Тень

[venco]

Задача про периметр и диаметр была прелюдией к другой, т.к. я пока не знаю как к ней подступиться.

Итак, теперь у нас есть выпуклое трёхмерное тело. Надо доказать, что найдётся такое положение тела, при котором тень от бесконечного источника света на перпендикулярной свету плоскости будет иметь площадь как минимум четверть площади поверхности тела.

[Polar Cossack]

Запутал.

[venco]

Я, кажется, придумал, как доказать. Причём без интегралов, на пальцах.

[Alex_L]

тень от бесконечного источника света на перпендикулярной свету плоскости

????????????????

[Polar Cossack]

тень от бесконечного источника света на перпендикулярной свету плоскости

????????????????

Я тоже засомневался, потом решил, что это бесконечно удаленный, но точечный или нет?

[venco]

тень от бесконечного источника света на перпендикулярной свету плоскости

????????????????

Я тоже засомневался, потом решил, что это бесконечно удаленный, но точечный или нет?

Источник света - бесконечно удалённый и точечный.
Плоскость - перпендикулярна направлению на источник.
Тень - на плоскости.

[rGlory]

По идее шар имеет наибольшую площадь тени из минимально возможных, для всех возможных трехмерных тел заданной площади поверхности. Я не прав? Если прав, то осталось посчитать это соотношение для шара.

[venco]

По идее шар имеет наибольшую площадь тени из минимально возможных. Я не прав? Если прав, то осталось посчитать это соотношение для шара.

Не совсем понятно, что есть "наибольшая площадь тени из минимально возможных". Наибольшая минимальная тень? Если да, то как от неё перейти к наименьшей максимальной тени? Насколько я помню, в школе нам говорили только то, что шар - тело максимального объёма при заданной площади поверности.

[rGlory]

По идее шар имеет наибольшую площадь тени из минимально возможных. Я не прав? Если прав, то осталось посчитать это соотношение для шара.

Не совсем понятно, что есть "наибольшая площадь тени из минимально возможных". Наибольшая минимальная тень? Если да, то как от неё перейти к наименьшей максимальной тени? Насколько я помню, в школе нам говорили только то, что шар - тело максимального объёма при заданной площади поверности.

Я имел в виду, что если сравнивать множество трехмерных выпуклых объектов заданной площади поверхности и определять минимально возможную площадь тени, то для шара это значение будет максимальным. Я не говорил, что так есть, просто я думаю, что это так. Поясню почему. Если взять шар и начать вытягивать его в одном направлении, то его диаметр должен уменьшится (чтобы сохранить площадь поверхности). Так, как шар можно повернуть так, чтобы данная выпуклость тени не отбрасывала, то минимальная тень будет просто окружностью того самого, уменьшенного диаметра. То есть, чтобы сохранить максимальную площадь тени, нужно "тянуть" во все стороны одновременно. Или не "тянуть" никуда.

[venco]

Так ведь спрашивается не о минимальной, а о максимальной тени.
Т.е. максимальная тень будет всегда >= 1/4 от поверхности.

[rGlory]

Опля не понял до конца условие. Хотя со мной это часто...

[PavelM]

чисто на пальцах

S1 - площадь тени
S2 - площадь поверхности
D - диаметр тени, он же диаметр тела

S1 <= pi * D^2 / 4
S2 <= pi * D^2

т.о.

S2 / pi <= D^2
S1 <= pi * D^2 / 4 <= S2 / 4

[IvanGrozniy]

Задача про периметр и диаметр была прелюдией к другой, т.к. я пока не знаю как к ней подступиться.

Итак, теперь у нас есть выпуклое трёхмерное тело. Надо доказать, что найдётся такое положение тела, при котором тень от бесконечного источника света на перпендикулярной свету плоскости будет иметь площадь как минимум четверть площади поверхности тела.

Сдаётся мне, что здесь плясать надо, не от шара (маскимальной площади), а от пирамиды (минимальной площади). Пирамида имеет минимальное количество вершин для выпуклой фигуры. Также сдается мне, что эта фигура обладает минимальной площадью поверхности при заданном диаметре вписывания в шар.
Докажите, что соотношение площади проекции правильной пирамиды, к площади самой пирамиды будет минимальной из всех неправильных пирамид.
А дальше дело в шляпе

[vm__]

Пирамида имеет минимальное количество вершин для выпуклой фигуры.

Это в смысле тетраэдр, "треугольное молоко"? Или египетская, с квадратом в основании? Или которая Алан Парсон?

[IvanGrozniy]

Пирамида имеет минимальное количество вершин для выпуклой фигуры.

Это в смысле тетраэдр, "треугольное молоко"? Или египетская, с квадратом в основании? Или которая Алан Парсон?

Я такие умные слова уже и не помню Я имел ввиду тетраэдр.
Причем сторону a надо растягивать до бесконечности и крутить чертов тетраэдр

[venco]

Итак, доказательство.

Идея в том, что оказывается, что отношение площади тени, усреднённой по всем направлениям (=T), к площади поверхности (=S) - одинаково для всех выпуклых тел.

Сначала рассмотрим плоские равносторонние треугольники. Очевидно, что для всех их размеров отношение T/S - одинаково, т.е. T = C*S.

Теперь рассмотрим произвольные треугольники. Их можно представить с любой точностью в виде суммы неперекрывающихся равносторонних треугольников. У такой суммы T будет суммой T всех составляющих её равносторонних треугольников, аналогично и S. Т.е. для произвольного треугольника также T = C*S.

Теперь перейдём к выпуклому телу. Разобъём его поверхность на треугольники. Мы это опять таки можем сделать с любой точностью. Теперь заметим, что тень всего тела покрыта тенями составляющих его поверхность треугольников 2 раза - от освещённой и затенённой сторон (вот это верно только для выпуклых тел). Т.е. T = 2*Sum(Ti) = 2*C*Sum(Si). С другой стороны, площадь поверхности тела в два раза меньше суммы площадей поверхностей треугольников, т.к. внутренняя сторона треугольника равна внешней. Т.е. опять получается, что для всего тела T = C*S.

Теперь, рассмотрев шар, можно вычислить C = (Pi*R^2) / (4*Pi*R^2) = 1/4.

Т.е. для любого выпуклого тела средняя площадь тени равна четверти площади поверхности. А из этого следует, что максимум площади тени >= четверти площади поверхности.

QED.

Аналогично доказывается двумерный случай W >= S/Pi, да и вообще для любого измерения.

[IvanGrozniy]

Идея в том, что оказывается, что отношение площади тени, усреднённой по всем направлениям (=T), к площади поверхности (=S) - одинаково для всех выпуклых тел.

Осталось только дать определение, что такое площадь тени,усредненной по всем направлениям.

[IvanGrozniy]

С другой стороны, площадь поверхности тела в два раза меньше суммы площадей поверхностей треугольников, т.к. внутренняя сторона треугольника равна внешней.

А по-моему, сумма площадей треугольников на теле и площадь тела равны.

[venco]

Идея в том, что оказывается, что отношение площади тени, усреднённой по всем направлениям (=T), к площади поверхности (=S) - одинаково для всех выпуклых тел.

Осталось только дать определение, что такое площадь тени,усредненной по всем направлениям.

Интеграл по сферическому углу делённый на 4Pi.

[venco]

С другой стороны, площадь поверхности тела в два раза меньше суммы площадей поверхностей треугольников, т.к. внутренняя сторона треугольника равна внешней.

А по-моему, сумма площадей треугольников на теле и площадь тела равны.

Мы рассматриваем 3D тела, соответственно у треугольников - две стороны.

[PavelM]

Итак, доказательство.

Я рассуждал таким образом:

1. Расположим тело относительно источника так, чтобы его диаметр совпадал с диаметром тени.
2. Тень будет выпуклым многоугольником с площадью менее pi * D^2 / 4 (см. предыдущую задачу)
3. Смело предполагая, что площадь поверхности тела (по аналогии - мы же на пальцах решаем? ) не превышает pi * D^2, получаем, что площадь тени составляет не менее 1/4 площади поверхности.

P.S Смелое предположение в п.2 нужно бы, конечно, строго доказать

[IvanGrozniy]

Мы рассматриваем 3D тела, соответственно у треугольников - две стороны.

Я понял, что вы имели ввиду. Наши профессора-математики расстреливать были готовы за такое утверждение
Во-первых, треугольник - это плоская фигура
Во-вторых, у треугольника три стороны.
С математической точки зрения, доказательство не представляет ценности. Но может быть вам и не нужна математическая точка зрения

[venco]

2. Тень будет выпуклым многоугольником с площадью менее pi * D^2 / 4 (см. предыдущую задачу)
3. Смело предполагая, что площадь поверхности тела (по аналогии - мы же на пальцах решаем? ) не превышает pi * D^2, получаем, что площадь тени составляет не менее 1/4 площади поверхности.

Даже если вы докажете 2 и 3, из T <= piD^2/4 и S <= piD^2 не следует T >= S/4.

[venco]

Мы рассматриваем 3D тела, соответственно у треугольников - две стороны.

Я понял, что вы имели ввиду. Наши профессора-математики расстреливать были готовы за такое утверждение
Во-первых, треугольник - это плоская фигура
Во-вторых, у треугольника три стороны.
С математической точки зрения, доказательство не представляет ценности. Но может быть вам и не нужна математическая точка зрения

Если вам не нравится терминология, замените в моём доказательстве везде слово "треугольник" словами "треугольная призма бесконечно малой толщины".
Чтобы доказательство стало математически точным, надо будет доказать возможность триангуляции с любой точностью, и записать все формулы в виде пределов. Получится гораздо длиннее, но результат будет тем же.

[IvanGrozniy]

Мне вот это допущение не нравится

Идея в том, что оказывается, что отношение площади тени, усреднённой по всем направлениям (=T), к площади поверхности (=S) - одинаково для всех выпуклых тел.

Не помню такой аксиомы. Также не встречал такой теоремы. Как-то не правдоподобно звучит без доказательства. Если это докажите, то вопросов будет гораздо меньше с моей стороны.