Плавающая пирамида

[Deynekin]

Тетраэдр, вырезанный из пенопласта, будет плавать в воде, покоясь (естественно!) на одной из своих граней, вершиной вверх.

Если же плотность материала только лишь ненамного меньше плотности воды (например, лёд), то такой тетраэдр будет (не менее естественно!) плавать вершиной вниз.

Дальше - ясно: При каком соотношении плотностей один вид плавания сменяется другим?

Возможное практическое применение эффекта: контроль плотности электролита; необходимая плотность пирамидки достигается её симметричной загрузкой балластом.

[AndreyT]

Ясно, что в каком бы положении конкретный тетраэдр не плавал, объем его погруженной части остается постоянным (закон Архимеда). Сам по себе плавающий тетраэдр стремится занять такое положение, при котором его центр масс оказывается как можно ниже. Это и объясняет поведение пенопластового и ледяного тетраэдров. Переход от одного вида плавания к другому произойдет при той плотности, при которой в обоих случаях центр масс оказывается на одной и той же высоте. Осталось только провести необходимые расчеты самым что ни на есть нудным образом... Бррр. А может у этой задачи есть какое-нибудь простое и остроумное решение?

[vm__]

Осталось только провести необходимые расчеты самым что ни на есть нудным образом...

Тетраэдр - сложная фигура, чуть проще, чем n-мерный куб Если попытаться смоделировать похожую ситуацию сферами - получается чуть проще.

[AndreyT]

Хм... Возможно. Но как-то неочевидно.

Тем не менее. Будем считать, что речь идет о правильном тетраэдре. Ясно, что результат не зависит от конкретных размеров тетраэдра. Чтобы избавиться от лишних переменных, примем высоту нашего тетраэдра за 1. Если такой тетраэдр поставить на одну из граней, то его центр масс (центр вписанного шара) будет находиться на высоте 1/4. Объем такого тетраэдра V равен sqrt(3)/8.

Мысленно рассечем наш тетраэдр двумя горизонтальными плоскостями. Одна из них проходит на нектором расстоянии d над центром масс. Другая - на том же самом расстоянии d под центром масс. (Тут надо заметить, что для общности допускаются отрицательные значения d, т.е. слова "над" и "под" тут употреблены условно.)

Пусть Vt - это объем той части тетраэдра, которая отсеклась над первой плоскостью (тоже тетраэдр), а ее высоту обозначим Ht. Пусть Vb - это объем той части тетраэдра, которая отсеклась под второй плоскостью.

Из школы

Code: Select all

  Vt = Ht^3 * sqrt(3)/8

  Vb = V - (Ht + 2d)^3 * sqrt(3)/8 = sqrt(3)/8 - (3/4 + (3/4 - Ht))^3 * sqrt(3)/8 = (1 - (3/2 - Ht)^3) * sqrt(3)/8

Теперь надо найти Ht, при котром Vt = Vb. Сразу сокращаем sqrt(3)/8, раскладывем куб, домножаем все на 8, чтобы избавиться от дробей, и получаем

Code: Select all

  8Ht^3 + 36Ht^2 - 54Ht + 19 = 8Ht^3
  36Ht^2 - 54Ht + 19 = 0

Решаем квадратное уравнение и получаем Ht = 3/4 +- sqrt(5)/12. Сразу видно, что +- sqrt(5)/12 - это и есть наше d, т.е. если бы сразу решали относительно d, то может было бы даже немного проще. Также структура ответа наводит на мысль о существовании более элегантного решения. Ну да ладно.

Итак, имеем решение (два решения): если тетраэдр, плавая отстрием вниз, погружается на глубину 3/4 +- sqrt(5)/12, то его плотность относится к плотности жидкости именно так, как нам надо (в одном решении центр масс окажется под поверхностью жидкости, в другом - над). Несложно показать (из закона Архимеда), что отношение r плотности тетраэдра к плотности жидкости равно отношению объема Vt погруженной части тетраэдра к его полному объему V = sqrt(3)/8.

Code: Select all

  r = (3/4 +- sqrt(5)/12)^3 * sqrt(3)/8 / (sqrt(3)/8) = (3/4 +- sqrt(5)/12)^3

Считать лень. Вот, собственно, и все.

(По тому, как охотно везде сокращается sqrt(3)/8 видно, что, наверное, можно было запросто обойтись вообще без него...)

[AndreyT]

Конечно, для практического применения такого тетраэдра надо еще показать, что не существует потенциального барьера между этими двумя способами плавания, т.е. что переход от одного способа к другому не обязательно требует локального подъема центра масс в промежуточных положениях.

[venco]

Мне кажется, надо бы учесть также различие в центре тяжести вытесненной жидкости.
И, собственно, почему рассматриваются только два положения?
Ведь если тетраэдр переворачивается, значит наклонные положения, как минимум, также выгодны.

[Deynekin]

[...] Сам по себе плавающий тетраэдр стремится занять такое положение, при котором его центр масс оказывается как можно ниже.

Как говорил красноармеец Сухов, "это вряд ли": даже размокшее бревно, плотность которого чуть меньше, чем у воды, плавает горизонтально, и чем оно длиннее - тем охотнее! Вспомните о потенциальной энергии грунта при копании ямы.

[AndreyT]

[...] Сам по себе плавающий тетраэдр стремится занять такое положение, при котором его центр масс оказывается как можно ниже.

Как говорил красноармеец Сухов, "это вряд ли": даже размокшее бревно, плотность которого чуть меньше, чем у воды, плавает горизонтально, и чем оно длиннее - тем охотнее! Вспомните о потенциальной энергии грунта при копании ямы.

"Сам по себе" в вышепрцитированном следуцет читать как: "минимум собственной потенциальной энергии тетраэдра достигается в положении с наинизшим центром тяжести". В то же время замечание о том, что минимум суммарной потенциальной энергии системы тетраэдр-жидкость может запросто не совпадать с минимумом для одного тетраэдра совершенно справедливо. Да, действительно надо учесть и изменение потенциальной энергии жидкости при погружении в неё тетраэдра...

[Deynekin]

И, собственно, почему рассматриваются только два положения?
Ведь если тетраэдр переворачивается, значит наклонные положения, как минимум, также выгодны.

Venco, Ваши замечания, как и замечание AndreyT о потенциальных барьерах, (возможно) разграничивающих одно положение от другого, "имеют рацию", у меня на них "железобетонных" ответов нет. В принципе, ситуация ясна, как действовать и что и как считать (рассматривать восстанавливающий момент при различной ориентации тела), если хотеть получить уж совсем исчерпывающий ответ, понятно; только вот едва ли "на пальцах" получится, а душить долгими вычислениями ни себя, ни других не хочется.

В то же время, вспоминая, как переворачивается подтаявший айсберг или обледеневшее судно: внезапно!, можно ожидать, что и тут, скорей всего, промежуточных положений нет. Будем пока считать это предположение справедливым, а задачу сводящейся просто к соотношению плотностей. Итак...-?

[venco]

Я учёл жидкость и у меня получилось, что высота центра тяжести одинакова при отношении плотностей 1/2.
Попробовал ещё посчитать равновесие при наклонной пирамиде, но заколебался.
Единственное, что получил, это что в положении остриём вниз первая производная по углу равна нулю, а вторая положительна при большом диапазоне плотностей, гораздо меньше 1/2. Т.е. это положение устойчиво даже когда положение остриём вверх более выгодно.
Хотя здесь я мог и запутаться - там такие колёса вылезают.

[vm__]

В моем посте (3-й сверху) картинка то показывается, то не показывается. Если кто не видел - попробуйте "Reload page". Это где модель тетраэдра из двух шаров, варианты с тремя разными плотностями. Почему-то мне в голову не пришла конфигурация, где маленький шар сверху или снизу, хотя красиво было бы (но, кажется, было бы неустойчиво).
Чисто практически - плавающее "бревно" гораздо проще изготовить (для gadget), чем тетраэдр (по крайней мере, в условиях старт-апа в бейсменте )

[Deynekin]

[...] Т.е. это положение устойчиво даже когда положение остриём вверх более выгодно.

Это звучит отнюдь не так экзотично, как может показаться на первый взгляд. Обычно люди, будучи спрошенными об условии устойчивости корабля, выдвыигают требование: центр тяжести корабля должен быть ниже "точки подвеса" (центра тяжести вытесненной воды, т.к. именно здесь и приложена архимедова сила). На самом же деле, это тоебование слишком сильное, и, как правило, на практике не выполняется. Пример: пенопластовая плита (которая сама "ничего не весит") с грузом на мачте: пока груз-мачта не очень велики, такое "судно" не переворачивается (только кренится), не смотря на то, что перевёрнутое положение заведомо устойчивее.

Отсюда вопрос: Качественно рассмотреть устойчивость плавания судна, у которого центр тяжести выше центра архимедовой силы. Ответ интересный и стоящий того, чтобы его запомнить на будущее (должны прийти к тому, что в теории корабля называется метацентром и метацентрической высотой; сразу же проявится важность формы обводов корабля).

[venco]

Я ещё подумал над задачей, и решил что устойчивость определяется смещением центра масс вытесненной жидкости при наклоне. Получилось простое уравнение устойчивости произвольного тела:

Code: Select all

  I > M*dh

где

Code: Select all

  I - момент инерции сечения тела плоскостью жидкости.
  M - масса тела (или вытесненной жидкости).
  dh - расстояние между центрами масс тела и вытесненной жидкости.

Для тетраэдра получается устойчивость положения остриём вверх в диапазоне отношения плотностей 0 - 7/8.
Положение остриём вниз устойчиво в диапазоне 1/8 - 1.

[venco]

Что интересно, оба граничных условия соответствуют погружению на половину высоты.

Погуглив "floating body stability condition" обнаружил, что это уже посчитали
http://css.engineering.uiowa.edu/fluids ... bility.pdf

[Dimchik]

Все это не только посчитано, но и в учебниках написано:) В Сивухине 100% есть, называется "центр плавучести", или как-то так. Еще, думаю, какой-нибудь атец кораблестроения, вроде Крылова, все эти штуки должен был у себя в сборнике сочинений иметь.

[Deynekin]

[...] Еще, думаю, какой-нибудь атец кораблестроения, вроде Крылова, все эти штуки должен был у себя в сборнике сочинений иметь.

-Апсалютна верна!

Теперь немного в деталях.

Я ещё подумал над задачей и решил, что устойчивость определяется смещением центра масс вытесненной жидкости при наклоне.

-Именно так. И вертикаль, проходящая через через центр тяжести этого "нового объёма" и есть линия действия архимедовой силы в накренённом положении.

Теперь так: поскольку поперечное сечение корабля симметрично, то при накренении центр приложения архимедовой силы в системе координат самого корабля движется по симметричной (отн. вертикали корабля) кривой; если крены "достаточно малы", а обводы - плавные, то эту кривую можно аппроксимировать параболой (она так и называется: "парабола устойчивости" или "метацентрическая парабола"). При некотором усилии можно видеть, что как бы судно не накренялось (в пределах принятых допущений, конечно), архимедова сила будет всегда проходить через фокус этой параболы - "метацентр". (Замените параболу соответсвующей ей вписанной - до второго порядка - окружностью, и этот результат может оказаться более очевидным.)

Итак, архимедова сила всегда проходит через метацетр, а вес - через центр тяжести корабля. Т.е. корабль на манер маятника оказывается "подвешенным" за метацентр (ещё раз напомним: положение последнего определяется формой обводов корабля, ну и, разумеется, тем, насколько он, корабль, глубоко сидит в воде.)

При этом, разница по высоте между центром тяжести корабля и его метацентром ("метацентрическая высота") является мерой запаса устойчивочти корабля, она задаётся при проектировании. Для типичного сухогруза первой половины прошлого века (~10000 тонн) это величина, кажется, порядка нескольких метров (1.5-5?). Теперь ясно, почему корабль может быть устойчивым, даже если его центр тяжести расположен выше точки приложения архимедовой силы.

Сюда же: доска плавает плашмя, т.к. в этом положении метацентрическая парабола широкая, и метацентр расположен высоко; поставьте доску на ребро - получите очень узкую параболу с низким расположением фокуса - метацентрическая высота отрицательна, доска в этом положении не стоит.

В заключение полезно рассмотреть устойчивость плавания круглого бревна (его метацетр, очевидно, совпадает с геометрическим центром бревна) со слегка смещённым центром тяжести.

[venco]

Я тут ещё вычислил интересную особенность равностороннего треугольника - момент инерции вокруг оси в плоскости треугольника не зависит от направления оси.

[Deynekin]

Я тут ещё вычислил интересную особенность равностороннего треугольника - момент инерции вокруг оси в плоскости треугольника не зависит от направления оси.

Разбередили Вы меня, venco, попробую поумничать, может выйдет правдоподобно.

Ведательно есть, что у любого трёхмерного тела (самой кошмарной формы!) есть три взаимно перпендикулярных оси ("главные оси инерции"), относительно которых тело вращается "без перекосов", т.е. при вращении вокруг каждой из таких осей момент количества движения Μ параллелен вектору угловой скорости ω. В общем же случае Μ = J*ω, где J - "тензор инерции", представляющийся положительно определённой матрицей, и эти векторы непараллельны; в базисе же из главных осей эта матрица, естественно, диагональна, и на главной диагонали стоят её собственные числа - в данном случае моменты инерции отн. соотв. главных осей. Если все эти три момента инерции одинаковы (например, у куба), то говорят, что тензор инерции "представляется сферой", а "тело является шаровым волчком". Для такого тела всякаяось (естественно, проходящая через центр масс) является главной, и ей соответствует та же величина момента инерции, что и отн. любой другой.

Теперь о правильном треугольнике. Любая из его осей симметрии (нам понадобятся только какие-нибудь две), естественно, может быть выбрана за главное направление, причём каждой из них соотвествует одно и то же собстенное число. Но, как легко показывается, любая линейная комбинация собственных векторов, соответсвующих одному и тому же собственному числу, есть тоже такой же собственный вектор. Следовательно, при вращении вокруг любой оси, лежащей в плоскости правильного треугольника, получим тот же момент инерции, что и при вращении вокруг оси симметрии - именно то, что Вы, похоже, и обнаружили прямым вычислением.

Немного обобщая, приходим к выводу, что любая плоская фигура, обладающая центральной и зеркальной симметриями одновременно, должна обладать тем же свойством.

В трёхмерном случае, в частности, для тетраэдра ("молочный пакет" - для тех, кто помнит, что это такое), как и для куба, любая ось, проходящая через центр - главная.

В заключение замечу, что этот эффект имеет место не только в случае вращения, но всюду, где процесс определяется положительно определённым тензором, например, при протекании тока в кристаллической среде: j = S*E, (j, E - плотность тока и напряжённость электрического тока, S - тензор проводимости). Если среда, например, кубически симметрична, то тензор проводимости сферически симметричен, и, как следствие, проводимость вообще перестаёт зависеть от направления: такая кристаллическая среда изотропна.

PS Только что пришло а голову: как следствие, сопротивление достаточно широкой - чтобы начала работать модель сплошной среды - полосы, вырезанной из квадратной сетки одинаковых сопротивлений, вроде бы, не должна зависеть от того, в каком направлении вырезали полосу!(?) - Ух ты, наука, похоже, и впрямь умеет много гитик!

[venco]

Deynekin, я, к сожалению, не всё понял из вашего обяснения. Проверьте, пожалуйста, изменится ли что либо, если рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого тоже есть две перпендикулярных оси с одинаковым моментом инерции?
Дело в том, что, по моим выкладкам, только у равностороннего треугольника момент по всем осям одинаков. У любого другого момент меняется. Т.е. у каких то осей момент может совпасть, но в целом это переменная величина.
Кстати, можно сделать более общее утверждение: для любой непрерывной функции угла найдутся два угла с разностью π и одинаковыми значениями.

[Deynekin]

Проверьте, пожалуйста, изменится ли что либо, если рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого тоже есть две перпендикулярных оси с одинаковым моментом инерции?

Как мне сдаётся, эти две оси (перпендикуляры к катетам, проходящие через центр масс - точку пересечения медиан) не годятся на роль главных: в них тензор инерции не диагонален, или, что то же, момент инерции относительно этих осей j = J*n не параллелен направлению оси n. Проверяется так: пришпильте центр масс тела к оси и посмотрите, будет ли это положение равновесным, пусть бы даже и неустойчивым. В случае с равнобедренным прямоугольным треугольником, он - треугольник - очевидно будет стремиться развернуться своей гипотенузой поперёк оси вращения. Имено эту тенденцию к развороту я раньше вольно и назвал "вращением без перекосов". При вращении же отн. главных осей, этой тенденции нет. (Опять же, возможную неустойчивость такого равновесия не учитываем.)

Эти "перекосы" при вращении создают вращающуюся вместе с телом пару сил в подшипниках, удерживающих ось. Поэтому роторы машин балансируют не только "статически" (приводят цетр масс на ось вращения), но и "динамически": одну из главных осей вращения (ближайшую) выводят на ось вращения.

Но что можно сказать наверняка: любая ось симметрии тела обязана быть главной осью инерции. Обратное, вообще говоря, отнюдь не обязательно: см., например, вторую главную ось рассмотренного треугольника.