Табуретка и горбатый пол.

[Deynekin]

Жалко, разговор как-то враз обрезало, и партисипанты разбежались. А ведь задачка-то красивая - на мой взгляд, по крайней мере. И продолжения-обобщения к ней напрашиваются - в хорошей задаче в этом-то всегда самое вкусное. Ну вот, например, такие:

-Если, согласно задаче, на любой непрерывной ("достаточно большой") поверхности можно разместить вершины произвольного квадрата, то хочется верить, что уж с прямоугольником это тем более должно получиться: смягчили жёсткое условие равенства сторон...

-Следующий шаг: А как насчёт произвольного выпуклого четырёхугольника с диагоналями одинаковой длины?..

И, гулять, так гулять! - задача-то уж больно топологическая: от поверхности требуется только непрерывность, и понятие длины как будто даже и не используется вовсе. Так может быть, в последнем варианте можно даже и от равенства диагоналей отказаться и таким образом прийти просто к произвольному четырёхугольнику, а?..

PS Да, и всё-таки: не приведёт ли кто "строгое математическое" оформление той эвристики, которая была высказана в предыдущем посте (будем двигать, сохраняя контакт трёх ножек, и стараясь поменять диагонали местами)? - Без такого завершающего аккорда считать задачу решённой как-то неуютно. (Ну, или какое другое "строгое доказательство" - тоже welcome!)

[venco]

Deynekin, задачка довольно простая, но было интересно почитать заблуждения других.
Давайте ещё, посложнее.

[vaduz]

Deynekin, задачка довольно простая, но было интересно почитать заблуждения других.
Давайте ещё, посложнее.

А решение же где?

[venco]

Deynekin уже почти всё сказал.

Ставим 3 ножки на пол, 4-ая висит. Пометим точки, где стоят ножки. Теперь поворачиваем на 90 градусов вокруг центра так чтобы две стоящие ножки попали на 2 из помеченных точек, при этом 3-я будет около того места, где сначала висела 4-ая.
Если бы при повороте 4-ая ножка ни разу не коснулась пола, то теперь, подняв 3-ю на высоту, на которой раньше висела 4-ая, мы должны были получить исходное положение, т.к. квадрат симметричен, но т.к. 3-ю ножку мы подняли, то и 4-ая тоже поднялась над полом, а в начальном положении ножка в этом месте касалась пола.
Значит в процессе поворота 4-ая ножка таки коснулась где-то пола и стала опорной. Ввиду непрерывности пола был момент, когда все четыре ножки касались пола.
QED
Для строгости доказательства надо строго определить функцию типа высоты 4-ой точки в зависимости от угла поворота. Эта функция при 0 - положительна, а при 90 градусах - отрицательна, значит на этом интервале есть точка, в которой эта функция равна нулю.

Квадратность стола существенна для подобного доказательства, про прямоугольный стол надо думать ещё, и возможно, что в этом случае решения и нет.

[vaduz]

Ставим 3 ножки на пол, 4-ая висит.

Как выбирается место, куда ставить?
Ведь есть случаи, когда приведенный алгоритм не работает.

[venco]

Прямоугольный стол тоже можно на месте развернуть так, чтобы он стоял всеми четырьмя ножками.
Проведём вертикальную прямую v через некую точку пола C. Теперь для всех плоскостей, проходящих через прямую v отметим по две точки X и Y пересечения плоскости и пола таких, что расстояние |XY| равно диагонали стола, а середина отрезка XY лежит на прямой v. Множество таких точек образует на полу кривую s, близкую к окружности.
Теперь определим функцию h(X) - координату середины отрезка |XY| на прямой v. Если h(X) - константа, то стол будет стоять всеми ножками независимо от поворота. Иначе h(X) будет иметь минимум (в точке A) и максимум (в точке B). Если мы поставим стол одной диагональю на отрезок с началом в A, то вторая диагональ точно будет выше, а если повернём первую диагональ до точки B, то вторая диагональ точно станет ниже. Из непрерывности найдётся в промежутке между этими положениями такое, в котором все четыре ножки стоят на полу.
QED

[venco]

Ставим 3 ножки на пол, 4-ая висит.

Как выбирается место, куда ставить?

Любое.

Ведь есть случаи, когда приведенный алгоритм не работает.

Поясни.

[Deynekin]

DeynekinДавайте ещё, посложнее.

-Нэту! по крайней мере, пока...

О самом решении: спасибо, всё хорошо и правильно, на мой взгляд. Правда, несколько громоздко. При этом одна только чисто техническая зазубрина осталась: как формализовать поворот нашего квадрата? Ведь центр гуляет, ориентация - тоже... Т.е. цель - всё свести к зависимости от угла поворота, вот только сам этот "угол поворота" описать трудновато. Хотя на интуитивном уровне вопросов не возникает.

Послесловие: итак, табуретку всегда можно поставить так чтобы не шаталась. Причём от любого места, где вы её сначала поставили на три ноги вовсе необязательно уходить далеко: устойчивое положение найдётся путём поворота, причём на угол не более 90 градусов!

[Polar Cossack]

Если бы при повороте 4-ая ножка ни разу не коснулась пола, то теперь, подняв 3-ю на высоту, на которой раньше висела 4-ая, мы должны были получить исходное положение, т.к. квадрат симметричен...

Поверхность - тоже?

[venco]

Если бы при повороте 4-ая ножка ни разу не коснулась пола, то теперь, подняв 3-ю на высоту, на которой раньше висела 4-ая, мы должны были получить исходное положение, т.к. квадрат симметричен...

Поверхность - тоже?

Нет.

[venco]

При этом одна только чисто техническая зазубрина осталась: как формализовать поворот нашего квадрата? Ведь центр гуляет, ориентация - тоже... Т.е. цель - всё свести к зависимости от угла поворота, вот только сам этот "угол поворота" описать трудновато. Хотя на интуитивном уровне вопросов не возникает.

В случае с квадратом можно в принципе поворачивать по любой траектории. Если в начале было ниже, а в конце - выше, то где-то между должен быть ноль.
В случае с прямоугольником пришлось придумать такую траекторию, чтобы в момент прохода через ноль у нас был нужный прямоугольник.

[venco]

Да, если стол - не прямоугольный, то, похоже, одного вращения недостаточно. Я этот случай рассматривать не берусь.

[vaduz]

Ведь есть случаи, когда приведенный алгоритм не работает.

Поясни.

1. Ставим квадрат на плоский пол.
2. Проводим из центра квадрата два луча через две соседние вершины квадрата
3. Сдвигаем вниз часть пола внутри угла, включая лучи
4. Сдвигаем в прежнее положение один из лучей и все, что под ним

Получаем ситуацию, когда при любом угле поворота одна и только одна из сторон квадрата "висит" внутри "дырки".
Пол при этом непрерывен.

[venco]

Согласен, что есть проблема с определением непрерывности пола, т.к. в зависимости от направления вертикали одна и та же поверхность пола может быть и непрерывной, и с разрывами. Поэтому задача решается для случая, когда пол не слишком неровен. Точное определение этому условию дать трудно.
Давай ограничимся полом без ступенек.

Кстати, в твоём случае задача как раз решается, и даже без поворота.
Обе ножки над вырезом опускаются вниз и упираются в стенки ступеньки.

[Vasilisa B]

1. Аксиома стереометрии:
В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.
2. Четвертая точка пространства (пол) может находится за пределами этой плоскости.
3. Если точка находится за пределами плоскости проходящей через три остальные точки пространства, то надо найти другую точку пространства-пола, которая будет в той же плоскости.

Общий ответ: Если в пространстве-поле есть какие угодно точки, то такую точку можно найти с помощью стула.

Частный случай 1: Если пол вмеру ровный, т.е. пространство-пол является плоскостью, с небольшими отклонениями, то их (пол и плоскость) можно условно совместить (вариант с поворотом стула).
Частный случай 2: Если пол очень горбатый и площадь его мала, то совместить не получится (шкаф в хрущёвке) и придётся подкладывать стирательную резинку под одну из ножек.

P.S. Бутылку приготовленную для здачи экзамена по стереометрии присылайте мне!

[Vasilisa B]

Deynekin, задачка довольно простая, но было интересно почитать заблуждения других. Давайте ещё, посложнее.

+1

P.S. Вобще такие вещи в науку надо бросать.

[vaduz]

Согласен, что есть проблема с определением непрерывности пола, т.к. в зависимости от направления вертикали одна и та же поверхность пола может быть и непрерывной, и с разрывами. Поэтому задача решается для случая, когда пол не слишком неровен. Точное определение этому условию дать трудно.
Давай ограничимся полом без ступенек.

Кстати, в твоём случае задача как раз решается, и даже без поворота.
Обе ножки над вырезом опускаются вниз и упираются в стенки ступеньки.

Нифига, специально же сделано, чтобы две не влезло. Надо стол как минимум двигать.
Кстати, решение невозможно даже если нет ступеньки, а есть просто наклон.

[venco]

В случае с прямоугольником пришлось придумать такую траекторию, чтобы в момент прохода через ноль у нас был нужный прямоугольник.

Не совсем так. В случае с прямоугольником хитрое построение требовалось, чтобы найти два положения, в которых одна диагональ находится выше и ниже другой диагонали. А двигать из одного положения в другое можно также по любой траектории.

[venco]

Нифига, специально же сделано, чтобы две не влезло. Надо стол как минимум двигать.

Неважно, ступенька приравнивается к разрыву. Согласен?

Кстати, решение невозможно даже если нет ступеньки, а есть просто наклон.

А вот здесь поподробнее, плз.

[Vasilisa B]

Нифига, специально же сделано, чтобы две не влезло. Надо стол как минимум двигать. Кстати, решение невозможно даже если нет ступеньки, а есть просто наклон.

В теории возможно. На практике невозможно.
Однако, на практике есть еще один фактор - гибкость стула. Т.е. если на этот стул посадить достаточно толстую Жэ, то стул прогнётся достаточно, чтобы четвертая ножка достало "неровную плоскость - пол".

[vaduz]

Нифига, специально же сделано, чтобы две не влезло. Надо стол как минимум двигать.

Неважно, ступенька приравнивается к разрыву. Согласен?

Нет, это разрыв в производной, т.е. приравнивается к негладкости.

Кстати, решение невозможно даже если нет ступеньки, а есть просто наклон.

А вот здесь поподробнее, плз.

.

Показалось...

[venco]

Нифига, специально же сделано, чтобы две не влезло. Надо стол как минимум двигать. Кстати, решение невозможно даже если нет ступеньки, а есть просто наклон.

В теории возможно. На практике невозможно.

На практике тоже возможно. Попробуйте. Только убедитесь сначала, что ножки стола или стула находятся в одной плоскости. Чаще именно стол неправильный.
Ну и на практике людям хочется чтобы стул/стол был повёрнут именно так, а не чтобы не качался без стёрки.

[Deynekin]

"Как, право, того: совсем не поймешь натуры, как побольше в нее углубишься!"

В общем, на текущий момент всё было ясно:
Качание происходит вокруг диагонали; в качестве критерия и меры качания можно выбрать угол, на который "висящая" диагональ может быть повёрнута от касания одним концом до касания другим. Осталось рассмотреть поведение функции этого угла от параметра вдоль траектории, по которой движутся ножки в процессе перемены их положения... Поверхность непрерывная, траектории непрерывные, качание вокруг сразу обеих диагоналей невозможно (уж две-то ножки на бесконечном полу всегда можно разместить! - доказывается легко: проведём сферу с центром в...)
- Ну и т.д...

И тут по некотором размышлении начинаются проблемы.

Да, две ножки всегда можно поставить, начиная с произвольной точки, а вот три - уже нет.
Пример: "пол" - тонкий конус, "произвольную точку" выбираем в вершине.
Следовательно, не всегда можно осуществить движение, когда три ножки касаются "пола". - Мои извинения и поздравления Merilica, которой я было возражал, что "в случае трёх ног говорить не о чём"

Дальше - хуже. Оказывается, даже если изначально всё-таки смогли табуретку поставить на три ноги А, В и С, не всегда можно, не тряя контакта с поверхностью, перетащить даже две ножки: хотим сторону АВ перетащить в положение ВС.
Пример: вырежем небольшой кусок бублика так, чтобы его поверхность стала односвязной - это будет наш "пол". Разместим точки А и В на противоположных краях разреза - ясно, что из такого положения эту связанную пару точек не очень-то по поверхности и подвигаешь (если ещё вообще сдвинуть удастся!).

Вот поэтому-то я и просил привести "строгое математическое" оформление эвристики, основанной на словах вроде "переместим из одного положения в другое..." - Как видим из примеров, многие изначальные "очевидности" оказались несостоятельными.

И в то же время, нутром чувствуется, что задача в своей основе верная. Нужно только слишком общее положение "непрерывности пола" сузить. Например, помимо топологической непрерывности потребовать ещё и однозначности: "пол - однозначная непрерывная ф-ция от (Х,Y)"... Но, как показывает пример узкого конуса, и этого маловато, нужно ещё как-то формализовать возможность постановки на три ноги в любом случае. - Вопрос к громаде: как?

Кстати, всякая поверхность, которая приходит в голову при слову "пол", т.е. пол без кавычек, как раз такова, что предложенное ранее решение (ползти, сохраняя контакт трёх ножек с поверхностью...) оказывается верным.

И еще, в сторону.
При совмещении-несовмещении фигур обычно безразлично, какая из них "правильная", а какая "неправильная". В Нашем случае есть плоский ("правильный") квадрат и кривой ("неправильный") пол, и в общем случае совмещения нет: табурет качается. И тем не менее можно найти устойчивое положение. Но если бы пол оказался плоским ("правильным"), а основание табурета - нет, то уже никакое "столоверчение" не помогло бы! - Ужли это не интересно? какой в этом глубинный смысл?