Пусть границы диапазона сумм Судьи - l и L.
Матожидание - mo - определяется по-разному, в зависимости от соотношений величин l, L и R=(P+D)/2.
mo1(R<l) = P;
mo3(R>L) = D;
mo2(l<=R<=L) = [(L*P-P*P/2) - (l*D-D*D/2)].
В последнем случае, для mo2 могут существовать ИСТИННЫЕ экстренумы для частных производных по P и D, которые достигаются в точках L и l, соответственно. ВАЖНЫЙ нюанс: необходима проверка на непротиворечивость сделанным ранее передположениям (ОДЗ!). Так для P при фиксированном D имеем P=L. Проверяем на ОДЗ. И требования l<=R<=L; имеем
l<=(L+D)/2<=L.
Преобразуем:
(2*l-L)<=D<=2*L.
Т.к. по смыслу задачи D<=L, то второе неравенство выполняется автоматически, а первое - лишь при условии
D>=(2*l-L)!!!
В ОРИГИНАЛЬНОЙ постановке задачи - l=$3, L=$10 имеем
D>=[(2*3-10)=-4], что с очевидностью выполняется, т.к. по смыслу задачи D>=0 (ответчик НЕ выставляет сам встречный иск!).
А вот в ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ/РАСШИРЕННОМ варианте, когда l=$7, L=$10 имеем D>=[(2*7-10)=+4]. Т.е. ЕСЛИ ОТВЕТЧИК желает платить менее $4-х, то найденная ранее формула для экстренума становятся НЕПРИГОДНА и max-min для mo расположены уже НА ГРАНИЦЕ диапазона [l,L]!
В качестве иллюстрации: для l=$7, L=$10; и D=0 (алчный ответчик!) прогноз
истца - P=10 НЕ ЯВЛЯЕТСЯ оптимальным значением, т.к. для mo имеем mo1=10.
В то же время, при СОЗНАТЕЛЬНОМ УВЕЛИЧЕНИИ СУММЫ ИСКА истцом, mo1 возрастает. Предельное значение получается при R=l, т.е.:
R=(P+D)/2=l; --> P=2*l-D.
Подставляя значения l, D (для алчного ответчика D=0!), получаем:
P=2*7-0=14.
Выплата поднимется до $14!... :=)))
Если ответчик "трезвомыслящий", то он ВСЕГДА назовет оптимальную для
себя цифру - D=l; в данном случае - $7. Учет ЭТОГО обстоятельства заставляет и истца поступать грамотно - "заказывать 6 пик" - $10!
===
Последний вариант задачи ЕЩЕ имеет и прикладные приложения к гэмблингу, а именно к покеру; перепевы типа: "я оглянулся на нее, чтоб посмотреть не оглянулась ли она ..."!
Как нашли ранее, в случае, когда истец предполагает об алчности ответчика, его заявленная цифра P=$14 является наилучшей.
---
А теперь следующая ситуация: истец считает ответчика алчным, а тот учитывает это обстоятельство и заявляет ОПТИМАЛЬНУЮ сумму, а именно - $3!! Все. Истец вместо предполагаемых 14-и имеет только $3.
---
Очередной шаг: истец знает "ход мыслей" своего оппонента, - что тот заявит $3. Его ответные действия очевидны - следует заявка не $14, а... конечно $11!!
---
........(Далее идет вечное - "кто кого насколько просчитал")
---
В конце концов, грамотные И и О остановятся на своих оптимальных цифрах - l и L.
P.S. Тем кто желает "продолжить" тему, могу предложить иную формулировку задачи; если точнее - способа выплаты: победитель в споре определяется как и прежде, НО сумма выплаты ФИКСИРОВАННА, т.е. не зависит от P, D...
Удачи!
- свои соображения о сумме компенсации. Назовем сумму, определенную истцом P, а от ответчиком - D. После этого судья выслушивает доводы обеих сторон и определяет свою сумму вознаграждения - J. Реальное значение компенсации определяется сравнением J с P и D. Если J ближе к P, ответчик платит P, если J ближе к D, ответчик платит D.
