Паучок на резинке (повтор?)

[Deynekin]

Вроде бы, эта задача уже предлагалась, но найти её никак не могу. Кто помнит-знает, дайте, пожалуйста, ссылку; для остальных начнём заново:

На гвоздике, к которому одним концом привязана резинка, сидит паучок; противоположный конец резинки тянут с постоянной скоростью U. В момент, когда длина резинки равна L, паучок начинает бежать по ней с постоянной скоростью v относительно резинки(*).
("Буквоедам": резинка однородная, не рвётся; гвоздь тоже крепко сидит в основе. Паучок своей малой массой на характер растяжения резинки не влияет.)
Вопросы:
1. При каком соотношении скоростей U и v паучок добежит до противоположного конца резинки? Сколько времени ему для этого понадобится?
2. Какую работу при этом произведёт паучок?

(*) Для тех, кто опасается, что в случае медлительного паучка ему "шаговым напряжением" может порвать промежность, предлагается вместо паучка рассматривать колесо, катящееся без проскальзывания с постоянной угловой скоростью.

[Uffish]

Здесь я ее задавал

viewtopic.php?f=15&t=70507

[Deynekin]

Здесь я ее задавал
viewtopic.php?f=15&t=70507

За ссылку спасибо.
Только, позвольте, как это "я", если в той ссылке (08 Jan 2005), как видим, задача поставлена от имени Dimchik'а, а у Вас и ник-имя, и эстерьер на фото, и Joined-дата совсем другие?.. Впрочем, на самоё задачу это не влияет.

Но к тому разговору есть замечание. Там каждый пришёл со своим решением, зажатым в кулаке, но кулак-то не разжал. Так, показали какие-то обрывочки результата, да и то для случая замороженных констант (1 метр, 1 метр/сек, ...) и всё обсуждение свелось к: "е" - "нет, не е, а е-1". - Как говорил Корейко, "так дела не делаются"; не приемлю я этот multiple-choice подход в таких разговорах.

Нужна, скажем так, "формула", с выводом. Тогда и игра параметров видна будет, тогда и понимание и обсуждение (а не: "ой, спешил-описался") возникнут. Может, и несколько подходов-решений всплывёт (напр., АССА на какое-то "геометрическое решение" намекал - ну как же не интересно?). Не говоря уж о том, что и тем, кто задачу не решил, польза выйдет: увидят, как же всё-таки...

Конечно, каждый считает по-своему, но я думаю, что тема так и осталась незакрытой. К тому же и новый вопрос выскочил, уже динамический и на такой уж эпигонский: какую работу должен совершать экипаж, чтобы поддерживать свою скорость отн. растягивающейся дороги постоянной?
Так что, рано пока в землю штык втывать. Но дальнейшее - на усмотрение громады.

[vaduz]

(*) Для тех, кто опасается, что в случае медлительного паучка ему "шаговым напряжением" может порвать промежность, предлагается вместо паучка рассматривать колесо, катящееся без проскальзывания с постоянной угловой скоростью.

Сдается мне, что про колесо вы погорячились...

[denys]

[Deynekin]

Сдается мне, что про колесо вы погорячились...

-"Все под Богом ходим", всякое бывает. Но пока не вижу причин то своё мнение менять.
Не могли бы Вы свой намёк расширить до содержательного пояснения?

[vaduz]

Колесико с резиночки же свалится...

[Deynekin]

Колесико с резиночки же свалится...

А кто Вам мешает выдумать порох непромокаемый?

[Иоп]

Странно... У меня получается, что при любых положительных скоростях паук доползет. Условия записывал так:
[center]d(X/L)/dt = V/L,[/center]
или так:
[center]dX/dt = X*U/L + V[/center]
где L = Lo + U*t (переменная длина)
X - координата паука
Решение дает:
[center]X(t) = (U*t+Lo)*ln([U*t/Lo]+1)*V/U[/center]
Время, за которое паук доползает:
[center]t = (Lo/U)*[e^(U/V)-1][/center]

Вот сейчас сижу и думаю, почему паук может не доползти... По идее, если паук останавливается посреди дороги, его X/L не будет меняться. Если он будет ползти, то X/L будет расти, т.к. проскальзывание отутствует и его скорость определяется относительно точки сцепления с веревкой. Чем ближе паук к цели, тем меньше прирост оставшегося расстояния, с которым ему предстоит бороться... Получается, что на словах он должен доползти при любой V>0. Где-то я все-таки ошибаюсь...

Edit: исправил грамматические ошибки по мере сил.

[Deynekin]

Странно...
......
Получается, что на словах он должен доползти при любой V>0. Где-то я все-таки ошибаюсь...

Нет, Вы не ошибаетесь: Ваши результаты верны, и паучок доползёт всегда. Ну, а то, что первый вопрос был сформулирован как "при каких соотношениях скоростей..." - считайте, это был небольшой подвох.
Правда, я пока не понял обоснования Вашего первого уравнения, если Вы действительно начинали прямо с него, но это уже, похоже, мои прорблемы. Наверное, по этой же причине у меня на решение и ушло времени побольше чем "минуты".

Кстати, задача записывается гораздо компактнее (элегантнее), если ввести "постоянную Хаббла" H = U/L, и время отсчитывать от "момента большого взрыва" t0 = -1/H (а ещё лучше - и измерять в единицах 1/H, т.е. ввести время τ = 1 + t*H). Причины для такой терминологии очевидны, выводы из решения задачи в этих терминах - тоже (релятивистские эффекты пока вспоминать не будем).

А теперь последнее: как подсчитать работу, затрачиваемую на поддержание постоянной скорости отн. "дороги"? Иными словами, в начале движения кинетическая энергия паучка была mV**2/2, а в конце - m*(V+U)**2/2. - Какую часть из разности этих величин совершил сам паучок?

[Иоп]

Правда, я пока не понял обоснования Вашего первого уравнения, если Вы действительно начинали прямо с него, но это уже, похоже, мои прорблемы. Наверное, по этой же причине у меня на решение и ушло времени побольше чем "минуты".

Сначала я решил задачу, пользуясь
[center]dX/dt = X*U/L + V[/center]
Но из-за "подвоха" я решил, что ошибся и попытался сформулировать условия по-другому:
[center]d(X/L)/dt = V/L,[/center]
Идея была в том, что X/L сохраняется при отсутствии движения, что позволяет убрать X*U/L из дифуравнения. Понятно, что производная d(X/L)/dt не будет равна просто V, поэтому я ввел "коэффициент масштабирования", 1/L.

На оба решения у меня ушло несколько часов. Правда, само составление уравнений занимало не более 10 минут, но вот над их решением мне пришлось потрудиться. К счастью, под рукой были были мои старые конспекты по математике, что очень помогло.

Что ж, спасибо, Deynekin за добрую весть (что решение верно). Буду решать вторую часть.

[vaduz]

... в начале движения кинетическая энергия паучка была mV**2/2, а в конце - m*(V+U)**2/2. - Какую часть из разности этих величин совершил сам паучок?

Всю, если изобрести непромокаемый порох.

[Deynekin]

Сначала я решил задачу, пользуясь
dX/dt = X*U/L + V
Но из-за "подвоха" я решил, что ошибся и попытался сформулировать условия по-другому:
d(X/L)/dt = V/L,
Идея была в том, что X/L сохраняется при отсутствии движения, что позволяет убрать X*U/L из дифуравнения. Понятно, что производная d(X/L)/dt не будет равна просто V, поэтому я ввел "коэффициент масштабирования", 1/L.

Я не сразу заметил, что у Вас и у меня L - это не одно и то же (моё прежнее L - это Ваше Lo), теперь всё гораздо понятнее.

Неясно только, как Вы надеялись получить другой ответ, всего лишь переформулируя задачу: при условии dL/dt = U оба Ваши уравнения эквивалентны.
Правда, если смысл уравнения dX/dt = U*(X/L) + V понятен, то смысл d(X/L)/dt = V/L так и остался для меня тёмным даже после "пояснений". Вы молодец, если можете начинать решение прямо с таких постулатов.

Я поступал несколько иначе, мне уравнение пришлось выводить:
Помечаем каждую точку резинки её "лагранжевой координатой" ξ, равной её расстоянию от начала координат в начальный момент: 0<=ξ<=Lo и вводим х(ξ,t) - положение каждой из этих точек в процессе движения: х(ξ,0)=ξ, и dх(ξ,t)/dt - скорость движения точки ξ (NB: производная частная!)

Пусть теперь Х(t) - координата паучка. Когда он пробегает точку ξ, т.е. когда
Х(t) = х(ξ,t),

для его "абсолютной скорости" имеем соотношение
dX(t)/dt = dх(ξ,t)/dt + V

Учитывая, что закон движения каждой из лагранжевых точек известен:
х(ξ,t) = ξ + (ξ/Lo)*U*t,

исключаем ξ и приходим к Вашему первому уравнению:
dX/dt = (U/Lo)*X/(1 + (U/Lo)*t) + V

здесь специально выделены ранее упоминавшиеся "естественные параметры задачи" -
"постоянная Хаббла" H = (U/Lo) и время τ = 1 + (U/Lo)*t, в этих терминах получается совсем красиво: dX/dτ = X/τ + V/H

Дальше - просто: берём лопату и копаем... Но ¨уже понятно, что "по-школьному" задачу не решить.

А теперь о затрачиваемой работе (массу паучка принимаем равной единице).
Сила, которую приходится преодолевать паучку равна d(dX/dt)/dt^2,
а проходимое им самим за время dt расстояние - V*dt.
Стало быть, (при V=const интегрируется легко) произведённая им работа равна
(V*dX/dt)конечн - (V*dX/dt)начальн =...= U*V

-Wow! какой красивый результат: за счёт выбора малой собственной скорости V (а мы уже знаем, что добежать/доползти можно при любом V) затраты энергии могут быть невелики (правда, процесс может получиться очень долгим, но тут уж, кто чем богат - кто энергией, а кто временем...).

Конечно, будучи крепким задним умом, можно написать:
(U+V)^2/2 - v^2/2 = U^2/2 + U*V
и (зная уже ответ!) сказать: ну тут и так всё ясно: первый член - это энергия, полученная от езды на движущемся конце дороги, а вторая, выходит, произведена самим паучком...
Но у меня отваги на такое не хватило, пришлось выводить...

Тут и сказке конец.

[vaduz]

первый член - это энергия, полученная от езды на движущемся конце дороги

Вот тут собака и порылась.
Уточните, как дорога передает энергию колесику.
Изобретите, так сказать, непромокаемый порох.

[Deynekin]

Вот тут собака и порылась.
Уточните, как дорога передает энергию колесику.

-Эхо: Уточните, что Вам здесь неясно.
На этом пока можно и остановиться, но, чтобы такая бодяга не продолжалась бесконечно, добавлю ещё несколько слов.

vaduz, Ваше поведение - распространённое форумное незамысловатое жульничество: смесь шуточек с не очень вежливыми требованиями, и (пока) ничего больше. Так поступают те, кому по существу сказать нечего, но очень хочется "отметиться".

Хотите, чтобы получился разговор, покажите, что Вы сами сделали - вот как Иоп поступил,- тогда и будет что обсуждвть. А так на Ваше "Уточните, как..." правильный ответ пока только такой: "Вот я сейчас всё брошу и примусь для Вас ...уточнять".

Изобретите, так сказать, непромокаемый порох.

А про "непрокомаемый порох" - это было о Вашем "соскавивающем с резинки колёсике": у Вас "соскакивало" - Вам и изобретать. - Поразительно, как легко "шутники" теряют нить, если им отвечать в их же тоне.