Максимальное притяжение

[venco]

Все мы знаем как посчитать ускорение свободного падения на поверхности шара.
Но если не ограничиваться шаром, то можно максимизировать ускорение свободного падения в некоторой точке.
Так вот, насколько этот максимум больше чем у шара?
Масса та же, плотность - константа.

[kosmo]

Все мы знаем как посчитать ускорение свободного падения на поверхности шара.
Но если не ограничиваться шаром, то можно максимизировать ускорение свободного падения в некоторой точке.
Так вот, насколько этот максимум больше чем у шара?
Масса та же, плотность - константа.

Описать форму поверхности довольно легко, а вот интегралы потом посчитать уже не очень. Где ж мои 17 лет ...

[venco]

Описать форму поверхности довольно легко, а вот интегралы потом посчитать уже не очень. Где ж мои 17 лет ...

Ну хорошо, давайте прикинем насколько шар неэффективен, а я потом скажу, кто ближе к правильному результату.
Оценим, так сказать, здравый смысл.

[Tigrius]

Максимально возможное ускорение свободного падения (a_opt) совсем ненамного больше чем ускорение свободного падения, создаваемое шаром (a_ball). Отношение a_opt/a_ball = "корень третьей стеени из 27/25", т.е. a_opt больше чем a_ball приблизительно на 2.6%.

[venco]

Максимально возможное ускорение свободного падения (a_opt) совсем ненамного больше чем ускорение свободного падения, создаваемое шаром (a_ball). Отношение a_opt/a_ball = "корень третьей стеени из 27/25", т.е. a_opt больше чем a_ball приблизительно на 2.6%.

У меня то же получилось. Значит не ошибся.

[Dimchik]

Отцы, как же вы это делали?!
Я нарисовал УСП как функционал от формы поверхности. Решаем уравнения Эйлера-Лагранжа со связью, наложенной постоянной массой. Ничего не получается:) На первый взгляд, по крайней мере, может, там как-то угадать решение можно

[Tigrius]

Я пользуюсь уравнением Эйлера-Лагранжа.

Во-первых, можно считать, что поверхность тела является поверхностью вращения вокруг оси, проходящей через точку, в которой мы максимизируем УСП.

Пусть f(x) задает поверхность вращения; мы хотим максимизировать УСП в начале координат. Тогда (с точностью до константы)

УСП = 2 Pi интеграл от 0 до H от 1 - x / sqrt (f(x)^2 + x^2) dx
V_шара = Pi интеграл от 0 до H от f(x)^2 dx
(H --- константа)

Теперь, решая уравнение Эйлера-Лагранжа, мы получаем
f(x) = sqrt( H^{4/3} x^{2/3} - x^2}

Подставляя f(x) в формулы для УСП и V_шара,
V = 4 Pi/15 H^3
УСП = 4/5 Pi H

[Dimchik]

Значит, я где-то ошибку сделал. Я все делал абсолютно идентично, только в полярных координатах.

[Dimchik]

Да, получилось. Зачем, интересно, мозг делает ошибки? Или он просто тупит?:)

[venco]

Я пользуюсь уравнением Эйлера-Лагранжа.

Ребята, извините, но я уже забыл, что это такое.
Может то, как я решал, и есть это самое.
Я просто проекцию вектора притяжения на ось вращения приравнял константе. Для точек на поверхности.
Это оно?

[Dimchik]

Я пользуюсь уравнением Эйлера-Лагранжа.

Ребята, извините, но я уже забыл, что это такое.
Может то, как я решал, и есть это самое.
Я просто проекцию вектора притяжения на ось вращения приравнял константе. Для точек на поверхности.
Это оно?

Ну как в теормехе из принципа наименьшего действия следуют ур-ния движения в форме Э-Л, так и здесь ищем экстремум "функции Лагранжа". А про проекцию я что-то пока вообще не понял

[Tigrius]

Я пользуюсь уравнением Эйлера-Лагранжа.

Ребята, извините, но я уже забыл, что это такое.
Может то, как я решал, и есть это самое.
Я просто проекцию вектора притяжения на ось вращения приравнял константе. Для точек на поверхности.
Это оно?

Да, в этой задаче это то же самое.

Вот ссылка на описание уравнения Эйлера-Лагранжа:
http://planetmath.org/encyclopedia/Eule ... ation.html

[venco]

А про проекцию я что-то пока вообще не понял

Тело имеет ось симметрии, так что нам важна только проекция сил притяжения на ось симметрии. В перпендикулярной плоскости силы занулятся.
Далее если в какой-то точке поверхности А эта проекция больше чем в другой точке поверхности В, мы можем перенести некоторую массу из В в А и таким образом увеличим суммарный вектор сил притяжения. Значит в оптимальном случае все точки поверхности дают одинаковый вклад в суммарную силу.
Дальше легко получаем f(x) = sqrt(c*x^(2/3)-x^2). Ну и т.д.