Задачки для школьников

ChickenFromMinsk · Post by **ChickenFromMinsk** » 02 Apr 2001 15:53

Господа, я коллекционирую ваши задачки для летнего лагеря для одаренных детей [img:0389f73de9]images/smiles/icon_smile.gif[/img:0389f73de9] Это не будет "Малая Академия", поэтому пытаюсь не включать слишком "продвинутые" задачки. Из тех, что уже были, я предложила организаторам использовать "бочку с 4 выключателями", "посылку без ключа", "12 монеток", "вероятность второго мальчика" и "пиратов" (с конечным числом пиратов). Но мы еще хотим добавить оригинальные задачи по физике... Может, кто-то поделится? Такие, которые не требовали бы сложых вычислений. Например, вот достаточно простая задача: "Бассейн, в нем лодка, в лодке человек и пушечное ядро. Человек выбрасывает ядро в бассейн. Что произойдет с уровнем воды в бассейне?" Также принимаются дополнительные задачке по математике/логике. Подбрасывайте [img:0389f73de9]images/smiles/icon_smile.gif[/img:0389f73de9]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 02 Apr 2001 16:25

Ну вот две самые знаменитые задачи (правда, они знамениты настолько, что американские школьники скорее всего с ними знакомы).

Улитка ползает по столбу высотой 20см. За день она поднимается на 5 см, за ночь - спускается на 3. За сколько дней она доберется до верхушки столба?

В школе 100 локеров, в конце учебного дня они все закрыты. В школе живет 100 привидений, которые развлекаются ночью следующим образом: каждое привидение пролетает по школьному коридору один раз. Сначала летит первое привидение, открывая дверцу каждого локера. Второе, пролетая, закрывает дверцу каждого второго локера. Третье - меняет (если открыта - закрывает, если закрыта - открывает) положение каждой третьей дверцы. И т.д. Сколько открытых локеров обнаружат школьники утром, когда они придут в школу?

По физике попрошу своих детей поискать. А какого возраста дети в лагере?

ChickenFromMinsk · Post by **ChickenFromMinsk** » 02 Apr 2001 16:37

Про улитку была в прошлом году [img:67c997f091]images/smiles/icon_smile.gif[/img:67c997f091] А про локеры мне очень понравилось . Я правильно поняла, что четвертое приведение меняет положение каждой четвертой дверцы и т.д? Кстати, вот задача с прошлого года, которую я пока не решила [img:67c997f091]images/smiles/icon_sad.gif[/img:67c997f091] - найти наименьший квадрат, образованный простыми числами такой, что сумма в каждом ряду, столбце и по диагонали - одна и та же. Да, люди в лагере - от 14 и старше

COPOKA · Post by **COPOKA** » 02 Apr 2001 17:18

Правильно, и т.д. [img:18c4f5e3d3]images/smiles/icon_smile.gif[/img:18c4f5e3d3] Про квадрат: это magic square? То есть квадрат, скажем, 3х3, в каждой клетке - простое число, и все числа - разные? Квадрат из одной клетки, надо думать, отпадает... [img:18c4f5e3d3]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:18c4f5e3d3] Спасибо, предложу детям.

ChickenFromMinsk · Post by **ChickenFromMinsk** » 02 Apr 2001 17:22

Ну да, magic square... Сорока, а в вашей задачке про локеры - ответ - 10? А еще я прихвачу задачку про шарики и небоскреб, особенно Наташин вариант. Как раз в рубрику "Логика" [img:daa62366cc]images/smiles/icon_smile.gif[/img:daa62366cc]

SergeyVZ · Post by **SergeyVZ** » 02 Apr 2001 17:22

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by ChickenFromMinsk:
[i:d3eb43355b] Но мы еще хотим добавить оригинальные задачи по физике... Может, кто-то поделится? [/i:d3eb43355b]<HR></BLOCKQUOTE>

Here is quite simple but interesting problem (see it at "Poexali" forum: http://www.[...auto_moderated...]/ubb/ubbhtml/Forum13/HTML/000235.html ):
[b:d3eb43355b]
Точно в центре круглого пруда в воде находится бобер, а на краю берега стоит волк. Цель бобра - выбраться на берег, цель волка - поймать бобра, но волк бегает только по берегу и в воду не полезет. Найти отношение скорости бобра к скорости волка, при котором бобер уже не сможет спастись. [/b:d3eb43355b]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 03 Apr 2001 19:03

Chicken, да, открытых локеров будет 10 (если в задаче спрашивалось про 100, а не 1000). Как ни странно, не до всех школьников доходит, какие локеры оказались открытыми и почему, даже когда они (школьники) выпишут все эти номера в ряд... [img:e41dc0c401]images/smiles/icon_smile.gif[/img:e41dc0c401]

По поводу физики: в ответ на процитированную задачку про лодку мой ребенок притащил отличную книгу (там и аналогичная задача про тающий айсберг есть). Называется "Thinking Physics", by Lewis Carroll Epstein. Очень рекомендую! Правда, есть шанс, что ваши школьнички с ней знакомы, так что задачки лучше слегка перефразировать.

SergeyVZ · Post by **SergeyVZ** » 05 Apr 2001 00:57

ММЗадачки (мехмат)

Luchina · Post by **Luchina** » 05 Apr 2001 02:59

Я знаю пару отличных приколов 30летней давности (сработает ли с одарёнными детьми?). Обыкновенные люди (я включительно) часто подлавливаются.
Начинаете с условия, что отвечать надо не задумываясь, потому что вопросы очень простые.
1. Растопыриваете перед лицом человека все пальцы и быстро спрашиваете: “Cколько пальцев?” или “Сколько видишь пальцев?”. Если у американца, тогда: “How many fingers and thumbs in total do you see?”. Желательно поскорее получить ответ: “Десять”. Незамедлительно следующий вопрос: “А сколько пальцев (fingers and thumbs in total) на десяти руках?”.

2. Вопрос: “Какими жестами глухонемой человек может попростить ножницы у говорящего человека?”. Ответ: “Руками: так и так.” “Это правильно.”
И сразу второй вопрос: “А как слепой может попросить молоток?”

bee3313 · Post by **bee3313** » 05 Apr 2001 06:39

Задачки по физике:
1) Доказать теорему Пифагора. (подсказка - использовать соображения размерности).
2)Автомобиль трогается с места. Двигатель работает с постоянной мощностью N, масса автомобиля М, коэффициент трения колес с дорогой k. Найти зависимость скорости автомобиля от времени. Трением в механизмах и сопротивлением воздуха пренебречь.
Good Luck [img:d403f5f221]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:d403f5f221]

ChickenFromMinsk · Post by **ChickenFromMinsk** » 05 Apr 2001 16:01

Сорока, спасибо за наводку на книжку - посмотрю в выходные в библиотеке. Меня как раз интересуют задачки не просто "на формулы", а такие, чтобы можно было решить, подумав. Например, эта задача с машиной и трением, по-моему, не очень интересна... Вот еще одна задача по физике, которую я отобрала, - можете попробовать загадать ее своим детям - даны 2 шара одинаковой массы и обьема, но один из них внутри полый (естественно, они сделаны из разного материала). Как определить, какой из них полый? А не подскажет ли мне кто-нибудь хорошие геометрические задачки? Что-нибудь по типу "разрезать - склеить" или что-то в этом роде... ??

EugeneZ · Post by **EugeneZ** » 05 Apr 2001 16:14

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by ChickenFromMinsk:
даны 2 шара одинаковой массы и обьема, но один из них внутри полый (естественно, они сделаны из разного материала). Как определить, какой из них полый? <HR></BLOCKQUOTE>

Postuchat' [img:1e1100049e]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:1e1100049e] ?

[ 05-04-2001: Message edited by: EugeneZ ]

Joker · Post by **Joker** » 05 Apr 2001 16:53

Похожая идея позволяет отличить крутое яйцо от сырого...

ChickenFromMinsk · Post by **ChickenFromMinsk** » 05 Apr 2001 17:18

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Joker:
[i:68e855a796]Похожая идея позволяет отличить крутое яйцо от сырого...[/i:68e855a796]<HR></BLOCKQUOTE>

Joker, ну с вами прямо не интересно - вы все знаете [img:68e855a796]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:68e855a796] Правда, детям надо будет еще обьяснить нам, глупым взрослым, как они до этого додумались...

Мыша · Post by **Мыша** » 05 Apr 2001 18:34

А это тоже просто прикол, сомневаюсь только, пройдет ли на английском. На вопросы надо отвечать быстро, не задумываясь.
Чему равно -
5 в квадрате?
7 в квадрате?
Угол в квадрате???

Обычно прямо физически видно, как шарики в голове начинают ворочаться (недолго, конечно [img:765a1b30c6]images/smiles/icon_smile.gif[/img:765a1b30c6])

[ 05-04-2001: Message edited by: Мыша ]

[ 05-04-2001: Message edited by: Мыша ]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 06 Apr 2001 00:19

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Joker:
[i:b77bf5929c]Похожая идея позволяет отличить крутое яйцо от сырого...[/i:b77bf5929c]<HR></BLOCKQUOTE>
В оригинале, по-моему, их предлагается скатить с наклонной плоскости. [img:b77bf5929c]images/smiles/icon_smile.gif[/img:b77bf5929c] Детям предложила, один сказал "постучать", другой - скатить с горки. Тому шарику, у которого масса сосредоточена дальше от центра, "будет труднее раскручиваться". По-моему, вполне логично.

Chicken, если книжки нет в библиотеке, сходите в Барнс с Нобелем, полистайте. Покупать, может, и ни к чему, а несколько идей почерпнуть и так можно.

На разрезание - склеивание была чудная задача-шутка, когда разрезается клетчатый прямоугольник, куски складываются, и получается треугольник с площадбю на единицу больше (или меньше?). Я ее могу, наверное, вспомнить, но нарисовать здесь все равно некак. Так что вспоминайте сами. [img:b77bf5929c]images/smiles/icon_smile.gif[/img:b77bf5929c]

Гораздо более сложная задача на разрезание есть здесь: http://www.nsa.gov/programs/mepp/usamts/problems/problems12R4.pdf

Joker · Post by **Joker** » 06 Apr 2001 03:31

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by ChickenFromMinsk:
[i:dc47f60c3d]Joker, ну с вами прямо не интересно - вы все знаете[/i:dc47f60c3d]<HR></BLOCKQUOTE> Не, я просто яйца люблю [img:dc47f60c3d]images/smiles/icon_smile.gif[/img:dc47f60c3d]

Joker · Post by **Joker** » 06 Apr 2001 03:44

Ко мне тут друг приехал, с которым мы вместе лет 15... в физматшколе и университете... олимпиадами и задачками заведовали. Вот вам по этому случаю еще пара свеженьких очень красивых и малоизвестных задачек:

1. На каждой стороне квадрата пометили по точке. Потом квадрат взяли... и стерли. Как восстановить квадрат по этим четырем точкам?

2. Имеется бесконечная квадратная сетка со стороной ячейки 1 см. Имеется (односвязное) пятно произвольной формы, площадью ровно 1 кв.см. Ну, короче, клякса. Доказать, что сетку всегда можно сдвинуть/повернуть так, что на пятне не окажется ни одного перекрестия.

Enchanter · Post by **Enchanter** » 06 Apr 2001 04:09

Физика -> Механика

Два абсолютно одинаковых шарика бросаются сверху на разные чаши весов. Одна чашка липкая и шарик прилипает. Другая нелипкая и шарик прыгает вверх-вниз. Какая чаша весов в конечном счёте перевесит?

COPOKA · Post by **COPOKA** » 06 Apr 2001 04:29

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Joker:
[i:8c121a4e2a]
1. На каждой стороне квадрата пометили по точке. Потом квадрат взяли... и стерли. Как восстановить квадрат по этим четырем точкам?

2. Имеется бесконечная квадратная сетка со стороной ячейки 1 см. Имеется (односвязное) пятно произвольной формы, площадью ровно 1 кв.см. Ну, короче, клякса. Доказать, что сетку всегда можно сдвинуть/повернуть так, что на пятне не окажется ни одного перекрестия.[/i:8c121a4e2a]<HR></BLOCKQUOTE>
Ну, про сетку я знаю - распилить и сложить в стопочку... [img:8c121a4e2a]images/smiles/icon_smile.gif[/img:8c121a4e2a] Красиво. Хотя я помню формулировку "площадью меньше 1 кв. см." Правда, задачки на доказательства здешние (обыкновенные) школьники не любят. Или не понимают. А про квадрат сейчас пойду, поставлю эксперимент (не с квадратом, а с детьми)

А вот и задачка: Три шахматиста А, В и С сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков А занял первое место, а С - последнее, а по числу побед, наоборот, А занял последнее место, а С - первое (за победу присуждается одно очко, за ничью - пол-очка)? [img:8c121a4e2a]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:8c121a4e2a] Что-то мне это недавние президентские выборы напоминает...

И еще вспоминается мне красивая задача про паука и муху, сидящих в разных концах комнаты (прямоугольного параллелепипеда). Предлагалось найти для паука кратчайший путь к мухе, и путь этот находился мгновенно путем рисования прямой линии, если догадаться развернуть все стенки в плоскость. Я, разумеется, [img:8c121a4e2a]images/smiles/icon_rolleyes.gif[/img:8c121a4e2a] не помню, где они в точности сидели, а именно в этом расположении заключается граница между тривиальной версией этой задачи и нетривиальной... Может, кто-нибудь вспомнит?

vofa · Post by **vofa** » 06 Apr 2001 09:21

Специально для школьников с богатым (не обязательно пространственным!) воображением.

Очевидно, что вокруг окружности единичного радиуса можно расположить 6 равных ей окружностей, касающихся исходной и не пересекающихся друг с другом - в вершинах правильного шестиугольника со стороной равной 2.
*** Это была присказка, а вот - сказка.
Вокруг сферы 1-го радиуса легко расположить (в вершинах соответствующего икосаэдра!) 12 касающихся ей сфер, также единичного радиуса.
Вопрос: а могут ли 13 единичных сфер одновременно касаться исходной?

COPOKA · Post by **COPOKA** » 06 Apr 2001 17:59

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Joker:
[i:e7740a8ea9]
1. На каждой стороне квадрата пометили по точке. Потом квадрат взяли... и стерли. Как восстановить квадрат по этим четырем точкам?
[/i:e7740a8ea9]<HR></BLOCKQUOTE>
Joker, я что-то в растерянности. Получается, что при любом симметричном расположении точек (например, в середине каждой стороны) квадратов можно нарисовать сколько угодно...

Virgo · Post by **Virgo** » 06 Apr 2001 19:09

Мне кажется, при любом расположении точек можно нарисовать сколько угодно квадратов. Все они будут равны исходному (если точки не накладываются друг на друга), только ориентация будет разная.

vofa · Post by **vofa** » 07 Apr 2001 03:27

2COPOKA, 2Virgo

"Легкая паника?" ;=)
Аналитическая геометрия позволяет найти соотношение между
1) искомым углом ориентации квадрата - alfa;
2) длинами отрезков между точками с противоположных сторон квадрата - L13, L24;
3) углом между отрезками L13, L24 - fi.

Для определенности alfa - наклон первой стороны квадрата. Тогда имеем
(L13/L24)*sin(alfa) = cos(fi-alfa).
При fi=90 градусов (ортогональные, равные отрезки!) получаем тождество:
1*sin(alfa) = cos(90-alfa) = sin(alfa).
Отсюда следует, что alfa - произвольный угол... из ОДЗ (не упустить из виду!): ориентация "пробного" квадрата НЕ должна нарушать топологической картины == точки 1,2,3,4 располагаются именно на сторонах квадрата, а не просто на линиях, эти стороны содержащие.
Окончательно: значение alfa (наклона первой стороны квадрата) варьируется ВНЕ раствора угла, образованного точками "4-1-2".

З.Ы. При fi, не равном 90 градусов, решение единственное.
З.З.Ы. Задача допускает обобщение: вместо квадрата построить прямоугольник с заданным соотношением сторон.

[ 06-04-2001: Message edited by: vofa ]

[ 06-04-2001: Message edited by: vofa ]

ChickenFromMinsk · Post by **ChickenFromMinsk** » 09 Apr 2001 17:59

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Enchanter:
[i:f9dec51f78]Физика -> Механика

Два абсолютно одинаковых шарика бросаются сверху на разные чаши весов. Одна чашка липкая и шарик прилипает. Другая нелипкая и шарик прыгает вверх-вниз. Какая чаша весов в конечном счёте перевесит?[/i:f9dec51f78]<HR></BLOCKQUOTE>

Enchanter, а ваша задача с подвохом? Логически рассуждая, в конце концов прыгающий шарик перестанет прыгать и весы уравновесятся (если пренебречь весом липкой массы)? Или я что-то упускаю? Кстати, мне вот тут подкинули задачу тоже по физике, которую я не могу решить. Может кто-нибудь подскажет. Сила тяготения возрастает по мере приближения тел друг к другу. Привести пример, когда тела приближаются, а сила тяготения ослабевает. Я предложила решение "лед и пламя", но мне было сказано, что тела не меняют свое состояние и никакая другая сила в процессе не участвует...