Забыла математику

stockman · Post by **stockman** » 11 Jan 2001 22:16

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Sas2:
[i:1119e43cc7]Во первых, по моим прикидкам, все корни действительные.
Во вторых, кубическое получаем путем деления многочлена четвертой степени
x^4-8x+x+6 на x-1 (так как х=1 является корнем) и получаем x^3+x^2-7x+6 = 0
Уравнение третей степени уже можно решить. [/i:1119e43cc7]<HR></BLOCKQUOTE>

Слушайте, мож я глупый по жизни или уже ничего не помню в математике, но почему у вас вышло не
[x²]² + [b:1119e43cc7]8x²[/b:1119e43cc7]+x+6

а

[x²]² + [b:1119e43cc7]8x[/b:1119e43cc7] +x+6

Во гадость- заменяет круглые скобки на смайлики [img:1119e43cc7]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:1119e43cc7]

[This message has been edited by stockman (edited 11-01-2001).]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 11 Jan 2001 22:25

oops

[This message has been edited by COPOKA (edited 11-01-2001).]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 11 Jan 2001 22:37

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Mak_Sim:
[i:4c7d15d8a2]Исходная система:
X^2 + Y = 4
X + Y^2 = 10
Сложим уравнения:
X^2 + X + Y^2 + Y = 14
X(X+1) + Y(Y+1) = 2+12 = 1*2 + 3*4
Отсюда X = 1 и Y = 3[/i:4c7d15d8a2]<HR></BLOCKQUOTE>

Если это ответ на мой вопрос об аналитическом решении, то я не это имела в виду. (да-да-да, я признаЮ, что очень плохо выразилась). Я хотела увидеть остальные три пары корней не в приближенном виде типа х = - 3.57, а в точном типа х = -1/3+(97+3sqrt3687)^1/3 и т.д. I'm just curious. Mathematica выдает ответы с i, но они очевидно приводятся как-то к действительному виду.

Впрочем, может быть, Mak_Sim просто приводил решение. Между прочем, если бы ребенок брал алгебру, я бы сказала, что это решение - как раз то, чего зотел учитель. Irena так и не сказала, в каком ребенок классе и что берет. Но поскольку речь шла об интегралах-логарифмах, класс явно не ниже precalculus, и тогда наше приближенное решение с помощью калькулятора, возможно, будет ОК. Если же это - college level курс в какой-нибудь супершколе, тогда, наверное, хотят увидеть честное решение и ответ с корнями-степенями. Ну, об этом тут уже старшие товарищи позаботились и e-mail послали.

stockman · Post by **stockman** » 11 Jan 2001 22:37

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by COPOKA:
[i:7276ded02b] потому что у = 4 [b:7276ded02b] - [/b:7276ded02b] х^2[/i:7276ded02b]<HR></BLOCKQUOTE>

И это здорово [img:7276ded02b]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:7276ded02b]
Итак подставляем y=4-x² в x+y²=10 и получаем:

[b:7276ded02b]x + [4-x²]² =10[/b:7276ded02b]

или

[x²]² + [b:7276ded02b]8x²[/b:7276ded02b]+x+6=0

но уж никак не

[x²]² + [b:7276ded02b]8x[/b:7276ded02b]+x+6=0

ведь если мне память не изменяет:

[b:7276ded02b][a-b]²[/b:7276ded02b] есть ни что иное, как

[b:7276ded02b]a² - 2ab + b²[/b:7276ded02b]

Или я не в ладах с памятью?

COPOKA · Post by **COPOKA** » 11 Jan 2001 22:52

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by stockman:
[i:411b1580ff] И это здорово [img:411b1580ff]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:411b1580ff]
Итак подставляем y=4-x? в x+y?=10 и получаем:

[b:411b1580ff]x + [4-x?]? =10[/b:411b1580ff]

или

[x?]? + [b:411b1580ff]8x?[/b:411b1580ff]+x+6=0

но уж никак не

[x?]? + [b:411b1580ff]8x[/b:411b1580ff]+x+6=0

ведь если мне память не изменяет:

[b:411b1580ff][a-b]?[/b:411b1580ff] есть ни что иное, как

[b:411b1580ff]a? - 2ab + b?[/b:411b1580ff]

Или я не в ладах с памятью?
[/i:411b1580ff]<HR></BLOCKQUOTE>

Это я на ваш + вместо - среагировала [img:411b1580ff]http://www.privet.com/ubb/wink.gif[/img:411b1580ff] , а вы вовсе о степени спрашивали... [img:411b1580ff]http://www.privet.com/ubb/redface.gif[/img:411b1580ff] Я вообще-то свою реплику сразу стерла (когда это осознала), но недостаточно быстро [img:411b1580ff]http://www.privet.com/ubb/frown.gif[/img:411b1580ff] . Х там, конечно, в квадрате, а у Sas2 в этом месте просто описка, решают-то все они правильное уравнение (если замечание Ольги учли...)

Кстати, я пыталась - в -4х выделить bold, но не вышло почему-то. Ясно, я косую черту не ту всадила. Пора на покой...

[This message has been edited by COPOKA (edited 11-01-2001).]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 11 Jan 2001 22:58

Давайте-ка make it clear.

Многочлен 4 степени: x^4-8x^2+x+6 ;
после деления на x-1 получается многочлен 3 степени x^3+x^2-7x-6

Все согласны?

stockman · Post by **stockman** » 11 Jan 2001 23:08

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by COPOKA:
[i:bebc7b2f4b] Это я на ваш + вместо - среагировала [img:bebc7b2f4b]http://www.privet.com/ubb/wink.gif[/img:bebc7b2f4b] , а вы вовсе о степени спрашивали... [img:bebc7b2f4b]http://www.privet.com/ubb/redface.gif[/img:bebc7b2f4b] Я вообще-то свою реплику сразу стерла, но недостаточно быстро [img:bebc7b2f4b]http://www.privet.com/ubb/frown.gif[/img:bebc7b2f4b] х там, конечно в квадрате, но это просто описка, решают-то они правильное уравнение (если замечание Ольги учли...) [/i:bebc7b2f4b]<HR></BLOCKQUOTE>

Не ну конечно же [x²]²[b:bebc7b2f4b]-[/b:bebc7b2f4b]8x²+x+6=0

Это я торможу уже. Увлекся отображением степени в браузере и накорябал плюс вместо минуса.

Ну вроде до этого момента то дошел, но что то не догоняю как это получившееся уравнение привели к кубическому [b:bebc7b2f4b]x³+x²-7x-6 = 0[/b:bebc7b2f4b], а точней как добыли делитель x-1

На свалку мне видать уже пора [img:bebc7b2f4b]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:bebc7b2f4b]

[This message has been edited by stockman (edited 11-01-2001).]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 11 Jan 2001 23:11

Делитель добыли, найдя одно из решений х=1, у=3. Нашли его примерно как Mak_Sim описал:
Исходная система:
X^2 + Y = 4
X + Y^2 = 10
Сложим уравнения:
X^2 + X + Y^2 + Y = 14
X(X+1) + Y(Y+1) = 2+12 = 1*2 + 3*4
Отсюда X = 1 и Y = 3

[This message has been edited by COPOKA (edited 11-01-2001).]

SergeyVZ · Post by **SergeyVZ** » 11 Jan 2001 23:13

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by COPOKA:
[i:c3f15317d2]...
Система уравнений представляет из себя одну нормальную параболу и одну параболу, лежащую на боку, эти параболы пересекаются в 4х точках...
[/i:c3f15317d2]<HR></BLOCKQUOTE>
Here is graphical solution after transformation of the system to the next one (just add and substract original equations one to/from other):

x^2 + y^2 = 14 - (x+y)
x^2 - y^2 = (x-y) - 6

The roots are the intersection points of red circle and blue hyperbolas. These lines correspond to the intersection of two surfaces at zero-plane z = 0 in 3D-space:

F1(x,y,z=0) = x^2 + y^2 +(x+y) - 14 = 0
F2(x,y,z=0) = x^2 - y^2 -(x-y) + 6 = 0

However, it doesn't provide an exact solution... but could serve as an illustration [img:c3f15317d2]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:c3f15317d2] Good luck ! [img:c3f15317d2]http://www.privet.com/ubb/wink.gif[/img:c3f15317d2]
[img:c3f15317d2]http://i8.yimg.com/8/eea56e43/h/edcdf6ac/Privet0.GIF[/img:c3f15317d2]

[This message has been edited by SergeyVZ (edited 11-01-2001).]

Sas2 · Post by **Sas2** » 12 Jan 2001 00:11

Nu da opechatka vushla

COPOKA · Post by **COPOKA** » 12 Jan 2001 09:54

Irena,

На случай если метод Горнера вашему ребенку не понравится, мой ребенок нашел следующие численные решения на графическом калькуляторе. Я думаю, в школе это должно сойти, потому что точные выражения, похоже, получаются очень nasty - маловероятно, что учитель ожидал их получить от детей. Калькулятор TI-89, метод следующий: Система уравнений представляет из себя одну нормальную параболу и одну параболу, лежащую на боку, эти параболы пересекаются в 4х точках. Понятно, что "лежачую" параболу (которая не является функцией) придется разбить на две полу-параболы и рассматривать отдельно. Картинка выводятся на экран, делается zoom-in на каждую из точек пересечения, и у калькулятора запрашиваются координаты этой точки. Честно говоря, я думаю, что проще было бы зарядить в калькулятор вышеуказанное ур-е 4-й степени и найти координаты точек пересечения графика с осью Х, но мой ребенок почему-то предпочел мучить параболы. Итак, результат:

х = 1 у = 3 (du-uh!)
х = - 0.8411 у = 3.2926
х = 2.5926 у = - 2.7217
х = -2.7515 у = - 3.5709

Счастливой сдачи finals! (мы уже [img:dd125e6256]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:dd125e6256] )

COPOKA · Post by **COPOKA** » 12 Jan 2001 09:58

P.S. Если ваш учитель все-таки хотел аналитического решения, поделитесь потом опытом, как оно выглядело!

Lis · Post by **Lis** » 12 Jan 2001 18:48

Э-э-х, где мои 17 лет ;):

x²+y = 4
x+y² = 10

сложим:
x²+x+y²+y=14 => (x+½)²+(y+½)²=14½

подстановка: x+½=qsinp, y+½=qcosp => q²(sin²p+cos²p)=14½ => q²=14½ => q1=+sqrt(14½), q2=-sqrt(14½) т.о. мы нашли [b:94167be482]2 решения нашей системы для одной из переменных.[/b:94167be482]

1-е уравнение, перепишется как:

(sqrt(14½)sinp-½)²+sqrt(14½)cosp-½ = 4

или

(-sqrt(14½)sinp-½)²-sqrt(14½)cosp-½ = 4

что является ничем иным, как квадратным уравнением, относительно sinp ( или cosp - как угодно ;) )

Решив их, получим все 4 решения нашей системы.

[This message has been edited by Lis (edited 12-01-2001).]

Pavel · Post by **Pavel** » 12 Jan 2001 19:40

[b:00a80d98ab]X(X+1) + Y(Y+1) = 2+12 = 1*2 + 3*4
Отсюда X = 1 и Y = 3[/b:00a80d98ab]

Что-то я не понял... как это мы решили?

------------------
С уважением, Павел.

[This message has been edited by Pavel (edited 12-01-2001).]

Sas2 · Post by **Sas2** » 12 Jan 2001 19:50

Нет ваша пара уравнений не правильная, каждое уравнение для своего корня. То есть
(sqrt(14½ )sinp-½ )²+sqrt(14½ )cosp-½ = 4
это ур-е для корня q1=+sqrt(14½ ), а

(-sqrt(14½ )sinp-½ )²-sqrt(14½ )cosp-½ = 4

для корня q2=-sqrt(14½ )
И эфективно это ур-е опять 4-ой степени. Если не верите то попробуйте решить.

[This message has been edited by Sas2 (edited 12-01-2001).]

[This message has been edited by Sas2 (edited 12-01-2001).]

Sas2 · Post by **Sas2** » 12 Jan 2001 19:56

Максимум к чему это уравнение сводиться - это кубическое уравнение.

Minor · Post by **Minor** » 12 Jan 2001 23:50

Irena! Благополучно экзамен-то для вашего ребенка закончился? У него такая мощная здесь группа поддержки образовалась.... [img:2a2cfc0c07]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:2a2cfc0c07]

stockman · Post by **stockman** » 13 Jan 2001 00:15

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Pavel:
[i:0c5f823181][b:0c5f823181]X(X+1) + Y(Y+1) = 2+12 = 1*2 + 3*4
Отсюда X = 1 и Y = 3[/b:0c5f823181]

Что-то я не понял... как это мы решили?

[/i:0c5f823181]<HR></BLOCKQUOTE>

Во-во и я про тоже [img:0c5f823181]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:0c5f823181]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 13 Jan 2001 00:49

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by stockman:
[i:44e36b970c] Во-во и я про тоже [img:44e36b970c]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:44e36b970c][/i:44e36b970c]<HR></BLOCKQUOTE>

Ну, в России это бы обозвали "подбором", а тут - "creative approach".
В общем, вы видите, что у вас два произведения пар последовательных чисел в сумме дают 14 :

X(X+1) + Y(Y+1) = 14

и начинаете думать, а какие это могли бы быть числа. И придумываете! Не так уж много и перебирать придется, даже если прямо в лоб.

Вообще, в здешних школах это очень любят и даже квадратные уравнения сначала решают примерно так. Factoring называется. Иногда учитель решает, что про дискриминант вообще нечего детям голову забивать... Я потому и писала выше, что если класс на уровне алгебры - это решение будет принято на ура...

COPOKA · Post by **COPOKA** » 13 Jan 2001 01:05

А можно было вычесть из второго уравнения первое:

X + Y^2 - X^2 - Y = 6
(Y^2 -X^2) - (Y - X) = 6
(Y + X - 1) (Y - X) = 6

Ну а теперь, если мы надеемся, что целые решения имеются, догадайтесь с 3 раз, какие два числа дают в произведении 6? Опять применим немного creativity внутри скобок, и вуаля!
Или, если не любим creativity, проверим все системы типа
Y + X - 1 = -2
Y - X = -3

Впрочем, Sas2, наверное, более строгим путем решал.

И все же, Irena: я все любопытствую, как же выглядят остальные три ответа? С корнями и степенями, но без мнимых единиц.

И когда будут известны результаты экзамена, поделитесь...

[This message has been edited by COPOKA (edited 13-01-2001).]

COPOKA · Post by **COPOKA** » 13 Jan 2001 01:08

Oops, нажала Reply вместо Edit... [img:343c71d414]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:343c71d414]

[This message has been edited by COPOKA (edited 13-01-2001).]

Svetat · Post by **Svetat** » 13 Jan 2001 14:37

Остальные решения, почученнык используя Newton's iterative technique

X1 2.5926 Y= -2.7217
X2 -2.7515 Y= -3.5709
X3 1.0000 Y= 3.0000
X4 -0.8411 Y= 3.2926

COPOKA · Post by **COPOKA** » 13 Jan 2001 20:58

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Svetat:
[i:234b7a819f]Остальные решения, почученнык используя Newton's iterative technique

X1 2.5926 Y= -2.7217
X2 -2.7515 Y= -3.5709
X3 1.0000 Y= 3.0000
X4 -0.8411 Y= 3.2926
[/i:234b7a819f]<HR></BLOCKQUOTE>

Cвета, мне покоя не дают ТОЧНЫЕ решения (с корнями и степенями). А приюлиженные - это конечно... Графический калькулятор то же самое выдает.

Irena · Post by **Irena** » 14 Jan 2001 08:10

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by COPOKA:
[i:1e42496a3e] Cвета, мне покоя не дают ТОЧНЫЕ решения (с корнями и степенями). А приюлиженные - это конечно... Графический калькулятор то же самое выдает.

[/i:1e42496a3e]<HR></BLOCKQUOTE>
Продолжаю после выходных, хочу немного разложить по-полочкам:

1. Решения приближённие, с пом. компютера, калькуллятора и т.п. не подходят.

2. Нужны решения только аналитические, полученние с пом. всего возможного мат.аппарата. (почему-то мне всё время хочется применить решение для систем диф. уравнений в частных производных [img:1e42496a3e]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:1e42496a3e]!, но прошли те времена, когда я это всё легко проделывала).

3. 1-й корень можно найти так:
после подстановки y=4-x^2 получаем:
x^4-8x^2+x+6=
x^4-x^2-7x^2+14x-7-13x+13=
x^2(x^2-1)-7(x-1)^2-13(x-1)=
(x-1)(x^2(x+1)-7(x-1)-13)=
(x-1)(x^3+x^2-7x-6)=0 ==>
x=1 + уравнение 3-й степени. Дальше не знаю.

То Minor: в Вашем решении речь идет только о zелых делителях свободного члена, или я не полностю разобралась в той cxеме Горнера, что вы мне прислали?

То SergeyV: После сложения двух уравнении получаем x^2+y^2+x+y-14=0 - уравнение еллипса ?, может это даёт мне что-нибудь в смысле корнеи?

4. С ребёнком всё в полном порядке. Опытние родители меня поймут: оказалось, что во-первыx решение нужно другу из параллел'ного класса, а во-вторых, только на понедельник, "срочно" мне было сказано, чтобы я не затянула решение [img:1e42496a3e]http://www.privet.com/ubb/frown.gif[/img:1e42496a3e]. Ничего не поделаешь, это наши дети [img:1e42496a3e]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:1e42496a3e]...). Так что теперь речь идет о чистой и незапятнанной коммерzией математике.

stockman · Post by **stockman** » 14 Jan 2001 11:01

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by COPOKA:
[i:4de0fb62d0] Ну, в России это бы обозвали "подбором", а тут - "creative approach".
.....
[/i:4de0fb62d0]<HR></BLOCKQUOTE>

Ага, я так и предполагал. Выкладок не видно, а решение откуда то взялось. Конечно же подбором.