непрерывная функция

Droma · Ср окт 24, 2001 4:54 pm

On a spherical planet the temperature varies continuously over the entire surface. The government needs to put two satellite control stations on diametrically opposite points on the planet. Howevwr, the control stations can only communicate if they are in areas of equal temperature. Prove that it is possible to build two control stations that can communicate.
Понятно, что дело в непрерывности функции, как же это использовать?

Mak_Sim · Ср окт 24, 2001 6:15 pm

А что значит - varies continuosly on surface? Если это значит, что температура на поверхности сферы плавно изменяется от точки А к точке Б (не обязательно противолежащих), то существует изотерма, проходящая по дуге большого круга. На этом "температурном экваторе" и построим станции.

Drom · Сообщение **Drom** » Ср окт 24, 2001 9:00 pm

так проще:
доказать, что для непрерывной F(x)=F(x+A) и для любого B существует x=x0 : F(x0)=F(x0+B)
?

Droma · Ср окт 24, 2001 9:27 pm

Mak_Sim:
плавно изменяется от точки А к точке Б (не обязательно противолежащих), то существует изотерма, проходящая по дуге большого круга. На этом "температурном экваторе" и построим станции.

Но необходимо доказать существование двух точек с одинаковой температурой и diametrically oppositе

tengiz · Ср окт 24, 2001 9:27 pm

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Drom:
так проще:
доказать, что для непрерывной F(x)=F(x+A) и для любого B существует x=x0 : F(x0)=F(x0+B)
?<HR></BLOCKQUOTE>Чтобы не портить кайф тем, кто думает над задачей, скажу только, что это следствие одной простенькой теоремы из Матанализа первого семестра первого курса для нормальных технических вузов. Если я правильно помню, когда это проходят. Такой вариант ответа принимается?

RrM · Сообщение **RrM** » Ср окт 24, 2001 9:40 pm

Ну, поскольку решать все равно надо только для линии экватора, то речь идет о функции двух переменных - да, должен быть первый семестр. [img:cd417e2bd8]images/smiles/icon_smile.gif[/img:cd417e2bd8]

Droma · Ср окт 24, 2001 9:41 pm

To tengiz
Обойдёмся ли следствием "одной простенькой" теоремы ? Достаточно ли одной и какой ?
Наверное Вы думаете о "Промежуточных значениях непрерывной функции"?
Как же быть с нахождением диаметрально противоп. точек?

Droma · Ср окт 24, 2001 9:48 pm

to RrM
Необязательно рассматривать только экватор,на сфере есть и другие диаметр. противоположные точки, например точки полюсов могут удовлетв условию задачи.

Kisena · Ср окт 24, 2001 10:06 pm

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by RrM:
Ну, поскольку решать все равно надо только для линии экватора, то речь идет о функции двух переменных - да, должен быть первый семестр. [img:d70ee37f48]images/smiles/icon_smile.gif[/img:d70ee37f48]<HR></BLOCKQUOTE>

Обойдемся, конечно. Встанем, например, на N и S. Если f(N) = f(S), то задача решена. В противном случае без ограничения общности будем считать, что f(N) - f(S) > 0. Иначе переименуем точки. теперь будем двигать N вдоль меридиана. S будет двигаться, оставаясь, противоположной точкой. В конечном итоге N перейдет в S, и наоборот. При этом разница функций будет уже отрицательная. Значит, по той самой теореме где-то был ноль.

Droma · Ср окт 24, 2001 10:41 pm

To Kisena
Спасибо за доставленное удовольствие, пока не могу найти слабое место,особенно понравился переход к функции с одной переменной.
А название той теоремки: "Теорема Коши о нулях непрерывной функции" - лёгкая грусть о первом курсе мех-мата НГУ [img:4b2ed3dac9]images/smiles/icon_smile.gif[/img:4b2ed3dac9]

Mak_Sim · Ср окт 24, 2001 11:18 pm

Droma:
Говоря "температурный экватор" я не имел в виду экватор географический. В моем ответе это линия равных температур, проходящая по дуге большого круга.
Решим задачу анекдотическим методом [img:cf11816b39]images/smiles/icon_wink.gif[/img:cf11816b39]
Пусть на глобус натянут презерватив и завязан узелком в какой-то точке, например, в Нью-Йорке. Развяжем узелок и будем равномерно скатывать края к другой точке, например, к Кабулу. Край резинки в каждый момент времени образует окружность на сфере. Наступит момент, когда эта окружность пройдет по дуге большого круга, т.е. в нашей системе это будет экватор. Любые две точки на этой окружности имеют равную температуру.
А уж где именно ставить станции - это в задаче определять не требовалось.

[ 24-10-2001: Message edited by: Mak_Sim ]

RrM · Сообщение **RrM** » Чт окт 25, 2001 1:14 am

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Droma:
to RrM
Необязательно рассматривать только экватор,на сфере есть и другие диаметр. противоположные точки, например точки полюсов могут удовлетв условию задачи.<HR></BLOCKQUOTE>
Э... ну во-первых, очевидно, что решив задачу для экватора, мы удовлетворили более жестким условиям и уж во всяком случае решили ее для всего шарика... А во-вторых, Вы же хотели [b:12743c97e6]спутники[/b:12743c97e6] подвешивать над этими точками? [img:12743c97e6]images/smiles/icon_wink.gif[/img:12743c97e6] Только не говорите теперь, что задачка - из матанализа, а не из физики. Тогда тщательнЕе надо формулировать условия... [img:12743c97e6]images/smiles/icon_biggrin.gif[/img:12743c97e6]

AK70 · Чт окт 25, 2001 10:00 am

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Droma:
To Kisena
Спасибо за доставленное удовольствие, пока не могу найти слабое место,особенно понравился переход к функции с одной переменной.
<HR></BLOCKQUOTE>

she didn't explicitely used the fact that the function is continueous, so the proof might sound sort of icomplete [img:c0104004ff]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c0104004ff] but there's no weakness in her proof, actually.

Kisena · Чт окт 25, 2001 1:29 pm

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>
Наступит момент, когда эта окружность пройдет по дуге большого круга, т.е. в нашей системе это будет экватор. Любые две точки на этой окружности имеют равную температуру.
<HR></BLOCKQUOTE>
Откуда сие следует? Имея в виду, что в Вашем доказательстве начальная точка берется произвольно, Вы доказали, что температура точек на [b:47b5ba2a17]любой[/b:47b5ba2a17] большой окружности постоянна. Рассматривая все меридианы, выводим, что функция является постоянной. Т.е. согласно Вам, любая непрерывная функция на сфере - константа. Не слишком ли сильное утверждение?
<BLOCKQUOTE>quote:<HR>
she didn't explicitely used the fact that the function is continueous, so the proof might sound sort of icomplete but there's no weakness in her proof, actually.
<HR></BLOCKQUOTE>
Непрерывность, конечно, использовалась. Перечитайте доказательство.

Greg Smilikoff · Пт окт 26, 2001 12:25 pm

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Mak_Sim:
Droma:
Говоря "температурный экватор" я не имел в виду экватор географический. В моем ответе это линия равных температур, проходящая по дуге большого круга.
<HR></BLOCKQUOTE>

Где б такую найти ... [img:3575c7f182]images/smiles/icon_smile.gif[/img:3575c7f182]
Хотя термический экватор есть - 7 крадусов северной широты