Почему площадь измеряется квадратами?

[Тверпен]

Если начать мерять, к примеру, круг, то, скажем, восьмиугольники в него будут упаковываться не хуже, а может и лучше, чем квадраты. Но для того, чтобы посчитать площать этих восьмиугольников, мы опять же разбиваем их на квадраты. Что такого особенного в квадратах? Не, ну я понимаю, прямой угол, одинаковые стороны... Но почему это важно? Почему важен прямой угол? Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

Аналогично, почему объем меряется кубами?

Только не надо говорить что наш мир основан на декартовом пространстве, потому что опять же вопрос: почему?

Понятно, что площать квадрата можно вычислить, умножив одну сторону на другую, но ведь это просто определение площади. С тем же успехом мы могли сказать, что площать круга численно равна радиусу, даже без квадрата и без всяких пи. Или не могли?

Наверное, нужна была удобная функция зависимости площади от размера базовой фигуры... У квадрата - квадратичная зависимость... Все равно, как-то неочевидно.

[Helmsman]

Удобно. Потому же мы считаем в десятичной системе, а не, например, в двенадцатиричной.

[Teh Instructor]

кстати у шестиугольника даже долее красивая формула получатся, потому что его "радиус" равняется длине его стороны, и упаковываются они хорошо

[helg]

Площадь меняется не в "квадратах", а в единицах измерения площади. Объект единичной площади может быть любым - хоть восьми-, хоть двадцатиугольник. Предпочтительность квадрата - в удобстве формирования единичного элемента площади из единичного элемента длины. Сказали, что площадь зала 200 квадратных метров - легко представить его линейные размеры. А если площадь - "60 восьмиугольников со стороной метр", прикидывать будет сложнее.

[perasperaadastra]

Площадь не измеряется квадратами. Площадь измеряется единицами площади, которые получаются возведением линейных единиц в квадрат. А так можно площадь изменять прямоугольниками, параллелограммами и даже кругами. Более того, в некоторых случаях невозможно измерить площадь квадратами — например, площадь сферы.

>мы могли сказать, что площать круга численно равна радиусу, даже без квадрата и без всяких пи. Или не могли?

Могли бы при условии, что радиус в степени два. Иначе потерялась бы размерность и пришлось бы переопределять операции с площадями.

PS helg, прошу меня извинить за повторение. Я начал отвечать раньше вас, но закончил ответ после того, как вы ответили. Бывает

[Тверпен]

Хорошо, пойдем с другой стороны. Очевидно, квадраты удобнее чем прямоугольники. Прямоугольники используются потому, что в декартовой системе координат оси перпендикулярны (ну или Декарт официально придумал свою систему после того, как древние египтяне нарезали земельные участки прямоуогольниками). Но чем хорош прямоугольник? Чем хорош прямой угол? Тем, что углы всех квадрантов в системе одинаковые?

Площадь легко получается из прямоугольников в декартовой системе, но ведь умножение одной стороны на другую это просто условность... Или нет? Пусть вместо прямоугольника у нас six-pack: две бутылки на три. Умножаем - действительно, шесть. Но мы можем перекосить упаковку, в получившемся параллелограмме останется две на три бутылки и шесть всего. Но площадь параллелограмма считается через высоту, а не произведение сторон.

Чего-й то я недопонимаю.

[helg]

Предпочтительность квадрата - в удобстве формирования единичного элемента площади из единичного элемента длины.

Дайте определение площади через единичный параллелограмм - увидите, что оно сложнее, чем через единичный квадрат.

[aml5691]

После того, как геометрическая фигура единичной площади выбрана, нужно ею измерять площадь фигур произвольной формы. Чтобы это делать, нужно произвольные фигуры уметь покрывать идентичными копиями фигуры с единичной площадью, без "дыр" и перекрываний между этими идентичными фигурами.

По поводу (правильных) гексагона (6-угольника) или октагона (8-угольника), как альтернатив для геометрической фигуры, по которой определяется единица площади. У правильного 6-угольника есть преимущество перед правильным 8-угольником в том, что одинаковыми правильными 6-угольниками плоскость можно полностью покрыть без перекрываний этих 6-угольников. Сделать то же самое одинаковыми правильными 8-угольниками нельзя.

Также плоскость можно полностью покрыть без перекрываний одинаковыми правильными треугольниками и конечно одинаковыми квадратами. Есть хитрые покрытия плоскости одинаковыми 5-угольниками, но не правильными.

В случае пространств с размерностью 3 и более, если не ошибаюсь, единственный правильный многогранник, одинаковыми копиями которого можно покрыть все пространство без перекрываний этих многогранников - куб соответствующей размерности. Возможно поэтому наиболее общее определение единицы площади/обьема удобнее давать через куб/квадрат.

См.

Паркет (геометрия)
http://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation
http://en.wikipedia.org/wiki/Hexagon
http://en.wikipedia.org/wiki/Octagon

[perasperaadastra]

Но площадь параллелограмма считается через высоту, а не произведение сторон.

Векторное произведение сторон параллелограмма даст вектор, длина которого равна площади параллелограмма.

Мне кажется, ваш вопрос на самом деле о том, что такого особенного в ортогональной системе.

[kosmo]

Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

А вы попробуйте посчитать площадь какой-нибудь элементарной фигуры, например, параболы, в единицах восьмиугольников или кругов. В процессе вычислений поймёте

[aml5691]

Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

А вы попробуйте посчитать площадь какой-нибудь элементарной фигуры, например, параболы, в единицах восьмиугольников или кругов. В процессе вычислений поймёте

В кругах или 8-угольниках может и сложно, а в правильных треугольниках или 6-угольниках примерно так же просто как и в квадратах. Достаточно нарисовать сетку из 3-х семейств равноотстоящих параллельных прямых под углом в 60 градусов друг к другу и посчитать правильные треугольники или 6-угольники. Чтобы оценить площадь в квадратах, конечно достаточно сетки из двух перпендикулярных семейств равноотстоящих параллельных прямых.

[kosmo]

Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

А вы попробуйте посчитать площадь какой-нибудь элементарной фигуры, например, параболы, в единицах восьмиугольников или кругов. В процессе вычислений поймёте

В кругах или 8-угольниках может и сложно, а в правильных треугольниках или 6-угольниках примерно так же просто как и в квадратах. Достаточно нарисовать сетку из 3-х семейств равноотстоящих параллельных прямых под углом в 60 градусов друг к другу и посчитать правильные треугольники или 6-угольники. Чтобы оценить площадь в квадратах, конечно достаточно сетки из двух перпендикулярных семейств равноотстоящих параллельных прямых.

Ну приведите здесь как вычислить интеграл от -2 до +1 функции Х^2. В единичных треугольниках.

[aml5691]

Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

А вы попробуйте посчитать площадь какой-нибудь элементарной фигуры, например, параболы, в единицах восьмиугольников или кругов. В процессе вычислений поймёте

В кругах или 8-угольниках может и сложно, а в правильных треугольниках или 6-угольниках примерно так же просто как и в квадратах. Достаточно нарисовать сетку из 3-х семейств равноотстоящих параллельных прямых под углом в 60 градусов друг к другу и посчитать правильные треугольники или 6-угольники. Чтобы оценить площадь в квадратах, конечно достаточно сетки из двух перпендикулярных семейств равноотстоящих параллельных прямых.

Ну приведите здесь как вычислить интеграл от -2 до +1 функции Х^2. В единичных треугольниках.

Вычисление площади фигуры с использованием интегралов основывается на определении понятии площади, которое использует предельный переход и уже не имеет прямого отношения к аппроксимации фигур квадратами или другими фигурами.

В основе различных определений интеграла функций одной действительной переменной лежат интегральные суммы, которые можно интерпретировать как аппроксимацию площади под произвольной кривой более простыми геометрическими фигурами, однако эти фигуры - не квадраты. В случае определения интеграла по Риману, эти фигуры - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. В случае определения по Лебегу, насколько помню, аппроксимирующие фигуры могут и не быть прямоугольниками, но для "достаточно простых" функций также являются прямоугольниками.

[aml5691]

Мне кажется, что интересный вопрос, с которого началось это обсуждение, можно интерпретировать по-разному и по-разному на него ответить.

Один способ конкретизирировать вопрос - основываться на простом, житейском, понятия измерения площади. Имеется эталон единицы площади (определенная геометрическая фигура, достаточно маленькая) и соглашение о способе измерения (как можно более точное покрытие измеряемой площади копиями эталонной фигуры, без пересечения этих эталонов). Какую геометрическую форму лучше выбрать за эталон?

Понятно, что покрытие площади произвольной формы эталонами будет оставлять "дыры" у границы площади и между эталонами, но, если выбрать эталон правильной формы, то от дыр можно избавиться по крайней мере внутри площади.

Если выбор фигур эталонов ограничить правильными многоугольниками, то вариантов для покрытия без дыр внутри площади три - правильные треугольник или 4-угольник или 6-угольник. Если нужен эталон-многоугольник, но не обязательно правильный, то к этим трем вариантам добавляются и другие, в том числе 5-угольники. Если допустить эталон ограниченный непрерывной кривой, то вариантов будет бесконечно много.

Как писал выше, интересно, что если обобщить это измерение площади на об'ем (в размерностях 3 и более), и искать эталон для покрытия без дыр среди правильных многогранников, то похоже, что куб соответствующей размерности - единственный вариант.

[perasperaadastra]

Куда-то Тверпен пропал. Боюсь, мы перестарались со своими мнениями

[Helmsman]

Как писал выше, интересно, что если обобщить это измерение площади на об'ем (в размерностях 3 и более), и искать эталон для покрытия без дыр среди правильных многогранников, то похоже, что куб соответствующей размерности - единственный вариант.

Так и есть: http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200900503

[Deynekin]

Что-то не просматривается "филосовская глубина" вопроса, хотя вопрос задан с явным намёком на неё.

Во-первых, при измерении нужно (чрезвычайно желательно), чтобы при покрытии измеряемой фигуры эталонными мерами этот "паркет"можно было бы выкладывать без дыр между мерами; уже по одной этой причине пяти- и прочие восьмиугольники не годятся.
А во-вторых, квадрат выбрали из удобства; если угодно, измеряйте в треугольниках — никакой революции не произойдёт. Но тогда найдётся кто-нибудь, кто спросит: "А почему именно треугольники?" — Вот и вся "философия", вроде той, с какого конца разбивать яйцо: с острого или тупого? (Хотя я лично предпочитаю с тупого, т.к. именно с этой стороны находится воздушный пузырь яйца.)

[лопарь]

Хозяин подвел меня к куче скатанных в трубки циновок. - Выбирайте любую, - сказал он. - К каждой циновке прикреплен ярлык, на котором написаны ее размеры. Я знал, что площадь нашей каюты равна десяти квадратным метрам, и поэтому выбрал циновку с пометкой: "10 к. метров". Вернувшись на судно, я тотчас отправился в каюту, чтобы обновить подарок... Но что это? Циновка в каюте не умещалась! Сперва я подумал, что по ошибке захватил не ту циновку... Нет! На ярлыке стояло все то же: "10 к. метров". Я заново измерил каюту - 10 квадратных метров! Тогда я решил проверить площадь циновки, и, можете себе представить, она оказалась равной 31, 4 квадратного метра. Вот так так! Наш хозяин, видимо, здорово просчитался. Я бросился на палубу. Судно уже отчаливало, но я все же успел крикнуть стоявшему на берегу плетельщику, что он, мол, ошибся и подарил мне циновку в три с лишним раза большую. Тот что-то отвечал, только я не все расслышал. - Все верно! - кричал он. - У нас... измеряют... не в квадратных... а в круговых... За единицу площади принят... Тут мощный гудок "Быстроходной улитки" окончательно заглушил его голос, оставив меня в полном недоумении.

[aml5691]

Что-то не просматривается "филосовская глубина" вопроса, хотя вопрос задан с явным намёком на неё.

Во-первых, при измерении нужно (чрезвычайно желательно), чтобы при покрытии измеряемой фигуры эталонными мерами этот "паркет"можно было бы выкладывать без дыр между мерами; уже по одной этой причине пяти- и прочие восьмиугольники не годятся. [...]

Я тоже об этом выше писал. Однако 5- и 8- угольники не удовлетвoряют этому требованию, если требовать, что эталон должен быть правильным многоугольником (т.е. выпуклым многоугольником со сторонами равной длины и с одинаковыми углами при всех вершинах). Если не требовать правильности многоугольников, то таким требованиям может соответствовать специально сконструированный многоугольник с любым количеством сторон.

Требование о том, что площадь нужно замостить эталонами без дыр между эталонами - на самом деле довольно полезное. Оно означает, что, если использовать все более мелкие копии данного эталона (скажем, 1/4, 1/16, 1/64 и т.д.), то данную площадь можно измерить произвольно точно. Ошибка в измерении площади будет только из-за неточного покрытия вблизи границы и (для достаточно гладкой границы) такая ошибка будет стремиться к нулю с измельчением эталона. Если эталоны покрывают площадь с дырами между ними, то ошибка измерения не будет уменьшаться при измельчении эталона.

[perasperaadastra]

Если ударяться в "философию", то нужно углубляться в математические аксиомы. Площадь получается произведением образующих векторов на синус угла, который для ортогональных векторов равен единице. То есть, на первый взгляд, все сводится к свойствам ортогональности. С другой стороны, как быть с непрямоугольными системами координат? Представим, что я знаю исключительно полярные координаты и не имею не малейшего понятия, как перейти к прямоугольным координатам и что с ними делать. Если я знаю только полярные координаты (радиус и угол), то какое определение я дам площади? Понятно, что получиться должно то же самое, что и в прямоугольных координатах (площадь это инвариант), но я-то про них ничего не знаю!

Если я, по аналогии с прямоугольными координатами, умножу радиус на угол, то получу длину дуги, а не площадь. Чтобы получилась площадь я должен использовать не радиус-координату r, а половину ее квадрата, R=0.5r^2. Зато теперь длина дуги имеет квадратный корень R! Кто из математиков занимался "экзотическими" координатами? Гаусс? Какое определение он давал площади?

[aml5691]

Если ударяться в "философию", то нужно углубляться в математические аксиомы. Площадь получается произведением образующих векторов на синус угла, который для ортогональных векторов равен единице. То есть, на первый взгляд, все сводится к свойствам ортогональности. С другой стороны, как быть с непрямоугольными системами координат? Представим, что я знаю исключительно полярные координаты и не имею не малейшего понятия, как перейти к прямоугольным координатам и что с ними делать. Если я знаю только полярные координаты (радиус и угол), то какое определение я дам площади? Понятно, что получиться должно то же самое, что и в прямоугольных координатах (площадь это инвариант), но я-то про них ничего не знаю!

Если я, по аналогии с прямоугольными координатами, умножу радиус на угол, то получу длину дуги, а не площадь. Чтобы получилась площадь я должен использовать не радиус-координату r, а половину ее квадрата, R=0.5r^2. Зато теперь длина дуги имеет квадратный корень R! Кто из математиков занимался "экзотическими" координатами? Гаусс? Какое определение он давал площади?

Если приходится жить в каких-либо криволинейных координатах и нужно вычислять площадь/об'ем/длину кривых, то нужно знать метрический тензор во всех точках пространства. В частности, на плоскости, метрический тензор для полярных координат (r, phi) в прямоугольной ортонормированоой системе координат имеет компоненты g = [1, 0; 0, r^2] (в обозначениях MATLAB/Octave). Бесконечно малый элемент площади в полярных координатах dS = sqrt(det(g))*dr*dphi = r*dr*dphi, и площадь произвольной области получается интегрированием r*dr*dphi по ней.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Метрический_тензор

https://ru.wikipedia.org/wiki/Полярная_ ... _координат

[perasperaadastra]

Оперирование понятием метрического тензора подразумевает знание о существовании иных координатных систем и о возможности перехода к ним с использованием касательных пространств. А если все, что мне доступно, это полярная система координат, я смогу определить лишь частный случай этого тензора — и то исходя из моего интуитивного определения длины как определенной комбинации координат. А до этого определения длины (или площади) я должен каким-то образом додуматься исходя из моего чувственного опыта. То есть нужно сделать то же самое, что сделал Евклид, с одной лишь разницей, что Евклид строил аксиомы для прямых (что эквивалентно работе с прямолинейными координатами), а мы имеем дело с кривыми. Получается геометрический подход Лобачевского?

[Deynekin]

Оперирование понятием метрического тензора подразумевает знание о существовании иных координатных систем и о возможности перехода к ним с использованием касательных пространств. А если все, что мне доступно, это полярная система координат, я смогу определить лишь частный случай этого тензора [... и т.д.]

Предлагаю расставить акценты иначе. Чувственный опыт — локомотив нашей интуиции, конечно, неоценимо сильный, но формально можно вполне и без него. В частности, длину вполне благополячно определяют довольно произвольным образом, требуя только выполнения трёх несложных условий: положительности, симметрии и неравенства треугольника — всё! Естественно, что при таком подходе ждать совпадения с чувственным опытом во всех случаях не приходится. Иными словами, теорему Пифагора можно не доказывать, отталкиваясь от уже имеющегося интуитивного понятия длины, а взять в качестве (одного из множества возможных!) определений расстояния. Более того, такой подход, будучи широким, оказывается очень плодотворным.

Более конкретно. Только потому, что геометрическое многообразие/пространство параметризировано (в каждой точке воткнут флажок с координатами точки) ещё ничего нельзя сказать ни о "кривизне пространства", ни о "криволинейности" такой системы координат, и ничего невозможно измерить. Если на это пространство теперь "набросить" — довольно произвольно! — метрический тензор (образно говоря, на каждый тот "флажочек" дописать компоненты тензора — в общем случае, меняющиеся от точки к точке), становится возможным это пространство метризировать — ввести в нём понятия угла, расстояния, площади...

Параллельно с этим всегда можно вводить к.-л. другие координаты — просто как фукции уже имеющихся (т.е. проблема "знания о существовании иных координатных систем" легко преодолима). При этом, разумеется, на каждом флажочке поменяются как координаты точки, так и компоненты метрического тензора (которые при таком переходе меняются по вполне определённому "тензорному" закону). И если удаётся найти такую новую систему координат, в которой метрический тензор в любой точке выглядит как единичная матрица (достаточно просто перестать зависеть от координат точки), говорят, что такое пространство эвклидово/плоское/не кривое. А самоё такую ситему называют прямолинейной; все же другие системы координат, в которых метрический тензор не констатна, суть криволинейные координаты в эвклидовом пространстве.

Естественно, при довольно произвольном задании поля метрического тензора нет гарантии, что некоторой заменой координат его можно всюду привести к матрице-константе. И если это таки "не получается" говорят, что такое пространство кривое. Естественно, дополнительно говорить о криволинейности ситем координат в нём уже смысла нет — в нём все системы "криволинейные".

А теперь важный интересный момент.
Оказывается, любое кривое пространства всегда можно "погрузить" в эвклидово пространство достаточно большой размерности — отнюдь не просто (n+1)-й, как нам ошибочно подсказывает наш чувственный опыт, основанный на n=1 и 2, а в общем случае заметно большей.
Это можно интерпретировать двояко: либо "кривой" метрический тензор исходного метрического пространства путём достаточного добавления размерности пространства можно расширить до "прямого" эвклидового тензора. Либо что эвклидов тензор достаточно большого пространства можно сузить до тензора, совпадающиго с имеющимся метрическим исходного пространства. Проще говоря, для всякого кривого пространства можно найти обнимающее его прямое/эвклидово пространство, из которого первое уже выглядит "объективно кривым".

Ну и последнее. Всё сказанное выше относится к ситуации, когда поле метрического тезора уже выбрано. Вспоминая, что произвол при выборе этого тензора очень велик, возвращаемся к относительности понятий кривое-прямое. Например, формально ничто не запрещает для любого многообразия метрический тензор задать матрицей-константой (сгодится любая симметричная положительно определённая), одним росчерком пера превратив его в "плоское". В реалности же на выбор метризации влияет желание, чтобы она была ещё и "естественной" — здесь мы возвращаемся к нашему чувственному опыту — после чего "кривое" и "прямое" занимают свои привычные нам места.

[MaximS]

Да потому что вычислить площадь квадрата проще всего!

[adb]

Систему координат какую будем использовать?