С помощью циркуля и линейки...

Sheriff · Post by **Sheriff** » 09 Mar 2002 18:57

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by MaxSt:
То же и с качением шара. Чуть-чуть ошибетесь с направлением, и вторая точка не отпечатается. Точки в геометрии ведь очень-очень маленького размера. <img border="0" title="" alt="[Smile]" src="smile.gif" />
<hr /></blockquote>Для точного задания направления качения шара можно использовать линейку, которая дана в условии задачи. Если катить шар вдоль кромки линейки - то он будет катиться по прямой линии.

<blockquote>quote:<hr />К тому же, в номере 5 вашего рассуждения вы говорите "вычисляем". Но ведь калькулятора по условиям задачи не дано! <hr /></blockquote>Арифметические действия еще никто не отменял. И вычисления можно провести пользуясь бумагой и карандашом (они-то даны по условию задачи).
О точность вычислений в условии задачи не сказано. Число pi я помню до 11 знака. (3.14159265358). Я думаю достаточно такой точности <img border="0" title="" alt="[Smile]" src="smile.gif" />

vofa · Post by **vofa** » 11 Mar 2002 05:36

1) На сфере искомого радиуса R выбираем точку - А и проводим дугу произвольного радиуса r.
2) Из точки В, расположенной на дуге, тем же радиусом r проводим еще одну дугу так, чтобы было 2 точки перечесечения с предыдущей - С, D.
Расстояние (S) между точками C и D является уникальным, т.е. однозначно определяется значениями r и R.
3) Очевидно, что перпендикуляры к центрам треугольников АВС и ABD (соответственно, точки E и F), проходят через центр сферы - точку О.
4) Секущая плоскость, проходящая через точки C, D, O, содержит в себе точки E, F, а также точку G - середину ОТРЕЗКА (не дуги!) АВ.
5) Анализируем (уже на плоскости!) свойста равнобедренного треугольника GCD и вспомогательных точек:
а) CO=CD=R; - неизвестно
b) GC=GD=r*sqrt(3)/2; - известно
с) CD=S; - известно
d) GE=GF=(1/3)GC; - известно
e) перпендикуляры, проведенные к боковым сторонам треугольника, из точек E и F пересекаются в точке О.

З.Ы. Спасибо за свежую задачку!

Vlad G · Post by **Vlad G** » 11 Mar 2002 07:39

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by MaxSt:
Согласен с предыдущим замечанием о трех точках на "прямой".
Как бы я построил эти точки... ну посмотрим...

На шаре рисуем циркулем окружность #1 с центром в произвольной точке А. На этой окружности выбираем произвольную точку B и с центром в ней рисуем окружность #2 того же радиуса.
Точки пересечения этих двух оркужностей обозначим С и D.

Пока все просто, не так ли... <img border="0" title="" alt="[Smile]" src="smile.gif" />

Ну и никто не помешает нам из тех же центров A и B нарисовать еще две окружности (#3 и #4), но уже чуть большего радиуса (опять одинакового). Их точки пересечения будут соответственно - C1 и D1.

Очевидно, что точки C, D, C1, D1 будут лежать на большой дуге шара.

Дальше все элементарно. Хватит и трех точек. Измеряем циркулем треугольник C-D-C1, восстанавливаем его копию на плоскости, и строим радиус описанной окружности. Все.

MaxSt.<hr /></blockquote>Все правильно !! <img border="0" title="" alt="[Big Grin]" src="biggrin.gif" />

2vofa:
Не понял, как получить точки E, F, G?

MaxSt · Post by **MaxSt** » 11 Mar 2002 07:45

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by vofa:
5) Анализируем (уже на плоскости!) свойста равнобедренного треугольника GCD<hr /></blockquote>Осталось решить: как треугольник GCD перенести на плоскость?
Ведь точка G находится внутри шара, не так ли?

To Vlad G: Thanks!

vofa · Post by **vofa** » 11 Mar 2002 16:43

> Vlad G:
> Не понял, как получить точки E, F, G?
> MaxSt:
> Осталось решить: как треугольник GCD перенести
> на плоскость? Ведь точка G находится внутри
> шара, не так ли?

Старался сочетать ясность с лаконичностью. :-)
Исправляюсь...
> а) CO=CD=R; - неизвестно
Конечно же, CO=ОD=R (исправил опечатку!)
*** R мы найдем в конце решения.

> b) GC=GD=r*sqrt(3)/2; - известно
Строим на плоскости равносторонний треугольник со стороной r. Находим в нем высоту - GC (=GD!).

> с) CD=S; - известно
Известно по построению.
(((
Может вот это упустил:
строим равнобедренный треугольник GСD!!
> ...Ведь точка G находится внутри шара,
> не так ли?
;=)) - Бесспорно! Но длины сторон треугольника известны.
)))

> d) GE=GF=(1/3)GC; - известно
На каждой из боковых сторон (GC и GD) находим точки E, F, удаленные на расстояние, равное 1/3 от длин сторон. (ну элементарно же?)

> e) перпендикуляры, проведенные к боковым
> сторонам треугольника, из точек E и F
> пересекаются в точке О.
Тоже элементарно.
---
Длина отрезков ОС и OD равняются искомому радиусу сферы - R.

MaxSt · Post by **MaxSt** » 12 Mar 2002 16:17

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by 8K:

1) Берем произвольную точку A на сфере и при помощи циркуля проводим на ней окружность.
<hr /></blockquote>В они в какой позиции находятся?
Точка A сверху, а окружность снизу или наоборот?

MaxSt.

8K · Post by 8K » 12 Mar 2002 18:10

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by MaxSt:
 <blockquote>quote:<hr />Originally posted by 8K:

1) Берем произвольную точку A на сфере и при помощи циркуля проводим на ней окружность.
<hr /></blockquote>В они в какой позиции находятся?
Точка A сверху, а окружность снизу или наоборот?

MaxSt.<hr /></blockquote>Чего-то я не понимаю. Нет у сферы ни верха, ни низа. Это походит на любовь в невесомости.

[ 12-03-2002, 09:12: Message edited by: 8K ]

8K · Post by 8K » 12 Mar 2002 21:28

А такое рещение пойдет? Собственно, не вижу, чем эта задача отличается от нахождения центра окружности при помощи циркуля и линейки.

1) Берем произвольную точку A на сфере и при помощи циркуля проводим на ней окружность.

2) При помощи циркуля и линейки находим центр O этой окружности.

3) Прямая AO при пересечении со сферой даст точку B - второй конец диаметра сферы.

4) Повторяем пункты 1-3, чтобы получить еще один диаметр, пересекающийся с только что построенным.

Точка пересечения двух диаметров - центр сферы.
------------
А... Все понял, почитав посты выше. Народ тут просто стебается.

[ 12-03-2002, 00:33: Message edited by: 8K ]

MaxSt · Post by **MaxSt** » 12 Mar 2002 23:50

Шутка не удалась. ОК. Сформулирую по-другому.

Есть точка А и есть окружность - это я понял.
Но вот в каких отношениях к друг другу они состоят?
Пункт первый деликатно умалчивает об этом.
Поэтому интрига сюжета выглядит неполной.

MaxSt.

8K · Post by 8K » 13 Mar 2002 06:24

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by MaxSt:
Шутка не удалась. ОК. Сформулирую по-другому.

Есть точка А и есть окружность - это я понял.
Но вот в каких отношениях к друг другу они состоят?
Пункт первый деликатно умалчивает об этом.
Поэтому интрига сюжета выглядит неполной.

MaxSt.<hr /></blockquote>Я все-таки не понимаю вопроса (предполагая, что вы серьезно спрашиваете, а не прикалываетесь).

Точки окружности находятся на равном расстоянии от точки A, хотя плоскость, в которой лежит окружность, не содержит точку A.

Собственно, это и есть то, что циркуль умеет - построить множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. В трехмерном случае он сферу строит. В пересечении с исходной сферой получается окружность.

[ 12-03-2002, 21:29: Message edited by: 8K ]

Vlad G · Post by **Vlad G** » 13 Mar 2002 07:23

2vofa:
Почему d) GE=GF=(1/3)GC ?
Можно подробнее про (е)?

28K: (серьезно)
Совершенно не понимаю Вашего решения. Чем сфера отличается от шара?

8K · Post by 8K » 13 Mar 2002 08:03

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by Vlad G:
2vofa:
Почему d) GE=GF=(1/3)GC ?
Можно подробнее про (е)?

28K: (серьезно)
Совершенно не понимаю Вашего решения. Чем сфера отличается от шара?<hr /></blockquote>Я сдаюсь. Это, по-моему, еще в школе проходили. Сфера от шара отличается тем же, чем и окружность от круга. В частности, размерностью.

Шар - множество точек, расстояние которых от заданной точки [b:c3a3e12df2]не превышает[/b:c3a3e12df2] определенной величины (радиуса шара). Сфера - множество точек, для которых расстояние [b:c3a3e12df2]равно[/b:c3a3e12df2] заданному.

Вам нужно порешать другие задачи на построение при помощи циркуля и линейки (на плоскости). Например, деление отрезка пополам, вписывание/описывание окружностей в треугольник. Бывают также задачи на построение при помощи одного циркуля, т.е. без линейки. Бывают извратные линейки с делениями, но зато циркулем пользоваться нельзя. Прорва всего, по моим воспоминаниям. Хотя никаких книжек посоветовать не смогу.

Но надо все-таки начала геометрии и стереометрии освежить в памяти, хотя бы определения и основные теоремы, а то впечатление такое, что на разных языках разговариваем.

Vlad G · Post by **Vlad G** » 13 Mar 2002 10:26

Спасибо за объяснение, было интересно. У меня background – Ленинградский Технологический Инс.
Начинаю подозревать, что Ваше решение правильно, но без дополнения не уверен <img border="0" title="" alt="[Smile]" src="smile.gif" /> .
Можно подробнее про построения?

MaxSt · Post by **MaxSt** » 13 Mar 2002 15:54

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by 8K:
(предполагая, что вы серьезно спрашиваете, а не прикалываетесь).
<hr /></blockquote>Есть такая дурная привычка - серьезно прикалываться. Mea culpa. <img border="0" title="" alt="[Wink]" src="wink.gif" />

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by 8K:
Точки окружности находятся на равном расстоянии от точки A, хотя плоскость, в которой лежит окружность, не содержит точку A.
<hr /></blockquote>Теперь понял. Так бы сразу и сказали - строим на шаре окружность с "центром" в т. А.

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by 8K:
2) При помощи циркуля и линейки находим центр O этой окружности.<hr /></blockquote>Никак не можем.
Шар сплошной - типа бильярдный. Внутрь залезть не получится.

MaxSt.

P.S. Кстати, я понял решение vofa - оно тоже правильное.

8K · Post by 8K » 13 Mar 2002 17:13

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by MaxSt:
Шар сплошной - типа бильярдный. Внутрь залезть не получится.<hr /></blockquote>Ну, тогда дело другое. Я условие неправильно понял. Такая задачка, безусловно, гораздо интереснее.

8K · Post by 8K » 13 Mar 2002 17:25

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by Vlad G:
Спасибо за объяснение, было интересно. У меня background – Ленинградский Технологический Инс.
Начинаю подозревать, что Ваше решение правильно, но без дополнения не уверен <img border="0" title="" alt="[Smile]" src="smile.gif" /> .
Можно подробнее про построения?<hr /></blockquote>Принимая во внимание дополнительное условие задачи (шар сплошной - т.е. для построения нельзя использовать точки внутри шара), мое решение неправильное. На самом деле, я не обратил внимания, что в самом первом посте был шар, а не сфера.

Про построения, если они вас интересуют, надо почитать книжку по геометрии, хотя бы и школьный учебник. В двух словах тут на форуме не объяснишь. У вас действительно образование не того профиля. А в книжках всякие интересные вещи объясняются, доказывается, что определенные задачи в принципе не разрещимы (такие, трисекция угла), показывается связь с радикалами. Такие задачи, по сути, просто нахождение корней определенного уравнения.

Также бывают всякие книги вроде "Занимательной геометрии" или "Построений при помощи циркуля и линейки" - у меня в России было несколько, но сюда не привез и точных названий не помню.

Vlad G · Post by **Vlad G** » 13 Mar 2002 21:03

8K:
Можно подробнее про размерности шара и сферы? Я то по серости думал что они одинаковые.
И как в трехмерном случае строить циркулем сферу. Трехмерным циркулем что ли?

8K · Post by 8K » 13 Mar 2002 21:15

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by Vlad G:
8K:
Можно подробнее про размерности шара и сферы? Я то по серости думал что они одинаковые.
И как в трехмерном случае строить циркулем сферу. Трехмерным циркулем что ли?<hr /></blockquote>Размерность шара равна трем, размерность сферы равна двум (соответственно, у шара есть объем, а у сферы - площадь). Собственно, сфера - это плоскость плюс "бесконечно удаленная" точка.

Математики также изучают пространства с дробной размерностью.

Циркуль в задачах на построение - воображаемый прибор, позволяющий построить множество точек на заданном расстоянии от данной точки, хоть в дву-, хоть в n-мерном случае. Линейка - прибор, позволяющий провести прямую через две заданные точки.
-----------------------------------
Скажем так: размерность множества точек - количество независимых переменных, определяющих это множество. Положение на поверхности земного шара определяется, к примеру, долготой и широтой - то есть размерность сферы два. Для положения в самом шарике требуется еще один независимый параметр, скажем, глубина залегания трупа. Двух переменных уже недостаточно.

А вот [b:8556ad2ba9]мощность[/b:8556ad2ba9] множеств точек шара и сферы одна и та же. Грубо говоря, в них одно и то же количество точек. Тем не менее, [b:8556ad2ba9]непрерывного[/b:8556ad2ba9] отображения не существует, поэтому и размерность разная.

Если не секрет - какой у вас математический background?

[ 13-03-2002, 00:31: Message edited by: 8K ]

Princeton Lion · Post by **Princeton Lion** » 14 Mar 2002 09:15

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by Vlad G:
 У меня background – Ленинградский Технологический Инс.
<hr /></blockquote>Прошу прощения, но Инс бывает только Вермонтский, Калифорнийский, Техасский и Небрасский...

Vlad G · Post by **Vlad G** » 18 Mar 2002 15:13

<blockquote>quote:<hr />Originally posted by MaxSt :

P.S. Кстати, я понял решение vofa - оно тоже правильное.
<hr /></blockquote> <blockquote>quote:<hr />Originally posted by 8K:

Принимая во внимание дополнительное условие задачи (шар сплошной - т.е. для построения нельзя использовать точки внутри шара), мое решение неправильное
<hr /></blockquote>Т.е. решение vofa тоже неправильное ?
То-то я его не понимал!

MaxSt · Post by **MaxSt** » 18 Mar 2002 15:54

Нет, правильное.

Точка G у него находится внутри шара, и напрямую измерить отрезоки GC и GD нельзя, конечно. Поэтому он использует военную хитрость - переносит [b:5e059cb5e0]равносторонний[/b:5e059cb5e0] треугольник ABC на плоскость и там строит высоту этого треугольника, которая и равна GC. Аналогично строится GD (хотя необязательно, ведь GC=GD).

Поэтому треугольник GCD на плоскости восстановить вполне возможно. Дальше по пунктам d) и e).

Кстати, мой background - мехмат МГУ. <img border="0" title="" alt="[Smile]" src="smile.gif" />

MaxSt.