С помощью циркуля и линейки...(2)

Bobo · Post by **Bobo** » 10 Jun 2002 08:36

[quote:1c5d746061="Vlad G"]Что не так?[/quote:1c5d746061]

Угол на равные части просили разделить, а вы на неравные разделили. Вот что не так. Если то, что медиана в треугольнике не всегда совпадает с бисектриссой - аргумент недостаточный, - примените к своему построению теорему синусов. Она утверждает, что если бы ваши углы были равны, то и отрезки, соединяющие вершину прямого угла с концами ваших равных отрезков, тоже были бы равны.

Я ожидал более точного построения, чертежники иногда такое нарисуют - 2 дня потратишь на опровержение :wink:

Азазелло, эту задачу не надо сводить к трисекции. Она сводится к задаче построения семиугольника, невозможность которого была доказана еще Гауссом, памятник которому имеет форму правильного 17угольника (который построить можно). Построить можно только то, что кратно 2^(2^n)+1 (ну или 2^n), в смысле имеет делители только такого вида. Это самый выдающийся результат Гаусса, поскольку был получен до Галуа и до Абеля, "вне очереди" и "вне стрима".
Гаусс заслуживает и 65537-угольного памятника. И уж безусловно того, чтобы этот результат знали все, кто использует циркуль и линейку. :umnik1:

Сорри за лекторский тон :mrgreen:

Vlad G · Post by **Vlad G** » 10 Jun 2002 10:35

Опппс. Медиана в треугольнике не всегда совпадает с бисектриссой - аргумент достаточный. Как то не подумалось про это - ВУЗ то не профильный

MaxSt · Post by **MaxSt** » 10 Jun 2002 16:41

Вот, кстати:
[quote:118b290915]The values of n less than 100 for which a regular n-sided polygon can be constructed using only a compass and straightedge are listed below:

3 4 5 6 8 10 12 15 16 17 20 24
30 32 34 40 48 51 60 64 68 80 85 96
[/quote:118b290915]

Вы тут недавно ссылку кидали, Vlad G, так вот эта цитата оттуда.

Так что отмазки на непрофильный ВУЗ не проходят. :mrgreen:

MaxSt.

Azazello · Post by **Azazello** » 10 Jun 2002 16:51

[quote:f25403048f="Bobo"]Азазелло, эту задачу не надо сводить к трисекции. Она сводится к задаче построения семиугольника, невозможность которого была доказана еще Гауссом, памятник которому имеет форму правильного 17угольника (который построить можно). Построить можно только то, что кратно 2^(2^n)+1 (ну или 2^n), в смысле имеет делители только такого вида. Это самый выдающийся результат Гаусса, поскольку был получен до Галуа и до Абеля, "вне очереди" и "вне стрима".
Гаусс заслуживает и 65537-угольного памятника. И уж безусловно того, чтобы этот результат знали все, кто использует циркуль и линейку. :umnik1:

Сорри за лекторский тон :mrgreen:

[/quote:f25403048f]
Да нет, я как раз против лекций не возражаю

Просто геометрия всё-таки не моя специальность, а вот приведение алгоритмов (теория вычислимости) - да...
Вот я и применил привычный подход...

Belarus · Post by **Belarus** » 11 Jun 2002 17:50

[quote:5138bc6b0f="Vlad G"]Опппс. Медиана в треугольнике не всегда совпадает с бисектриссой - аргумент достаточный. Как то не подумалось про это - ВУЗ то не профильный

[/quote:5138bc6b0f]
А вот вы бы нарисовали вторую пряму под углом ТОЧНО 45, а не примерно - тогда бы всё совпало, останется только объяснить как вы делите отрезок на произвольное кол-во частей.

Bobo · Post by **Bobo** » 11 Jun 2002 18:32

[quote:da681832ca="Belarus"]А вот вы бы нарисовали вторую пряму под углом ТОЧНО 45, а не примерно - тогда бы всё совпало, останется только объяснить как вы делите отрезок на произвольное кол-во частей.[/quote:da681832ca]

:mrgreen:

(Всё чудесатее и чудесатее... (c) Alice) (c) Azazello
:pain1:

Vlad G · Post by **Vlad G** » 12 Jun 2002 06:10

[quote:077b8e77b1="Belarus"][quote:077b8e77b1="Vlad G"]Опппс. Медиана в треугольнике не всегда совпадает с бисектриссой - аргумент достаточный. Как то не подумалось про это - ВУЗ то не профильный

[/quote:077b8e77b1]
А вот вы бы нарисовали вторую пряму под углом ТОЧНО 45, а не примерно - тогда бы всё совпало, останется только объяснить как вы делите отрезок на произвольное кол-во частей.[/quote:077b8e77b1]
Совпало что?
Или у вас тоже ВУЗ не профильный

?

Belarus · Post by **Belarus** » 12 Jun 2002 17:24

[quote:7da5bbdb0a="Vlad G"][quote:7da5bbdb0a="Belarus"][quote:7da5bbdb0a="Vlad G"]Опппс. Медиана в треугольнике не всегда совпадает с бисектриссой - аргумент достаточный. Как то не подумалось про это - ВУЗ то не профильный

[/quote:7da5bbdb0a]
А вот вы бы нарисовали вторую пряму под углом ТОЧНО 45, а не примерно - тогда бы всё совпало, останется только объяснить как вы делите отрезок на произвольное кол-во частей.[/quote:7da5bbdb0a]
Совпало что?
Или у вас тоже ВУЗ не профильный

?[/quote:7da5bbdb0a]
А что значит ВУЗ не профильный? Ну БелГосУнивер, Мех-Мат.. Правда уже 7 лет как. Но я так думаю, что тут я отвечаю исходя из школьных знаний геометрии.

Совпала бы медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике. Ну а если у вас один угол прямой, то для равнобедренности надо чтоб другой был ровно 45. Только вот боюсь это не поможет.
Но всё равно интересно, как собирались делить отрезок на N равных частей? (Скажем, на 3 части )

MaxSt · Post by **MaxSt** » 12 Jun 2002 18:25

[quote:1a0ed41f1c="Belarus"]Но всё равно интересно, как собирались делить отрезок на N равных частей? (Скажем, на 3 части )[/quote:1a0ed41f1c]

Эх, мехмат, мехмат...
Представьте, что вам при поступлении в ВУЗ такой вопрос достался - и пять минут на размышления.
Время пошло!

MaxSt.

Boriskin · Post by **Boriskin** » 12 Jun 2002 18:58

[quote:b7b344bda4="Belarus"]

Совпала бы медиана и биссектриса в равнобедренном треугольнике. Ну а если у вас один угол прямой, то для равнобедренности надо чтоб другой был ровно 45. Только вот боюсь это не поможет.
[/quote:b7b344bda4]

Чтоб равные углы получить, нужно дуги одинаковой длины. (кто знает - тот поймет, о чем я), отрезки не лечат никак.

[quote:b7b344bda4]
Но всё равно интересно, как собирались делить отрезок на N равных частей? (Скажем, на 3 части )[/quote:b7b344bda4]

А вот это элементарно. Стороим прямую, строим пераендикуляр. На исходной прямой откладываем начальный отрезок одним концом упирающийся в пересечение прямых. Далее откладываем на прямой n таких же отрезка (получаем отрезок n-ой длины). Из второго конца отрезка (так сказать свободного) строим окружность радуиса n, в рез-те получаеv 2 прямоугольных треугольника с гипотенузами n и катетами 1. На гипотенузах откладываем начальный отрезок от общей вершины, соединяем получившиеся точки прямой. Точка пересечения этой прямой и отрезка и делит исходнвй отрезок в соотношении 1 к n-1. Вуаля. :mrgreen:

Bobo · Post by **Bobo** » 12 Jun 2002 19:51

Ну а как нащет серёзной задачки?
Например:
какие углы _можно_ разделить на 3 части?
или какие углы вообше можно построить?
Навскидку:
1. Те, у которых тангенс ратсионален
2. Те, у которых тангенс вида sqrt(p^2 + q^2), p, q from Q
3. Те, у которых тангенс вида sqrt(q), q from Q (ведь среднее геометрическое строится?)
4. Их линейные комбинации и суперпозиции
5. Углы постpоимых правильных n-угольников

(входят ли они в вышеупомянутые множества?)
6. Углы многоуголников с вершинами в узлах построимых регулярных решеток (интересно, каков общий вид, и не входят ли они в вышеупомянутые множества)

Наверно, еще целую кучу.
Интересно, как хотя бы доказать, что ета куча - щетное множество?

Другая задача: перечислить все N, для которых _произволный_ угол можно разделить на N частей. Тут у меня вообше нет никаких мыслей. У кого-нибудь есть?

FiL · Post by **FiL** » 12 Jun 2002 21:26

[quote:78001bb2d1="Bobo"]Другая задача: перечислить все N, для которых _произволный_ угол можно разделить на N частей. Тут у меня вообше нет никаких мыслей. У кого-нибудь есть?[/quote:78001bb2d1]У меня есть мысль, но только одна и та простая как 7 рублей.
1) N=2^n;

Vlad G · Post by **Vlad G** » 13 Jun 2002 06:14

У меня другой вопрос. Можно ли угол 90 разделить на три?
Мне кажется что можно, но наверняка что то опять не так и опять припомнят непрофильный ВУЗ.
Я рассуждал так: есть угол 90. Надо построить 30. Угол в равностороннем треугольнике 60. Значит построив 60 в 90, мы получаем 30. Т.е. угол 90 можно разделить на 3 части.

FiL · Post by **FiL** » 13 Jun 2002 15:40

[quote:0c8d7634bc="Vlad G"]У меня другой вопрос. Можно ли угол 90 разделить на три?
[/quote:0c8d7634bc]Можно, только прямой угол не есть любой угол. Есть еще масса углов, которых можно поделить на 3 (углы типа 3а, где а - любой построимый угол). Толку-то?

Бориславище · Post by **Бориславище** » 22 Feb 2006 16:14

Оказывается можно построить правильный семиугольник только с помощь циркуля и линейки :umnik1:

И я даже знаю как!!!

8K · Post by 8K » 23 Feb 2006 09:13

Бориславище wrote:Оказывается можно построить правильный семиугольник только с помощь циркуля и линейки
И я даже знаю как!!!

Ну-ка, ну-ка...

Deynekin · Post by **Deynekin** » 03 Mar 2006 20:43

Vlad G wrote:А можно еще проще
http://homepage.mac.com/efithian/Geomet ... ty-06.html

Коллеги, что-то я не совсем понимаю: "вам шашечки или ехать?" То есть, вопрос был о том как именно поделить (т.е. рецепт-"ехать"?), или почему рецепт ("шашечки") работает?

Если первое, тогда приведённой ссылки и впрямь достаточно, а вот если второе, что более уместно для этого форума, тогда давайте доказывать почему именно. (Кстати, этот же вопрос, слово-в-слово: "Правильный пятиугольник", http://forum.privet.com/viewtopic.php?t=93407, я с месяц тому назад уже задавал, его слегка пожевали, но он так и остался безответным).

И ещё. В приведённой ссылке http://homepage.mac.com/efithian/Geomet ... ty-06.html есть какая-то шершавость-неаккуратность: сперва весьма здраво говорится, что
Gauss found that any regular polygon of n sides can be constructed with an unmarked ruler and a compass if all of the following conditions are met:
Each odd factor of n is unique.
Each odd factor of n is prime.
Each odd factor of n is of the form
2^2^k + 1, for some integer k,
а затем приводятся "подтверждающие контрпримеры": On the other hand, it is impossible to construct a regular 100-sided polygon with a compass and a straightedge, since 100 has more than one factor of 5. A 21-sided regular polygon cannot be constructed with compass and straightedge because 21 has an odd factor of 7, which is not in the table above.

Т.е. слова can be constructed трактуются не только как "достаточно", но и "необходимо", что, похоже, уже неверно, т.к., исходя из этого, нельзя было бы построить даже простой квадрат. :roll:

А далее и совсем погано: If a regular polygon has the number of its sides other than in the above list, it can be constructed by using a protractor in addition to the compass and straightedge. - Авторы явно не выдерживают стиль, скатываясь к банальному чертёжничеству. Читать такие источники следует с большой осторожностью, т.к. они своей хромой логикой губительно действуют на выработку культуры мышления. :wink:

venco · Post by **venco** » 03 Mar 2006 21:30

Deynekin, где вы нашли "контрпримеры"?
И возможность построить квадрат вполне соответствует условиям.
:pain1:

Кстати, там имеется ввиду "if and only if all of the following conditions are met".

Deynekin · Post by **Deynekin** » 03 Mar 2006 22:35

venco wrote:Deynekin, где вы нашли "контрпримеры"?
И возможность построить квадрат вполне соответствует условиям.

Кстати, там имеется ввиду "if and only if all of the following conditions are met".

venco, я начну с конца: если "там имеется ввиду", то хотелось бы, чтобы именно так (или равносильно) и было бы сказано; для меня же написанное "can be constracted" выглядит лишь как достаточное условие, и, думаю, на сей раз дело не в некоторой шаткости моего английского. В любом случае, спасибо за разъяснение, для меня это было и вправду terra incognita.

К тому же приводимый список требуемых нечётных делителей начинался с 3 (а не с единицы!), откуда я и заключил, что квадрат остался "за бортом". Кстати, когда там же несколькими строками позже приводится список возможных многоугольников, то квадрат, разумеется, уже присутствует - такой коктейль выглядит очень неряшливо. :wink:

И всё же польза есть. Я как-то задавался вопросом, как построить угол в один градус? Теперь вижу, что - невозможно: 360 = 2*2*2*3*3*5 - тройка входит два раза, и это всё губит. Отсюда практический вопрос: как получили деление в один градус на транспортире? :pain1:

Ljolja · Post by **Ljolja** » 12 Mar 2006 19:16

Deynekin wrote:Коллеги, что-то я не совсем понимаю: "вам шашечки или ехать?" То есть, вопрос был о том как именно поделить (т.е. рецепт-"ехать"?), или почему рецепт ("шашечки") работает?

Если первое, тогда приведённой ссылки и впрямь достаточно, а вот если второе, что более уместно для этого форума, тогда давайте доказывать почему именно. (Кстати, этот же вопрос, слово-в-слово: "Правильный пятиугольник", http://forum.privet.com/viewtopic.php?t=93407, я с месяц тому назад уже задавал, его слегка пожевали, но он так и остался безответным).

Если ответ известен, то, что он верен, практически всегда можно доказать методом от противного. Или Ваш ? даже не "почему шашечки", а "почему они квадратные"?

Ljolja · Post by **Ljolja** » 12 Mar 2006 19:21

Deynekin wrote:И всё же польза есть. Я как-то задавался вопросом, как построить угол в один градус? Теперь вижу, что - невозможно: 360 = 2*2*2*3*3*5 - тройка входит два раза, и это всё губит. Отсюда практический вопрос: как получили деление в один градус на транспортире?

1. берешь произвольный раствор циркуля (так говорят)\
2. делаешь три засечки на прямой, получешь отрезок поделенный на 3ч
3. берешь отрезок который надо поделить
4. строишь от его края пенпендикуляр
5. строишь 3-к где одна сторона исходный отрезок , другая твой поделенный на 3 части 3я перпенд.
6. востонавливаешь перпендикуляры. Твой отрезок поделен хоть на 3 хоть на 33 части. То же с углом

Пользуйтесь google.com и будет вам счастье

venco · Post by **venco** » 13 Mar 2006 00:21

А вы проверьте. То что проходит с отрезками, не проходит с углами.
Увы.

kostia00 · Post by **kostia00** » 13 Mar 2006 00:27

Deynekin wrote:И всё же польза есть. Я как-то задавался вопросом, как построить угол в один градус? Теперь вижу, что - невозможно: 360 = 2*2*2*3*3*5 - тройка входит два раза, и это всё губит. Отсюда практический вопрос: как получили деление в один градус на транспортире?

Угол в 1 градус строится с помощью циркуля, линейки и катушки с нитками. :umnik1:

Иоп · Post by **Иоп** » 13 Mar 2006 01:12

kostia00 wrote:Угол в 1 градус строится с помощью циркуля, линейки и катушки с нитками.

А вот и не угадали! Угол в 1 градус на самом деле делается в фотошопе! Вот так. :umnik1:

Иоп · Post by **Иоп** » 13 Mar 2006 01:18

Кстати, расскажу забавную историю в тему. Надо было одному знакомому настроить спутниковую тарелку. А он гуманитарий, и посему всяких транспортиров у него никогда не водилось, только простая линейка была.

В общем я попросил у него карандаш, лист бумаги и обычную линейку и построил заданный угол. У него челюсть отвисла. Думаю все уже догадались как я это сделал.

Привет ПЕРЕЕДЕТ 1го февраля

С помощью циркуля и линейки...(2)

Правильный семиугольник - только циркуль и линейка!!

Re: Правильный семиугольник - только циркуль и линейка!!