Плавающая пирамида

[Deynekin]

[...] Еще, думаю, какой-нибудь атец кораблестроения, вроде Крылова, все эти штуки должен был у себя в сборнике сочинений иметь.

-Апсалютна верна!

Теперь немного в деталях.

Я ещё подумал над задачей и решил, что устойчивость определяется смещением центра масс вытесненной жидкости при наклоне.

-Именно так. И вертикаль, проходящая через через центр тяжести этого "нового объёма" и есть линия действия архимедовой силы в накренённом положении.

Теперь так: поскольку поперечное сечение корабля симметрично, то при накренении центр приложения архимедовой силы в системе координат самого корабля движется по симметричной (отн. вертикали корабля) кривой; если крены "достаточно малы", а обводы - плавные, то эту кривую можно аппроксимировать параболой (она так и называется: "парабола устойчивости" или "метацентрическая парабола"). При некотором усилии можно видеть, что как бы судно не накренялось (в пределах принятых допущений, конечно), архимедова сила будет всегда проходить через фокус этой параболы - "метацентр". (Замените параболу соответсвующей ей вписанной - до второго порядка - окружностью, и этот результат может оказаться более очевидным.)

Итак, архимедова сила всегда проходит через метацетр, а вес - через центр тяжести корабля. Т.е. корабль на манер маятника оказывается "подвешенным" за метацентр (ещё раз напомним: положение последнего определяется формой обводов корабля, ну и, разумеется, тем, насколько он, корабль, глубоко сидит в воде.)

При этом, разница по высоте между центром тяжести корабля и его метацентром ("метацентрическая высота") является мерой запаса устойчивочти корабля, она задаётся при проектировании. Для типичного сухогруза первой половины прошлого века (~10000 тонн) это величина, кажется, порядка нескольких метров (1.5-5?). Теперь ясно, почему корабль может быть устойчивым, даже если его центр тяжести расположен выше точки приложения архимедовой силы.

Сюда же: доска плавает плашмя, т.к. в этом положении метацентрическая парабола широкая, и метацентр расположен высоко; поставьте доску на ребро - получите очень узкую параболу с низким расположением фокуса - метацентрическая высота отрицательна, доска в этом положении не стоит.

В заключение полезно рассмотреть устойчивость плавания круглого бревна (его метацетр, очевидно, совпадает с геометрическим центром бревна) со слегка смещённым центром тяжести.

[venco]

Я тут ещё вычислил интересную особенность равностороннего треугольника - момент инерции вокруг оси в плоскости треугольника не зависит от направления оси.

[Deynekin]

Я тут ещё вычислил интересную особенность равностороннего треугольника - момент инерции вокруг оси в плоскости треугольника не зависит от направления оси.

Разбередили Вы меня, venco, попробую поумничать, может выйдет правдоподобно.

Ведательно есть, что у любого трёхмерного тела (самой кошмарной формы!) есть три взаимно перпендикулярных оси ("главные оси инерции"), относительно которых тело вращается "без перекосов", т.е. при вращении вокруг каждой из таких осей момент количества движения Μ параллелен вектору угловой скорости ω. В общем же случае Μ = J*ω, где J - "тензор инерции", представляющийся положительно определённой матрицей, и эти векторы непараллельны; в базисе же из главных осей эта матрица, естественно, диагональна, и на главной диагонали стоят её собственные числа - в данном случае моменты инерции отн. соотв. главных осей. Если все эти три момента инерции одинаковы (например, у куба), то говорят, что тензор инерции "представляется сферой", а "тело является шаровым волчком". Для такого тела всякаяось (естественно, проходящая через центр масс) является главной, и ей соответствует та же величина момента инерции, что и отн. любой другой.

Теперь о правильном треугольнике. Любая из его осей симметрии (нам понадобятся только какие-нибудь две), естественно, может быть выбрана за главное направление, причём каждой из них соотвествует одно и то же собстенное число. Но, как легко показывается, любая линейная комбинация собственных векторов, соответсвующих одному и тому же собственному числу, есть тоже такой же собственный вектор. Следовательно, при вращении вокруг любой оси, лежащей в плоскости правильного треугольника, получим тот же момент инерции, что и при вращении вокруг оси симметрии - именно то, что Вы, похоже, и обнаружили прямым вычислением.

Немного обобщая, приходим к выводу, что любая плоская фигура, обладающая центральной и зеркальной симметриями одновременно, должна обладать тем же свойством.

В трёхмерном случае, в частности, для тетраэдра ("молочный пакет" - для тех, кто помнит, что это такое), как и для куба, любая ось, проходящая через центр - главная.

В заключение замечу, что этот эффект имеет место не только в случае вращения, но всюду, где процесс определяется положительно определённым тензором, например, при протекании тока в кристаллической среде: j = S*E, (j, E - плотность тока и напряжённость электрического тока, S - тензор проводимости). Если среда, например, кубически симметрична, то тензор проводимости сферически симметричен, и, как следствие, проводимость вообще перестаёт зависеть от направления: такая кристаллическая среда изотропна.

PS Только что пришло а голову: как следствие, сопротивление достаточно широкой - чтобы начала работать модель сплошной среды - полосы, вырезанной из квадратной сетки одинаковых сопротивлений, вроде бы, не должна зависеть от того, в каком направлении вырезали полосу!(?) - Ух ты, наука, похоже, и впрямь умеет много гитик!

[venco]

Deynekin, я, к сожалению, не всё понял из вашего обяснения. Проверьте, пожалуйста, изменится ли что либо, если рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого тоже есть две перпендикулярных оси с одинаковым моментом инерции?
Дело в том, что, по моим выкладкам, только у равностороннего треугольника момент по всем осям одинаков. У любого другого момент меняется. Т.е. у каких то осей момент может совпасть, но в целом это переменная величина.
Кстати, можно сделать более общее утверждение: для любой непрерывной функции угла найдутся два угла с разностью π и одинаковыми значениями.

[Deynekin]

Проверьте, пожалуйста, изменится ли что либо, если рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого тоже есть две перпендикулярных оси с одинаковым моментом инерции?

Как мне сдаётся, эти две оси (перпендикуляры к катетам, проходящие через центр масс - точку пересечения медиан) не годятся на роль главных: в них тензор инерции не диагонален, или, что то же, момент инерции относительно этих осей j = J*n не параллелен направлению оси n. Проверяется так: пришпильте центр масс тела к оси и посмотрите, будет ли это положение равновесным, пусть бы даже и неустойчивым. В случае с равнобедренным прямоугольным треугольником, он - треугольник - очевидно будет стремиться развернуться своей гипотенузой поперёк оси вращения. Имено эту тенденцию к развороту я раньше вольно и назвал "вращением без перекосов". При вращении же отн. главных осей, этой тенденции нет. (Опять же, возможную неустойчивость такого равновесия не учитываем.)

Эти "перекосы" при вращении создают вращающуюся вместе с телом пару сил в подшипниках, удерживающих ось. Поэтому роторы машин балансируют не только "статически" (приводят цетр масс на ось вращения), но и "динамически": одну из главных осей вращения (ближайшую) выводят на ось вращения.

Но что можно сказать наверняка: любая ось симметрии тела обязана быть главной осью инерции. Обратное, вообще говоря, отнюдь не обязательно: см., например, вторую главную ось рассмотренного треугольника.