Альпинист и ледяная гора

[Dimchik]

Вот такая задачка (спасибо Д.Е. Хмельницкому):

Альпинист лезет на гору, которая есть ледяной конус. У альпиниста есть веревка с петлей на конце, которую он набрасывает на вершину конуса (я думаю ситуация ясна). Узел петли НЕ скользит по веревке, т.е. длина петли постоянна.

Вопрос: при каких углах раствора конуса альпинист сможет залезть на гору (т.е. веревка не соскользнет).

[cityzen]

Вот такая задачка (спасибо Д.Е. Хмельницкому):

Альпинист лезет на гору, которая есть ледяной конус. У альпиниста есть веревка с петлей на конце, которую он набрасывает на вершину конуса (я думаю ситуация ясна). Узел петли НЕ скользит по веревке, т.е. длина петли постоянна.

Вопрос: при каких углах раствора конуса альпинист сможет залезть на гору (т.е. веревка не соскользнет).

При меньших 90?

[Dimchik]

[quote="cityzen" При меньших 90?[/quote]

неа...

[venco]

Вопрос: при каких углах раствора конуса альпинист сможет залезть на гору (т.е. веревка не соскользнет).

<60 градусов.

[Dimchik]

Прально. Рассуждения?

[venco]

Прально. Рассуждения?

Верёвка должна стать прямой на развёртке.
Т.е. развёртка должна иметь угол <90.
Сворачиваем и получаем, что диаметр основания меньше длины боковины (не знаю как это называется), т.е. треугольник в сечении уже правильного.

[Dimchik]

Рассуждение похожее на правду, и дающее правильный ответ, но есть сомнения. Нельзя немного подробнее? Я не очень понял, про какие 90 градусов идет речь и почему веревка должна быть прямой.

P.S. Боковина, наверно, называется образующей.

[venco]

Поскольку трения нет, натянутая верёвка будет лежать на прямой на поверхности. Если кривизна поверхности нулевая то поверхность можно развернуть на плоскость и при этом прямые останутся прямыми.
Далее разрежем конус по образующей, проходящей через узел, и развернём. Получится некий угол на плоскости. При этом прямая в которую перейдёт петля будет пересекать обе границы этого угла.
Это возможно только если этот угол < 90.
Ну а дальше тривиально.

[SVK]

Это возможно только если этот угол < 90.

По-моему, это успешно проходит вплоть до углов < 180 ???
Или мы говорим про разные углы?

[venco]

Это возможно только если этот угол < 90.

По-моему, это успешно проходит вплоть до углов < 180 ???
Или мы говорим про разные углы?

Ой! Глюк. Конечно 180.
Я именно 180 и имел ввиду. Не знаю, почему написал 90.
Везде, где у меня 90 в этой ветке, заменить на 180.
Остальное оставить без изменений.

[kosmo]

А теперь то же самое, но петля скользит без трения по веревке.

[venco]

А теперь то же самое, но петля скользит без трения по веревке.

Теперь появилось дополнительное условие - верёвки должны сходиться под углами 120 в узле, иначе узел будет будет соскальзывать.

Значит на развёртке верёвка должна выходить под углом 60 от образующей -> угол на развёртке - 60 -> угол в сечении -
2asin(1/6) ~= 19 градусов.

[kosmo]

Верно