Вероятность значений поля

[olg2002]

Я думаю, уже давно понятно, что Вы имели ввиду. Все согласны, что площадь зависит только от метрики. Вы предлагаете измерять площадь методом Монте-Карло, используя "равномерное" распределение по координатам в некоторой системе координат. Тем самым Вы неявно вводите зависимость между системой координат и метрикой. После этого заявляете:

Можно, например, вычислять площать интегрированием в прямоугольных кординатах, можно - в полярных, а можно в эдаких "периферийных полярных" с полюсом на границе области (джентельменский набор из парадокса Бертрана). Каждый раз получится свое значение площади.

Спор продолжается только потому, что Вы не можете понять, почему Вас не смогли понять сразу, когда Вам все было так очевидно. Телепатическими способностями никто не обладает и догадаться о том, что Вы думали об измерении площади Вашим вариантом метода Монте-Карло, никто не был в состоянии.

[AndreyT]

Как правило неподготовленный читатель сразу заявляет, что во втором случае распределение случайных точек по поверхности земного шара "очевидно" не является равномерным.

А подготовленный читатель скажет, что и в первом случае распределение не является равномерным. В той метрике, в которой мы хотим посчитать площадь России.

Такое заявление подразумевает то, что конкретная метрика является частью постановки задачи. Эта же дискуссия, смею напомнить, возымела место именно потому, что в постановке задачи метрика определена не была.

Например, можно стрелять в малой окрестности Москвы (ну так получилось). Такое распределение тоже будет равномерным в специально подобраной метрике.

Нет. Определение метрики требует, чтобы расстояние между двумя различными точками было ненулевым. Из этого следует, что любая невырожденная область на поверхности шара должна обладать ненулевой площадью. А из определения равномерного распределения следует, что вероятность попадания в область ненулевой площади строго выше нуля. Действительно можно подобрать метрику, которая будет сильно "сгущать" точки в окрестности Москвы, но полностью исключить попадание точек за пределы России все равно будет невозможно..

В этой метрике площадь России будет равна площади земного шара. Вас устроит такой результат?

Учитывая вышесказанное, такой результат будет означать только то, что для даннной метрики количество проведенных случайных "выстрелов" было совершено недостаточным для того, чтобы получить осмысленный результат методом Монте-Карло.

[AndreyT]

Спор продолжается только потому, что Вы не можете понять, почему Вас не смогли понять сразу, когда Вам все было так очевидно. Телепатическими способностями никто не обладает...

Телепатические способности тут ни при чем. Я не делал детального описания просто потому, что все прекрасно детально описано в описании пресловутого парадокса Бертрана, явно упомянутого в моем первом сообщении и затем еще столько раз, что мне самому уже тошно.

... и догадаться о том, что Вы думали об измерении площади Вашим вариантом метода Монте-Карло, никто не был в состоянии.

Измерение площади методом Монте-Карло изначально было, вообще -то, второстепенным пояснительным примером. Я о нем не думал.