Квадраты на четырёхугольнике

[venco]

Если взять произвольный четырёхугольник и построить на всех сторонах квадраты, то расстояние между центрами противоположных квадратов будет одинаковым. Более того, прямые, их соединяющие, пересекаются под прямым углом.
Правда, прикольно?

[Deynekin]

-Ух, ты, здорово! Ещё не знаю, как это показать, но уже сразу видно интересное следствие для треугольника, если его рассматривать, как четырехугольник с ужатой в нуль одной из сторон...

Вообще, геометрия, при всей своей древности, воистину неисчерпаема. Так, я недавно набрёл на упоминания о двух теоремах, как будто бы, известных уже лет двести:

1. Каждое построение на плоскости, которое можно построить циркулем и линейкой, можно построить только одной линейкой, если на этой плоскости задана к-л окружность, и указан её центр.

2. Всё, что можно построить циркулем и линейкой, можно построить одним только циркулем. (От себя: неужели и это правда?)

[venco]

-Ух, ты, здорово! Ещё не знаю, как это показать

На самом деле доказательство простое, если правильно подойти.
Когда решите, заметите сходство с другой задачей, уже обсуждённой здесь.

[olg2002]

Пусть A,B,C,D - вектора вершин четырехугольника. R(X) - оператор поворота вектора X на плоскости на прямой угол против часовой стрелки. Для этого оператора выполняются: R(aX+bY)=aR(X)+bR(Y) и R(R(X))=-X.
Обозначим центры квадратов векторами O1,O2,O3,O4. Легко видеть, что:
O1=(A+B)/2+R((B-A)/2)
O2=(B+C)/2+R((C-B)/2)
O3=(C+D)/2+R((D-C)/2)
O4=(D+A)/2+R((A-D)/2)

O3-O1=(C+D)/2+R((D-C)/2)-(A+B)/2-R((B-A)/2)=(C+D-A-B)/2+R(D+A-B-C)/2
O4-O2=(D+A)/2+R((A-D)/2)-(B+C)/2-R((C-B)/2)=(D+A-B-C)/2+R(A+B-C-D)/2

R(O4-O2)=R(D+A-B-C)/2+(C+D-A-B)=O3-O1
То есть вектора O4-O2 и O3-O1 перпендикулярны и их длины равны.

[venco]

А сходство здесь с задачей построения квадрата по четырём точкам на сторонах.

[olg2002]

После пяти минут размышлений так и не увидел сходства. Или подразумевалось сходство внешнее (четырехугольники, перпендикуляры )?

[venco]

Мда, за давностью уже подзабыл, что там было.
Сходство только в том, что и там и там есть два равных перпендикулярных отрезка.