Угадай монету

[Deynekin]

Ведущий прячет в кулаке одну из двух монет: либо 10 копеек, либо 20 и предлагает понтёру угадать, какая монета спрятана. Если понтёр угадал, он эту монету получает, если нет - платит штраф в 15 копеек.

Показать, что при надлежащей стратегии ведущего, это игра с ненулевой суммой. Вычислить среднестатистический выигрыш ведущего, если он придерживается этой стратегии.

[ПБХ]

Понтёр - это кто вместо того, чтобы угадывать, понты кидает?

[Deynekin]

Понтёр - это кто вместо того, чтобы угадывать, понты кидает?

Вспоминаю реакцию одной барышни (из числа тех, которых называют "девушка из предместья") на новоё для неё слово clever: "А-а, клёвый!" - обрадовалась она как старому знакомому.

[dimp]

Ведущий прячет в кулаке одну из двух монет: либо 10 копеек, либо 20 и предлагает понтёру угадать, какая монета спрятана. Если понтёр угадал, он эту монету получает, если нет - платит штраф в 15 копеек.

Показать, что при надлежащей стратегии ведущего, это игра с ненулевой суммой. Вычислить среднестатистический выигрыш ведущего, если он придерживается этой стратегии.

Чисто интуитивно понятно, что нужно чуть чаще прятать 10 копеек, но не настолько часто, чтобы понтер выигрывал, выбирая 10 копеек с гораздо бОльшей вероятностью.
Опять же чисто интуитивно (это нужно конечно доказать) наилучшей стратегией игрока будет выбирать 10 или 20 с вероятностью равной вероятности загадывания. Ну а дальше все просто, обозначаем вероятность загадывания 10 за х, 20 за 1-х и т.д. и т.п., В общем у меня вышло, что выигыш ведущего максимален при х=70/120.

[zel_s]

У меня почему-то цитаты видны как пустые прямоугольники...
Если выделигь мышью, появляется текст.
Так и должно быть?

10 - вероятность 7/12
20 - вероятность 5/12

Тогда средный выигрыш 5/12 и не зависит от стратегии 2 игрока

[AndreyT]

Понтёр - это кто вместо того, чтобы угадывать, понты кидает?

Вспоминаю реакцию одной барышни (из числа тех, которых называют "девушка из предместья") на новоё для неё слово clever: "А-а, клёвый!" - обрадовалась она как старому знакомому.

А я давно в шутку ли - всерьёз ли подозреваю, что именно так слово "клёвый" и появилось на свет. Не так?

[venco]

А я давно в шутку ли - всерьёз ли подозреваю, что именно так слово "клёвый" и появилось на свет. Не так?

И я когда-то был того же мнения.
Но потом решил, что пошло это от рыбаков - клёвая погода.

[Flash-04]

запросто. в русском языке на удивление много заимствованных слов и переиначенных на свой лад.

[Килькин]

Хм, похоже, разговор о максимальном выигрыше для ведущего. Ибо при любой случайной стратегии, в которой 10 копеек будет прятаться чаще чем 20 он будет в выигрыше.

Между прочим, пойнтер знает стратегию ведущего? Или он ее должен вычислить? Ну то есть вычислить частоту выпадения 10 копеек.
В свою очередь ведущий тоже может корректировать свою стратегию, исходя из предполагаемой текущей guess, на которой строит свою игру пойнтер.

[Deynekin]

Хм, похоже, разговор о максимальном выигрыше для ведущего. Ибо при любой случайной стратегии, в которой 10 копеек будет прятаться чаще чем 20 он будет в выигрыше.

Нет, не при любой: давайте предположим, что ведущий в 999 случаях из 1000 прячет 10-копеечную монету, а понтёр с той же вероятностью её называет.

Между прочим, пойнтер знает стратегию ведущего? Или он ее должен вычислить? Ну то есть вычислить частоту выпадения 10 копеек.

Вообще-то сказано было только то, что сказано, и особого требования о том, что понтёру запрещается быть достаточно умным, чтобы провести анализ игры, не выставлялось.
-----------------
Ну, в общем, раз задачку многие уже решили, пора, наверное, привести не только результат, но и решение-анализ (последнее, как правило, самое "вкусное", но здесь, как я с удивлением наблюдаю, это практически отсутствует. А жаль.) Итак:

Пусть В и П - стратегии ведущего и понтёра, соответственно, т.е. В - это вероятность того, что ведущий прячет 10, а П - вероятность того, что понтёр предсказывает 10. Тогда математическое ожидание выигрыша ведущего представляется так:

М(В,П) = 10*В*П + 20*(1-В)*(1-П) - 15*В*(1-П) - 15*П*(1-В) = 60*В*П - 35*В - 35*Р + 20

Эта функция имеет седловую точку (точку минимального гарантированного (!) выигрыша для ведущего), определяемую как dМ/dВ = 0 и dМ/dП = 0, что даёт соотношения: -60*В + 35 = 0 и -60*П + 35 = 0, откуда координаты седловой точки: В' = П' = 7/12.

Соответствующая величина выигрыша при этом составляет М(7/12,7/12) = 5/12. - Не много, но "курочка по зёрнышку клюёт", а главное - выигрыш (статистически) "гарантированный"!

Последнее в общем случае означает, что после того, как ведущий "сел" на (свою) найденную стратегию, понтёру тоже следует следовать своей найденной - всякие отклонения от неё могут только увеличить проигрыш последнего. Правда, в данном случае ситуация несколько экзотична: при В = 7/12 выигрыш М вообще перестаёт зависеть от П (подставьте - убедитесь!), т.е., как бы в этом случае понтёр ни "дёргался", на результат игры это не повлияет. В общем же случае, обоим игрокам следует придерживаться стратегий, определяемых соотношениями dМ/dВ = 0 и dМ/dП = 0.

А что будет, если их не придерживаться? Ну, тогда могут начаться "гонки": стороны, наблюдая поведение друг друга могут пытаться подстраивать свои стратегии один под другого по мере своих сил - П и В, соответственно, - чтобы максимизировать свой выигрыш при выясненной (напр., наблюдением) стратегии противника; это ведёт к непредсказуемой "раскачке" игры. И только седловая точка обеспечивает наилучший для обеих сторон компромисс, вынуждая обе стороны от неё не уклонятся.

И в заключение. Весьма занятно проверить эту игру на практике, например, с приятелем: "зарядите" колоду карт красными и чёрными в соотношении 5:7 - и с богом! (Можно даже играть с самим с собой: колода "5:7" против любой другой.)

Впрочем, результат может оказаться и неожиданным. Однажды я рассказал эту задачку приятелю, вывел эти магические 7/12, он всё "понял" и загорелся тут же поверить теорию практикой. Я на его глазах "зарядил" колоду "как надо" и мы сыграли пару сотен раз. После подведения результатов он долго смотрел на конечное число, на формулки... Потом взял мою колоду, пересчитал карты и вдруг как заорёт:
-Да у тебя колода нечестная!
-?!
-В ней черных и красных не поровну!
-Ну да, не поровну, именно так, как и нужно, чтобы смоделировть требуемое распределение. В конце концов, это вообще моё дело, и я же тоже не требовал от тебя придерживаться стратегии 1:1."
-Нет, ты смошенничал, всё это неверно, и т.д. и т.п.. - Заклинило человека, вот даже как бывает.

[venco]

Ну, в общем, раз задачку многие уже решили, пора, наверное, привести не только результат, но и решение-анализ (последнее, как правило, самое "вкусное", но здесь, как я с удивлением наблюдаю, это практически отсутствует. А жаль.)

Ну я то, например, это самое вкусное сам приготовил, и сам насладился.
А вот переписивать сюда лень было.

[Babaika]

Пусть В и П - стратегии ведущего и понтёра, соответственно, т.е. В - это вероятность того, что ведущий прячет 10, а П - вероятность того, что понтёр предсказывает 10. Тогда математическое ожидание выигрыша ведущего представляется так:

М(В,П) = 10*В*П...

т.е. если П угадывает, то монету забирает В? И штаф тоже он платит?

[Deynekin]

М(В,П) = 10*В*П...

т.е. если П угадывает, то монету забирает В? И штаф тоже он платит?

Да-да, Вы правы: небольшая промашка вышла, но не смертельная, slip of a pen. Как исправить, Вы и сами знаете: либо поменяйте знаки в формуле для М(В,П) на противоположные (всё остальное - без изменения), либо считайте, что то, как написано - это выигрыш понтёра, но тогда подсчитанный результат окажется отрицательным:
М(7/12, 7/12) = 60*(7/12)^2 - 70*7/12 + 20 = (7/12)*(60*7/12 - 70) + 20 = (7/12)*(-35) + 20 = (-245 + 240)/12 = -5/12
-Уфф! аж устал... (А уж перепугался-то как!)