по теме дискуссии, ясным языком, возражения выдвигать по существу вопроса/темы.
5. Отвечать на задаваемые вопросы, а не на те, на которые бы отвечающему хотелось бы ответить.
6. Давая ответ, быть готовым его пояснить, никаких "общих слов", самому себе неясных, в ответе не использовать.
7. Не бояться, если ситуация к этому привела, произнести слова "я ошибся", "был неправ", и т.п.
8. Не переходить на личности.
9. Помнить правило: спокойный тон - самый убедительный.
(и т.д.) :roll:

ArtemiZagagulin · Post by **ArtemiZagagulin** » 08 Mar 2006 15:13

Deynekin wrote:1. First let's define words! - стороны должны применять/использовать термины в одинаковом смысле, по возможности придерживаться общепринятой терминологии.
2. Рассуждения строить в соответствии с правилами логики.
3. Говорить по теме; тему не "размазывать" (последнее не путать с углублять!), "лишние сущности" не привлекать ("лезвие Оккама").
4. Вопросы задавать конкретные, по теме дискуссии, ясным языком, возражения выдвигать по существу вопроса/темы.
5. Отвечать на задаваемые вопросы, а не на те, на которые бы отвечающему хотелось бы ответить.
6. Давая ответ, быть готовым его пояснить, никаких "общих слов", самому себе неясных, в ответе не использовать.
7. Не бояться, если ситуация к этому привела, произнести слова "я ошибся", "был неправ", и т.п.
8. Не переходить на личности.
9. Помнить правило: спокойный тон - самый убедительный.
(и т.д.)

Спасибо. Законспектировал, буду использовать. Кстати, согласно п.3 и п.6 Вам бы следовало отредактировать коментарий по поводу трех ракет в соседнем топике. Упс, виноват, нарушил одним махом п.4 и п.8 (зато соблел п.7, т.к. сказал, что виноват.)