Про геометрию

kostia00 · Post by **kostia00** » 26 Mar 2006 04:37

Музыкой навеяло:

На окружность случайно бросается N точек (распределение равномерное), где N >= 5. Точки соединяются в выпуклый N-угольник. Найти вероятность того, что все углы полученного многоугольника - тупые.

amicable · Post by **amicable** » 26 Mar 2006 07:06

(вероятность того, что все углы полученного многоугольника тупые) = 1 - (вероятность того, что хотя бы один угол острый)

Вероятность что выбранный угол меньше 90 равна 1/2.
Шанс что остальные точки находятся на дуге противоположенной выбранному углу:

Integral [ (x/180)^(N-3) , { x, 0 , 90} ] / 90

Число возможных острых углов: N

вероятности умножаются,

Упрощаются к N*(2^(2-N)) / (N-2)

Ответ: 1 - N*(2^(2-N)) / (N-2)

venco · Post by **venco** » 26 Mar 2006 16:27

amicable wrote:Вероятность что выбранный угол меньше 90 равна 1/2.

Почему?

amicable · Post by **amicable** » 26 Mar 2006 20:15

На данную окружностьс лучайно бросаются три точки А В и С. Вероятность того что угол АВС меньше 90 равна 1/2, разве не так?

venco · Post by **venco** » 27 Mar 2006 01:19

amicable wrote:На данную окружностьс лучайно бросаются три точки А В и С. Вероятность того что угол АВС меньше 90 равна 1/2, разве не так?

Это не так даже для 3-х точек, не говоря уж о >=5.
Для трёх точек можно легко проинтегрировать.

Deynekin · Post by **Deynekin** » 27 Mar 2006 21:41

Ситуация "все углы тупые" противоположна случаю "хотя бы один угол острый" (cлучай прямого угла, как разграничивающего острые углы от тупых, особо не рассматривается, т.к. его вероятность на фоне остальных равна нулю). Следовательно, если найти вероятность Р2 второго случая, то найдётся и для первого как (1 - Р2).

Теперь заметим, что вписанный в окружность выпуклый N-угольник при N>3 может иметь не более одного острого угла. Теперь (опуская очевидности) вторая задача свелась к такой: найти вероятность того, что все точки кроме одной лежат в пределах одной полуокружности. - Дальше уже несложно...

PS Случай N=3 рассматривать не нужно, т.к. треугольников, у которых "все углы тупые", не бывает; т.е. задача осмысленно "начинается" с N=4.

kostia00 · Post by **kostia00** » 28 Mar 2006 05:21

Deynekin wrote:найти вероятность того, что все точки кроме одной лежат в пределах одной полуокружности. - Дальше уже несложно...

Первый шаг - правильный, но дальше как раз самое интересное.

venco · Post by **venco** » 28 Mar 2006 06:19

Deynekin wrote:Теперь заметим, что вписанный в окружность выпуклый N-угольник при N>3 может иметь не более одного острого угла.

Это не так.
Есть ещё вариант - два острых угла рядом.
Например, у пятиугольника с координатами вершин (-4,-3) (4,-3) (3,4) (0,5) (-3,4) два первых угла - острые.

Deynekin · Post by **Deynekin** » 28 Mar 2006 21:38

venco wrote:
Deynekin wrote:Теперь заметим, что вписанный в окружность выпуклый N-угольник при N>3 может иметь не более одного острого угла.

Это не так.
Есть ещё вариант - два острых угла рядом.
Например, у пятиугольника с координатами вершин (-4,-3) (4,-3) (3,4) (0,5) (-3,4) два первых угла - острые.

-O-o-ops! А ведь и впраду... А как красиво-то начиналось. Хм. :oops:

venco · Post by **venco** » 03 Apr 2006 15:43

Я тут на досуге вернулся к этой задаче и вот что у меня получилось.

Пусть P1 - вероятность того, что один конкретный угол - острый, а P2 - вероятность, что два конкретных угла острые.
Тогда по "inclusion-exclusion" принципу вероятность того, что все углы - тупые:

P = 1 - N * P1 + N(N-1)/2 * P2.

Теперь можно посчитать эти вероятности путём не очень сложного интегрирования:

P1 = N / 2^(N-1), P2 = 1 / (N-1) / 2^(N-3).

Подставляя, получим:

P = 1 - N(N-2)/2^(N-1).

Для первых N это будет:

4: 0
5: 1/16
6: 1/4

Prist · Post by **Prist** » 03 Apr 2006 17:31

Представьте себе правильный треугольник, у которого каждая сторона немного "надломлена" наружу. Имеем выпуклый шестиугольник с тремя острыми углами.

KirAleks · Post by **KirAleks** » 03 Apr 2006 19:57

Prist wrote:Представьте себе правильный треугольник, у которого каждая сторона немного "надломлена" наружу. Имеем выпуклый шестиугольник с тремя острыми углами.

Да, но его тогда не впишешь в окружность, чтобы сохранились острые углы -> Отпадает, ИМХО... :no: