Кубик из резисторов

Alexey_Slutzky · Post by **Alexey_Slutzky** » 24 Jan 2002 22:34

Задача с одной физической олимпиады.
Представим себе проволочный кубик. Ну, из проволоки спаянный. Представили? Теперь представьте, что каждая проволочка - резистор в R кОм. Итого, значит, 12 резисторов спортили на эдакую безделицу. Каково же общее сопротивление кубика между двух максимально удаленных углов (т.е. между левым верхним ближним и правым нижним дальним)? Формулу, пожалуйста.

Joker · Post by **Joker** » 24 Jan 2002 22:40

R/3 + R/6 + R/3 = 5R/6 ?

Mikhail_L · Post by **Mikhail_L** » 24 Jan 2002 22:46

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
R/3 + R/6 + R/3 = 5R/6 ?<hr></blockquote>

я тоже так думаю, так как схема симметричная, то можно все точки с одинаковым потенциалом соединить.

а вот что будет если все резисторы разные - это такая каша получится

AK70 · Post by **AK70** » 24 Jan 2002 22:48

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Mikhail_L:


я тоже так думаю, так как схема симметричная, то можно все точки с одинаковым потенциалом соединить.

а вот что будет если все резисторы разные - это такая каша получится<hr></blockquote>

u'll get a system of equations using Kirhgof's rule, and solve it with Matlab

AK70 · Post by **AK70** » 24 Jan 2002 22:56

you have a mesh - NxN points, connected with resistors (R) of length L. so if N=9, then it looks like a chessboard [img:6b5cd85a1e]images/smiles/icon_smile.gif[/img:6b5cd85a1e]

what's a resistance, between its two farest corners? for N=2, it's R.

now, somebody throws the ball (D is its diameter). it breakes every resistor, which was impacted.

what's going to be the average resistance of the mesh between it's two farest corners?

he-he... this is THE PROBLEM [img:6b5cd85a1e]images/smiles/icon_smile.gif[/img:6b5cd85a1e]

Mikhail_L · Post by **Mikhail_L** » 24 Jan 2002 23:11

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by AK70:


u'll get a system of equations using Kirhgof's rule, and solve it with Matlab<hr></blockquote>

так я же и говорю - каша.
попробуйте ручками, умрете не приходя в сознание. В Матлабе,Маткаде или Математике результат конечно получится, но формулы не дождетесь, как того требует автор топика.
Хотя, как я помню, существуют алгоритмы для решения подобных схем. Это когда соединение типа звездочка заменяется на треугольник (и наоборот).

AK70 · Post by **AK70** » 24 Jan 2002 23:19

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Mikhail_L:


конечно получится, но формулы не дождетесь, как того требует автор топика. <hr></blockquote>

there will be a formula

Joker · Post by **Joker** » 24 Jan 2002 23:51

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by AK70:
[i:a98dc8fbfa]you have a mesh - NxN points, connected with resistors (R) of length L. so if N=9, then it looks like a chessboard [img:a98dc8fbfa]images/smiles/icon_smile.gif[/img:a98dc8fbfa]

what's a resistance, between its two farest corners? for N=2, it's R.

now, somebody throws the ball (D is its diameter). it breakes every resistor, which was impacted.

what's going to be the average resistance of the mesh between it's two farest corners?

he-he... this is THE PROBLEM [img:a98dc8fbfa]images/smiles/icon_smile.gif[/img:a98dc8fbfa] [/i:a98dc8fbfa]<hr></blockquote>Между прочим, красивая задача!

flip_flop · Post by **flip_flop** » 25 Jan 2002 01:42

Использовать универсальные математические пакеты - неразумно при наличии программ анализа схем. Результаты можно получать и в численном виде и в аналитическом (для линейных схем).
Попробую привести алгоритм вывода формулы (R_екв=3/4 R)
Разрезаем куб на 2 части по диагоналям горизонтальных граней плоскостью, проходящей через заданные точки. Получаем 2 половины куба с сопротивлением, равным удвоенному искомому сопротивлению (проводимость половину куба равна половине искомой проводимости). Там, где секущая плоскость пересекает ребра, их проводимости делим пополам (сопротивления удваиваем). Разворачиваем половинку куба. Получаем затем схему с двумя внутреннеми узлами. Заменяем один треугольник на одну звезду, благо числа целые. Ну а дальше елементарная арифметика. Может быть возможно и еще проще решить, гложат смутные сомнения ...
PS. В Маппл и/или Сироп можно получить формулу для любых сопротивлений, но глядя на эту формулу вы поймете, что только компьютер захочет с ней работать [img:25eef23188]images/smiles/icon_wink.gif[/img:25eef23188]

[ 24-01-2002: Message edited by: flip_flop ]

Andrey S · Post by **Andrey S** » 25 Jan 2002 06:37

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by AK70:


there will be a formula<hr></blockquote>

Ещё раз, матлаб. Не маткад? А какая версия?

flip_flop · Post by **flip_flop** » 25 Jan 2002 07:37

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Andrey S.:


Ещё раз, матлаб. Не маткад? А какая версия?<hr></blockquote>В Матлабе есть встроенные средства от Маппле, которые позволяют решать системы уравнений и дальнейшие преобразования аналитически, не только численно.В Маткаде может быть тоже есть что-то подобное. Но ... для задачек лучше всего иметь карандаш и бумагу, чтобы избежать излишней математизации.

Joker · Post by **Joker** » 25 Jan 2002 07:47

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by flip_flop:
[i:500c29326a]В Матлабе есть встроенные средства от Маппле, которые позволяют решать системы уравнений и дальнейшие преобразования аналитически, не только численно.В Маткаде может быть тоже есть что-то подобное. Но ... для задачек лучше всего иметь карандаш и бумагу, чтобы избежать излишней математизации.[/i:500c29326a]<hr></blockquote>Для аналитических вычислений существует специальный пакет — Mathematica... намного лучше всех этих распространенных средств - Матлаба и Маткада. Имхо, разумеется.

flip_flop · Post by **flip_flop** » 25 Jan 2002 08:09

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
Для аналитических вычислений существует специальный пакет — Mathematica... намного лучше всех этих распространенных средств - Матлаба и Маткада. Имхо, разумеется.<hr></blockquote>С одной стороны согласен - Вольфрам все-таки математик и в его пакете есть вещи, изящно реализованные (фракталы, целлулярные автоматы, полезные последовательности из теории чисел и т.д.) С другой стороны, численные методы и набор полезных тулбоксов лучше реализованы в Матлабе, который является де-факто стандартом для научных и инженерных вычислений. Чисто аналитические и символьные вычисления - в Маппле. Но ето все универсальные пакеты. Для електронных схем есть Syrup под управлением Mapple, а также "серьезные" пакеты символьных вычислений с реализацией "schematic capture" (уже не помню как на русском). Хотя все это годится в основном для линейных схем и для реального проектирования не применяется, в отличии от SPICE и его модификаций.
Разумеется для забавной задачки все ето противопоказано [img:ea862ae44f]images/smiles/icon_smile.gif[/img:ea862ae44f]

Joker · Post by **Joker** » 25 Jan 2002 22:58

А я что-то вообще ничего не понял в этом решении. Откуда два внутренних узла? Какая звезда, какой треугольник? И почему ответ 3/4 R, когда он 5/6?
Объясните тупому, pls...

AK70 · Post by **AK70** » 25 Jan 2002 23:07

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
А я что-то вообще ничего не понял в этом решении. Откуда два внутренних узла? Какая звезда, какой треугольник? И почему ответ 3/4 R, когда он 5/6?
Объясните тупому, pls...<hr></blockquote>

it's 5/6 R, my friend. don't bother why some people get 3/4.

this problem was in every textbook.

Joker · Post by **Joker** » 25 Jan 2002 23:33

Я сперва и не собирался bother, но меня смутил восторженный отзыв Mikhail_L... [img:b4d835a63f]images/smiles/icon_wink.gif[/img:b4d835a63f]

Mikhail_L · Post by **Mikhail_L** » 26 Jan 2002 00:19

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
Я сперва и не собирался bother, но меня смутил восторженный отзыв Mikhail_L... [img:5ce8390c61]images/smiles/icon_wink.gif[/img:5ce8390c61] <hr></blockquote>

отзыв был об элегантности мысли - очень уж понравилось что просто можно разрезать, переписав сопротивления. задача упрощается значительно. Просто очень здорово, когда встречаются такие мысли. Это как, например, паять провода с аспирином - креатив. Или, например, однажды встретил такое (прошу прощения за отступление): начали в городе Казани реставрировать дворец спорта, закупили тонированные стекла для наружной отделки... Поставили первую партию и оказалось что они просвечивают и через них изоляцию видно. Зрелище довольно неприятное. Стояло такое зрелище с месяц, наверное попало всем за халатность. А потом гляжу, все застеклили и нормально - ничего не видно. Какой то прораб предложил просто черной краской покрасить внутри. И все дела. Решение на поверхности, а не все видят.

А про то, что ответ 5/6 - это точно, ну опечатка просто, наверное.

Михаил.

Joker · Post by **Joker** » 26 Jan 2002 01:40

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Mikhail_L:
[i:7fb9397b85]отзыв был об элегантности мысли - очень уж понравилось что просто можно разрезать, переписав сопротивления. задача упрощается значительно.[/i:7fb9397b85]<hr></blockquote>Упрощается??? Я до сих пор не понимаю, как ее решать после этого - я серьезно [img:7fb9397b85]images/smiles/icon_eek.gif[/img:7fb9397b85] объяснить можете?
Имхо, ничего проще и красивее элементарного (видимо, основного) решения, когда точки с одинаковым потенциалом объединяются, нет...

Drom · Post by **Drom** » 26 Jan 2002 03:20

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
Упрощается??? Я до сих пор не понимаю, как ее решать после этого - я серьезно [img:7d22caf427]images/smiles/icon_eek.gif[/img:7d22caf427] объяснить можете?
Имхо, ничего проще и красивее элементарного (видимо, основного) решения, когда точки с одинаковым потенциалом объединяются, нет...<hr></blockquote>

оно не проще и не красивее, но интересное.

восьмерка на цифровых часах.
такой же формы схема из 7 резисторов.
верхний и нижний по 2 R, остальные по R.
сопротивление схемы меряется в дальних точках.
flip_flop распилил кубик на две такие схемы (2R получилoсь на ребрах куба, которые были в схемах общими)

Joker · Post by **Joker** » 26 Jan 2002 04:28

Это-то я понял, и даже нарисовал себе эту "восьмерку" (я бы сказал, два квадрата [img:6b37dbfabc]images/smiles/icon_smile.gif[/img:6b37dbfabc] ) - Но, а что дальше? Автор писал про два внутренних узла (? - их вроде как 4?), треугольник (???) и звезду (?????)

Drom · Post by **Drom** » 26 Jan 2002 04:52

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
... [img:9cab53dd84]images/smiles/icon_smile.gif[/img:9cab53dd84] ) - Но, а что дальше? Автор писал про два внутренних узла (? - их вроде как 4?), треугольник (???) и звезду (?????)<hr></blockquote>

п-прикалываетесь? [img:9cab53dd84]images/smiles/icon_wink.gif[/img:9cab53dd84] ок, для любой из этих "2-х квадратных схем": две цепочки резисторов (2R+R) сразу рассматриваем как 3R - остаются 2 внутренних узла на общей стороне 2-х треугольников - каннибализируем любой из них (треугольников) в звезду, получившaяся cxeмa - сперматозоид (вы бы cказaли... "квадрат с хвостом"?) уже решается в лоб.

[ 25-01-2002: Message edited by: Drom ]

Joker · Post by **Joker** » 26 Jan 2002 07:23

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Drom:
[i:907250b859]п-прикалываетесь? [img:907250b859]images/smiles/icon_wink.gif[/img:907250b859] [/i:907250b859]<hr></blockquote>Нет, просто отупел окончательно к вечеру [img:907250b859]images/smiles/icon_smile.gif[/img:907250b859]
Все равно, очень некрасиво и слишком сложно... имхо...

flip_flop · Post by **flip_flop** » 26 Jan 2002 07:45

Сорри, проблемы с арифметикой - конечно 5/6 (решал забавную задачку на митинге, мешали коллеги). Джокер, Ваше решение конечно проще, просто надо рисовать куб, учитывать симметрию и считать число граней между еквипотенциальными точками. Можно предложить компромисс (хе-хе, если Вы не против) - сводим не все еквипотенциали в одну точку, а вначале по горизонтальным граням (получаем "восьмерку" на плоскости с сопротивлениями R, R/2) а затем еще две пары еквипотенциалей по диагоналям квадратов, получаем все те же R/3+R/6+R/3=5/6R . Что еще раз демонстрирует гомоморфизм между математикой и теорией цепей. Известный всем Киргофф в позапрошлом веке показал связь между решением систем линейных уравнений и редукцией резистивных цепей. Что проще, решать каждому по вкусу. Я так понял, понятия звезды и треугольника Вам не знакомы, Вы наверное физик-теоретик? Сорри еще раз.
Cheers

Joker · Post by **Joker** » 26 Jan 2002 07:48

Вы попали в точку [img:83e6d651a6]images/smiles/icon_smile.gif[/img:83e6d651a6] [img:83e6d651a6]images/smiles/icon_smile.gif[/img:83e6d651a6] [img:83e6d651a6]images/smiles/icon_smile.gif[/img:83e6d651a6]

AK70 · Post by **AK70** » 26 Jan 2002 09:06

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
Для аналитических вычислений существует специальный пакет — Mathematica... намного лучше всех этих распространенных средств - Матлаба и Маткада. Имхо, разумеется.<hr></blockquote>

Matlab integrates Maple. Maple is as powerful as Matematica. I personally like Maple.