Fair game

venco · Post by **venco** » 07 Sep 2006 18:15

Ваш приятель предлагает сыграть в такую игру.
Вы оба ставите на кон по рублю. Затем вы выбираете себе последовательность из трёх исходов броска монеты, например, орёл-орёл-решка. Затем приятель тоже выбирает себе какую-нибудь другую последовательность из 3 исходов.
После этого вы бросаете одну монету пока три последних броска не совпадут с вашим или приятельским вариантом. Чей вариант выпал, тот и забирает деньги.
Стоит ли соглашаться на такую игру?

KP580BE51 · Post by **KP580BE51** » 07 Sep 2006 18:29

venco wrote:Стоит ли соглашаться на такую игру?

Да. Если делать нефиг.

Prist · Post by **Prist** » 07 Sep 2006 19:22

Приятель тогда может выбрать серию, заканчивающуюся на -орёл-орёл. И в половине случаев выпадания в последовательности двух орлов для него это будет уже выигрыш и конец игры, а в другой половине случаев ваши шансы только 50-50. Я бы не стал так играть.

venco · Post by **venco** » 07 Sep 2006 19:27

Вы тоже можете выбрать любую комбинацию...

PavelM · Post by **PavelM** » 07 Sep 2006 20:12

поскольку выбор не скрывается, второй игрок имеет преимущество как уже сказали выше

venco · Post by **venco** » 07 Sep 2006 20:45

Хорошо, тогда со стороны приятеля, что ему надо выбирать, и с какой вероятностью он при этом выиграет?

rGlory · Post by **rGlory** » 07 Sep 2006 22:30

Чем это отличается от игры с одним броском монеты? Длительностью игры? Те же 50/50 Или я не понял условие, или это какой-то розыгрыш?

venco · Post by **venco** » 07 Sep 2006 23:19

Никакого розыгрыша. Обычная задача на вероятности с не совсем очевидным результатом.

Quintanar · Post by **Quintanar** » 08 Sep 2006 11:19

Так ответ зависит от выбора первого игрока. В части случаев можно выбрать себе последовательность так, что вероятность выигрыша будет 7/8 (при РРР выбрать ОРР, например), в части 3/4 (при РРО выбрать ОРР), и в остальных - 2/3 (при ОРР выбрать ООР).
Это можно вычислить посмотрев на граф переходов между состояниями. Поскольку нас интересуют только два предыдущих хода, то состояний 4 - РР, РО, ОР, ОО. В каждом из них мы первоначально оказываемся с вероятностью 1/4. В другое переходим с вероятностью 1/2. Для случая РРР мы видим, что можем легко изолировать вражеское состояние оборвав ведущий в него путь, поэтому вероятность выигрыша у него всего 1/8. РРО тоже можно изолировать, но там нет исходящих путей, поэтому вероятность у противника выше в два раза - 1/4. Другие случаи сложнее, там надо высчитывать вероятности для нескольких возможных вариантов. Но про большинство из них сразу можно сказать, что они невыгодны.

venco · Post by **venco** » 08 Sep 2006 12:46

Поздравляю всех с правильным и полным решением.
Надеюсь те, кто думал, что эта игра эквивалентна броску одной монеты, всё поняли.
:wink:

rGlory · Post by **rGlory** » 08 Sep 2006 16:22

venco wrote:Поздравляю всех с правильным и полным решением.
Надеюсь те, кто думал, что эта игра эквивалентна броску одной монеты, всё поняли.

Я понял насчет PPP. А если я выберу РОР, то я проиграю?

venco · Post by **venco** » 08 Sep 2006 16:36

Это самый простой вариант.
Если вы выбрали РРР, а приятель - ОРР, то вы выиграете только если сразу выпадет РРР. Иначе, перед самой первой последовательностью РРР будет О, т.е. ОРР выпадет раньше. В результате вероятность вашего выигрыша - 1/8.
Аналогично если вы выберете ООО, а приятель - РОО.
Для других комбинаций чуть сложнее, но приятель всегда в выигрыше.
Наилучший для вас выбор - ОРО, ОРР, РОО, РОР. При этом приятель будет выигрывать с вероятностью 2/3.

rGlory · Post by **rGlory** » 08 Sep 2006 17:01

Что выберет приятель, если я выберу РОР?

venco · Post by **venco** » 08 Sep 2006 17:08

РОР -> РРО

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 08 Sep 2006 17:12

venco wrote:Для других комбинаций чуть сложнее, но приятель всегда в выигрыше.

venco, для полного решения нужно построить таблицы комбинаций "я - игрок" и просчитать для каждой из пары вероятности (чте мне делать откровенно лень

) но разве здесь не должно быть симметрии? т.е. если есть комбинация невыгодная для вас, при выборе ее приятелем, она станет невыгодной для него?

rGlory · Post by **rGlory** » 08 Sep 2006 17:14

Понятно, век живи, век учись :great:

venco · Post by **venco** » 08 Sep 2006 17:33

Flash-04 wrote:т.е. если есть комбинация невыгодная для вас, при выборе ее приятелем, она станет невыгодной для него?

В том то и дело, что симметрии нет.
Вот все варианты, ваш выбор, выбор приятеля, и вероятность его выигрыша:

Code: Select all

ООО РОО 7/8
ООР РОО 3/4
ОРО ООР 2/3
ОРР ООР 2/3
РОО РРО 2/3
РОР РРО 2/3
РРО ОРР 3/4
РРР ОРР 7/8

venco · Post by **venco** » 08 Sep 2006 17:36

Можно заметить, что есть цикл, в котором каждая следующая комбинация побеждает предыдущую:

ООР -> РОО -> РРО -> ОРР -> ООР

rGlory · Post by **rGlory** » 08 Sep 2006 18:13

Насколько я понял можно сформулировать по другому - в любую двухбуквенную комбинацию есть два перехода. Одна из комбинаций, имеющая переход в данную, перехода из нее не имеет. Ее и нужно выбирать, а сам переход это третья буква.

То есть если первый выбрал РОР, это РО с переходом Р. В РО можно попасть из двух состояний: РР с переходом О и ОР с переходом О. ОР сама зависит от РО, поэтому выбираем РР->О

rGlory · Post by **rGlory** » 08 Sep 2006 21:03

Я тут програмку накидал для проверки, на слово я все равно не поверил :wink:

Code: Select all

#include <iostream>
#include <deque>


int main()
{
   const int tries = 100000;

   std::deque<bool> p1( 3 ), p2( 3 );

   p1[0] = true; p1[ 1 ] = true; p1[ 2 ] = false;
   p2[0] = true; p2[ 1 ] = true; p2[ 2 ] = true;

   srandom( time(0) );
   int win1 = 0, win2 = 0;
   for( int i = 0; i < tries; ++i ) {

      std::deque<bool> shoot;
      while( true ) {
         shoot.push_back( random() % 2 );
         if( shoot.size() < 3 ) continue;

         if( p1 == shoot ) {
            win1++;
            break;
         }

         if( p2 == shoot ) {
            win2++;
            break;
         }

         shoot.pop_front();
      }
   }
   std::cout << "p1 wins: " << win1 << " p2 wins: " << win2 << std::endl;
}

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 08 Sep 2006 21:11

venco wrote:В том то и дело, что симметрии нет.

еще раз посмотрел условие, приятель выбирает комбинацию после, т.е. зная что у вас. Тогда конечно симметрии нет.
Более того, можно тогда не анализировать игру, и исходя из предположения что есть неравноправные комбинации, сразу сделать вывод, что приятель как минимум будет иметь шансы не мешьше ваших.

AndreyT · Post by **AndreyT** » 08 Sep 2006 21:52

Flash-04 wrote:
venco wrote:В том то и дело, что симметрии нет.

еще раз посмотрел условие, приятель выбирает комбинацию после, т.е. зная что у вас. Тогда конечно симметрии нет.
Более того, можно тогда не анализировать игру, и исходя из предположения что есть неравноправные комбинации, сразу сделать вывод, что приятель как минимум будет иметь шансы не мешьше ваших.

Откуда можно сделать такой вывод, не проводя анализа игры? Без анализа игры, как можно быть уверенным, что не существует строго выигрышной комбинации, т.е. комбинации, которая "побеждает" любую другую с точки зрения вероятности? Тогда, если приятель не имеет возможности отказаться от участия в игре после вашего выбора, его шансы не обязательно не меньше ваших.

Flash-04 · Post by **Flash-04** » 08 Sep 2006 22:11

AndreyT wrote:Откуда можно сделать такой вывод, не проводя анализа игры?

достаточно показать что есть хотя бы одна такая пара комбинаций, когда ваш приятель получает преимущество. дальнейший анализ проводить не нужно.

venco · Post by **venco** » 08 Sep 2006 23:52

Не достаточно.
Надо показать, что для любого вашего выбора у приятеля найдётся лучший ответ.

vm__ · Post by **vm__** » 09 Sep 2006 06:58

venco wrote: Надо показать, что для любого вашего выбора у приятеля найдётся лучший ответ.

"Если друг оказался вдруг,
И не друг, и не враг - а так...."
Нафик такого приятеля! Он еще в МММ сагитирует... :mrgreen:

Привет

Fair game

Fair game

Re: Fair game