Вариационное исчисление - need help, please!

[Иоп]

Вот такая штука: когда уравнение Эйлера-Лагранжа выводится из

варьированием f(x) с помощью добавления εη(x), дифференцируемой функции, такой, что η(a)=η(b)=0 -- то я все понимаю.

Но, когда варьирование производится в соответствии с нижеследующими уравнениями, я теряюсь


этот значек дельты ("вариант"?)-- откуда берутся правила для раскрытия выражений, стоящим под этим значком? Почему берется производная и помножается на "вариант" аргумента функционала? Является ли это упрощенной записью того, что варьируется с помощью εη(x) в первом уравнении, или же эти правила для раскрытия выражений под значком дельты можно вывести как-то по-другому?

[Hamster]

L это функция многих переменных ( если рассматривать q и \dot{q} как независимые переменные ), правила для раскрытия выражения это просто стандартные правила дифференцирования.

L = L(a,b)

\delta L = (\partial L / \partial a) \delta a + (\partial L / \partial b) \delta b[/list]

[Иоп]

L это функция многих переменных ( если рассматривать q и \dot{q} как независимые переменные ), правила для раскрытия выражения это просто стандартные правила дифференцирования.

Но ведь эта дельта вовсе не дифференциал, разве нет?

[Hamster]

на практике это то же самое.

[Alex Klishko]

Но ведь эта дельта вовсе не дифференциал, разве нет?

Если я правильно понимаю, дельта отличается от дифференциала, тем что дифференциал это бесконечно малая дельта.

Правила дифференирования, насколько я помню, выводились из соотношений с тами дельтами, а потом брали предел и получали производные.

[Dimchik]

Дельта и дифференциал - не одно и то же. Разница между обычным и вариационным дифференцированием в том, что первое - конечномерное, в второе - бесконечномерное. Проще всего понять свять дискретизуя, скажем, время, как в вашем примере с функцией Лагранжа. Если разбить промежуток времени на N частей, то последняя есть просто функция N переменных q(t_i), iE(1,N), и к ней применимы все операции обычного дифференцирования. Т.е. "нулевость" вариации, например, означает исчезновение всех частных производных. Затем, от дифференцирования функции, зависящей от конечномерного вектора q_i нужно перейти к бесконечномерному вектору, который записан в базисе дельта функций Дирака \delta(t-t'), т.е. означает вариацию значения q(t) в каждой точке t. Отсюда и следует правило функционального диффенцирования \delta F/\delta q(x) =\lim_{e->0}(F[x+e\delta(x-x')]-F[x])/e. Квадратные скобки означают функционал, а е не означает ни основание натурального логрифма, ни заряд электрона.

[Иоп]

Дельта и дифференциал - не одно и то же. Разница между обычным и вариационным дифференцированием в том, что первое - конечномерное, в второе - бесконечномерное. Проще всего понять свять дискретизуя, скажем, время, как в вашем примере с функцией Лагранжа. Если разбить промежуток времени на N частей, то последняя есть просто функция N переменных q(t_i), iE(1,N), и к ней применимы все операции обычного дифференцирования. Т.е. "нулевость" вариации, например, означает исчезновение всех частных производных. Затем, от дифференцирования функции, зависящей от конечномерного вектора q_i нужно перейти к бесконечномерному вектору, который записан в базисе дельта функций Дирака \delta(t-t'), т.е. означает вариацию значения q(t) в каждой точке t. Отсюда и следует правило функционального диффенцирования \delta F/\delta q(x) =\lim_{e->0}(F[x+e\delta(x-x')]-F[x])/e. Квадратные скобки означают функционал, а е не означает ни основание натурального логрифма, ни заряд электрона.

Ну Вы и написали! Моего образовния не хватает, чтобы понять, но буду разбираться потихоньку... Может, порекомендуете литературку для "новичков"?

Спасибо всем участникам темы!

P.S. Alex Klishko, я думаю, Вы имели в виду заглавную дельту (/\), которая называется приращением -- здесь же речь о другой дельте.

[Dimchik]

... Может, порекомендуете литературку для "новичков"?

По-моему, была в серии книг с интегралом на обложке книга Эльсгольца по дифф. и вариац. исчислению. Но можно заглянуть в какой-нибудь учебник по теории поля, если нужно кратко, с упоминанием слова "поле" и использованием дельта-функции.

[Ворона]

http://mathworld.wolfram.com/Euler-Lagr ... ation.html
http://eom.springer.de/v/v096100.htm