Средняя длина отрезка

Vlad G · Post by **Vlad G** » 09 Oct 2002 14:13

Вроде просто, но никак не решить.
Есть квадрат с диной стороны 1. Случайно выбирают две точки внутри квадрата. Какая средняя длина этого отрезка?

ListenMeNow · Post by **ListenMeNow** » 09 Oct 2002 16:11

Больше 1/2
Но меньше корня из двух деленое на 2 ?

Bobo · Post by **Bobo** » 09 Oct 2002 18:50

Нет, не просто.
Как решить без интегралов - не знаю.
С интегралами - надо взять четырехкратный интеграл расстояния по четырем переменным (координатам двух точек):

Int Int Int Int ( sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2) ) ) dx1dx2dy1dy2

где все интегралы от 0 до 1.

К cчастю ето решается аналитически (правда очень нудно и для меня трудно).

Ответ:
ln(1+sqrt(2))/3 + (2+sqrt(2))/15 = 0.521405433...

А вот в одномерном случае можно решить без интегралов.
Каково расстояние между двумя случайно выбранными точками на единичном отрезке?

Aspirant · Post by **Aspirant** » 10 Oct 2002 04:40

Пусть координата первой точки будет х, координата второй - y. Тогда расстояние между ними будет z=|х-y|. Строим график функции z(х,y), получаем две пирамиды, симметричные друг другу относительно линии х=y. Достаточно найти среднюю высоту одной, скажем той, чьими гранями являются прямоугольные траугольники на плоскостях х=0 и y=1. Средняя высота = объем пирамиды на площадь основания = 1/3 высоты = 1/3.

Bobo · Post by **Bobo** » 10 Oct 2002 05:45

[quote:93000ff0b6="Aspirant"]Пусть координата первой точки будет х, координата второй - y. Тогда расстояние между ними будет z=|х-y|. Строим график функции z(х,y), получаем две пирамиды, симметричные друг другу относительно линии х=y. Достаточно найти среднюю высоту одной, скажем той, чьими гранями являются прямоугольные траугольники на плоскостях х=0 и y=1. Средняя высота = объем пирамиды на площадь основания = 1/3 высоты = 1/3.[/quote:93000ff0b6]

Хорошее решение. Я знаю совсем другое:

Пусть две точки A и B уже выбраны. Выберем третью - C. Вероятность того, что C попала между A и B равна длине AB. Тогда (Скиппед: строгое теорверное обоснование), средняя длина AB равна вероятности того, что если A, B, C случайно выбраны, то C лежит между A и B. Что очевидно 1/3.

Кстати, попытка использовать этот результат для решения двумерной задачи и предположение, что среднее расстояние в квадрате равно sqrt(1/9 + 1/9) будет некорректным. Почему - я не могу объяснить. Кто-нибудь может?

olg2002 · Post by **olg2002** » 11 Oct 2002 02:08

[quote:35ebe54c39="Bobo"]
Кстати, попытка использовать этот результат для решения двумерной задачи и предположение, что среднее расстояние в квадрате равно с.рт(1/9 + 1/9) будет некорректным.[/quote:35ebe54c39]

Может потому что из того, что мат.ожидание (МО) Х равно 1/3
и МО(Y) = 1/3 не следует, что МО(sqrt(Х^2 + Y^2)) = sqrt(2/9)?
Так же как из того, что МО(Х)=m, не следует, что МО(Х2) = m^2.

Vlad G · Post by **Vlad G** » 11 Oct 2002 07:19

[quote:299d5176f0="Bobo"]Нет, не просто.
Как решить без интегралов - не знаю.
С интегралами - надо взять четырехкратный интеграл расстояния по четырем переменным (координатам двух точек):

Int Int Int Int ( sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2) ) ) dx1dx2dy1dy2

где все интегралы от 0 до 1.

К cчастю ето решается аналитически (правда очень нудно и для меня трудно).

Ответ:
ln(1+sqrt(2))/3 + (2+sqrt(2))/15 = 0.521405433...

А вот в одномерном случае можно решить без интегралов.
Каково расстояние между двумя случайно выбранными точками на единичном отрезке?[/quote:299d5176f0]
А как Вы пришли к этому интегралу?
А если вместо квадрата рассматривать круг, как изменится ситуация?

Bobo · Post by **Bobo** » 11 Oct 2002 08:19

Этот интеграл собственно и есть определение матожидания.
Точнее, матожидание - это такой интеграл, деленный на интеграл функции плотности, который, поскольку плотность равномерна, равен квадрату площади, т.е. 1.

Чтобы понять смысл, представьте себе сначала дискретную задачу: квадрат 100х100 клеток и расстояние манхеттенское. Как будем считать? Сначала пересчитаем все возможные отрезки с началом в данной точке, чтобы найти среднее будем умножать количество отрезков данной длины на эту длину и складывать (это и есть интегрирование!). Потом будем так же пересчитывать отрезки с началом в следующей точке - это кратное интегрирование. Потом всю сумму поделим на количество всех отрезков, которые мы пересчитали (в непрерывном случае - это тот же самый кратный интеграл константы 1, т.е. просто произведение диапазонов изменения всех переменных).

В случае с кругом вообще ничего хорошего. Либо надо интегрировать в полярных координатах, но боюсь, что я не смогу даже записать правильно этот интеграл. Либо интегрировать так же как квадрат, но с переменными пределами. Понятия не имею как такое считать. Боюсь, что ответ будет тоже не очень красивым.

Olg2002, вы правы, конечно. Давайте-ка по этому поводу изменим вопрос в задаче и будем искать матожидание [b:adb6f2606c]квадрата[/b:adb6f2606c] расстояния. Должно сразу полегчать, и цифры более приятные будут получаться.
А то интегралы у меня комплекс неполноценности вызывают

olg2002 · Post by **olg2002** » 11 Oct 2002 20:50

[quote:9bba897bbd="Bobo"] Давайте-ка по этому поводу изменим вопрос в задаче и будем искать матожидание [b:9bba897bbd]квадрата[/b:9bba897bbd] расстояния. Должно сразу полегчать, и цифры более приятные будут получаться.[/quote:9bba897bbd]

Эта задача действительно намного проще. Для одномерного
случая матожидание квадрата расстояния между двумя
точками равно 1/6. А вот теперь двумерный случай решается
элементарно: 1/6 + 1/6 = 1/3.

lebowski · Post by **lebowski** » 02 Dec 2002 14:16

[quote:809b2f1da0="Bobo"]В случае с кругом вообще ничего хорошего. Либо надо интегрировать в полярных координатах, но боюсь, что я не смогу даже записать правильно этот интеграл. Либо интегрировать так же как квадрат, но с переменными пределами. Понятия не имею как такое считать. Боюсь, что ответ будет тоже не очень красивым.
[/quote:809b2f1da0]
наоборот, с кругом все просто именно благодяря полярным координатам. поскольку из общих физических соображений вероятность найти точку в интервале p{dr,do} = rdrdo с точностью до нормировочной константы, интеграл получается по школьной формуле косинусов для искомого расстояния - и там всё табличное.

Bobo · Post by **Bobo** » 02 Dec 2002 18:49

[quote:8060d0883f="lebowski"][quote:8060d0883f="Bobo"]В случае с кругом вообще ничего хорошего. Либо надо интегрировать в полярных координатах, но боюсь, что я не смогу даже записать правильно этот интеграл. Либо интегрировать так же как квадрат, но с переменными пределами. Понятия не имею как такое считать. Боюсь, что ответ будет тоже не очень красивым.
[/quote:8060d0883f]
наоборот, с кругом все просто именно благодяря полярным координатам. поскольку из общих физических соображений вероятность найти точку в интервале p{dr,do} = rdrdo с точностью до нормировочной константы, интеграл получается по школьной формуле косинусов для искомого расстояния - и там всё табличное.[/quote:8060d0883f]

Ну поcчитайте и поделитесь способом.
Ответ должен быть 128/(45*Pi)

lebowski · Post by **lebowski** » 04 Dec 2002 09:21

[quote:e1ef027658="Bobo"]Ну поcчитайте и поделитесь способом.
Ответ должен быть 128/(45*Pi)[/quote:e1ef027658]
вынужден признать, что погорячился насчет того, что там всё табличное. это, разумеется, для матожидания квадрата длины - табличное, для просто длины - нет. считать не буду, говорю честно - вспоминать курс матана касательно многомерных интегралов мне лениво :mrgreen: