Айтишники на пенсии

[АццкоМото]

Ох, не верю я что есть что-то похожее в вероятности. Positive режет слух.

поскольку меня на гугле не забанили: https://math.stackexchange.com/question ... -variables. ИЧСХ, слово positive явно выделено и речь идет как раз и сходимости. дальше не читал, лень

[Физик-Лирик]

Раз тут уж такая пьянка про статистику пошла сформулирую свой вопрос.

Одна из математических формулировок Центральной Предельной Теоремы:
Let X1, X2,... be i.i.d. (independent identically distributed) random variables such that E(X1) = mu (mean), Var(X1) = sigma^2. Let Sn = X1 + X2 + ... + Xn.
If n-> infinity then (Sn - Mean(Sn))/sqrt(Var(Sn)) converges in distribution to N(0, 1), i.e. normal distribution with zero mean and unit variance.

На практике более часто работают с такой формулировкой:
Given a population with mean = mu and SD = sigma. One takes "many" random samples of size n from this population. For each sample one computes its sample mean and then one considers sampling distribution of sample means. If n -> infinity then distribution of sample means converges in distribution to normal distribution N(mu, sigma^2/n), i.e. normal distribution with mean = mu (i.e. population mean, which is a consequence of the Law of Large Numbers) and
SD = sigma/sqrt(n).

Понятно, что и в первой формулировке все можно свести к N(mu, sigma^2/n).
Теперь вопрос. Как вторую формулировку свести к первой? В том смысле, что где эти случайные величины X1, X2, ....
У меня есть свое представление, но хочется услышать мнение экспертов.

[kyk]

а особенно - аспирантками (too bad, no shorts allowed in chemistry lab), но кто ж мне даст [поруководить]

езжай в урюпинский политех. совецкая кандидатская есть

[АццкоМото]

На практике более часто работают с такой формулировкой:
Given a population with mean = mu and SD = sigma. One takes "many" random samples of size n from this population. For each sample one computes its sample mean and then one considers sampling distribution of sample means. If n -> infinity then distribution of sample means converges in distribution to normal distribution N(mu, sigma^2/n), i.e. normal distribution with mean = mu (i.e. population mean, which is a consequence of the Law of Large Numbers) and
SD = sigma/sqrt(n).

я не иксперд, но population же предполагается потенциально большим, но конечным, не? как тогда sample size n может стремиться к бесконечности? (т.е. потенциально, конечно может, ничто не мешает, но тогда и формулировка должна существенно отличаться)

[Komissar]

про игру в "слоника" понял, про теорему не понял. Химия - правая рука физики, а лирикой тебя ударят по башке.

[АццкоМото]

про теорему не понял. Химия - правая рука физики

А все потому что:

[Физик-Лирик]

я не иксперд, но population же предполагается потенциально большим, но конечным, не? как тогда sample size n может стремиться к бесконечности? (т.е. потенциально, конечно может, ничто не мешает, но тогда и формулировка должна существенно отличаться)

Предполагается, что популяция очень большая (бесконечность). Тогда число выборок тоже ну очень большое.
Если взять курсы статистики попроще, то везде будет именно вторая формулировка. В математических книгах - первая.
Просто нигде не объясняют как две формулировки связаны.

[Физик-Лирик]

про теорему не понял. Химия - правая рука физики

А все потому что:

"Потому что" уже объяснено в "Дубинушке". Не в смысле русской народной, а студенческой хороводной. Какие у кого варианты пели? У нас про филолога и химика. Ну сами знаете, то они такие.

[ksi]

Раз тут уж такая пьянка про статистику пошла сформулирую свой вопрос.

Одна из математических формулировок Центральной Предельной Теоремы:
Let X1, X2,... be i.i.d. (independent identically distributed) random variables such that E(X1) = mu (mean), Var(X1) = sigma^2. Let Sn = X1 + X2 + ... + Xn.
If n-> infinity then (Sn - Mean(Sn))/sqrt(Var(Sn)) converges in distribution to N(0, 1), i.e. normal distribution with zero mean and unit variance.

На практике более часто работают с такой формулировкой:
Given a population with mean = mu and SD = sigma. One takes "many" random samples of size n from this population. For each sample one computes its sample mean and then one considers sampling distribution of sample means. If n -> infinity then distribution of sample means converges in distribution to normal distribution N(mu, sigma^2/n), i.e. normal distribution with mean = mu (i.e. population mean, which is a consequence of the Law of Large Numbers) and
SD = sigma/sqrt(n).

Понятно, что и в первой формулировке все можно свести к N(mu, sigma^2/n).
Теперь вопрос. Как вторую формулировку свести к первой? В том смысле, что где эти случайные величины X1, X2, ....
У меня есть свое представление, но хочется услышать мнение экспертов.

Где такие странные формулировки цпт, в какой науке, мне правда интересно? В популяционной генетике?

Если по делу, то вторая формулировка - это совсем ужасно, но понять о чем речь, конечно, можно. Ужасно - потому что не бывает сходимости к чему то, что само изменяется, зависит от n. Предел он на то и предел. А тут N(mu, sigma^2/n), что явно зависит от n. Безграмотно совсем.

Но в принципе, тут написано таким эзоповым языком, что sample mean (e.g. (x_1 + ... + x_n)/n имеет примерно нормальное распределение N(mu, sigma^2/n). Это в некотором смысле правильно потому что (x_1 + ... + x_n)/n = mu + [(x_1+...+x_n - n*mu)/sqrt(n)]/sqrt(n). Член в квадратных скобках сходится (уже по правильной формулировке цпт которая под номером 1) к N(0,sigma^2) так что исходная sample mean примерно равна mu + N(0,sigma^2))/sqrt(n) = N(mu, sigma^2/n) по свойствам нормального распределения.

[Komissar]

хватит муру гнать на форуме!
Лучше подскажите, на каком курсе окажется больше деушек в коротких шортиках: применение контуперов в химии или химия как будущее of mankind?

[Физик-Лирик]

Где такие странные формулировки цпт, в какой науке, мне правда интересно? В популяционной генетике?

Если по делу, то вторая формулировка - это совсем ужасно, но понять о чем речь, конечно, можно. Ужасно - потому что не бывает сходимости к чему то, что само изменяется, зависит от n. Предел он на то и предел. А тут N(mu, sigma^2/n), что явно зависит от n. Безграмотно совсем.

Но в принципе, тут написано таким эзоповым языком, что sample mean (e.g. (x_1 + ... + x_n)/n имеет примерно нормальное распределение N(mu, sigma^2/n). Это в некотором смысле правильно потому что (x_1 + ... + x_n)/n = mu + [(x_1+...+x_n - n*mu)/sqrt(n)]/sqrt(n). Член в квадратных скобках сходится (уже по правильной формулировке цпт которая под номером 1) к N(0,sigma^2) так что исходная sample mean примерно равна mu + N(0,sigma^2))/sqrt(n) = N(mu, sigma^2/n) по свойствам нормального распределения.

Ответ на первый вопрос: везде. Например, t-test на этом построен.

Не понимаю, что непонятно. Бывают разные виды сходимости. Convergence in probability, convergence almost surely, convergence in the mean (L^p convergence), convergence in distribution.
В данном случае говорится о сходимости in distribution. Надо объяснить, что это такое?
Суть предельной теоремы в то, что показывается сходимости именно к нормальному распределению.

[ksi]

Где такие странные формулировки цпт, в какой науке, мне правда интересно? В популяционной генетике?

Если по делу, то вторая формулировка - это совсем ужасно, но понять о чем речь, конечно, можно. Ужасно - потому что не бывает сходимости к чему то, что само изменяется, зависит от n. Предел он на то и предел. А тут N(mu, sigma^2/n), что явно зависит от n. Безграмотно совсем.

Но в принципе, тут написано таким эзоповым языком, что sample mean (e.g. (x_1 + ... + x_n)/n имеет примерно нормальное распределение N(mu, sigma^2/n). Это в некотором смысле правильно потому что (x_1 + ... + x_n)/n = mu + [(x_1+...+x_n - n*mu)/sqrt(n)]/sqrt(n). Член в квадратных скобках сходится (уже по правильной формулировке цпт которая под номером 1) к N(0,sigma^2) так что исходная sample mean примерно равна mu + N(0,sigma^2))/sqrt(n) = N(mu, sigma^2/n) по свойствам нормального распределения.

Ответ на первый вопрос: везде. Например, t-test на этом построен.

Не понимаю, что непонятно. Бывают разные виды сходимости. Convergence in probability, convergence almost surely, convergence in the mean (L^p convergence), convergence in distribution.
В данном случае говорится о сходимости in distribution. Надо объяснить, что это такое?
Суть предельной теоремы в то, что показывается сходимости именно к нормальному распределению.

Я непонятно объяснил, что имеет в виду второе утверждение и как оно относится к первому? Что именно непонятно?

[АццкоМото]

я не иксперд, но population же предполагается потенциально большим, но конечным, не? как тогда sample size n может стремиться к бесконечности? (т.е. потенциально, конечно может, ничто не мешает, но тогда и формулировка должна существенно отличаться)

Предполагается, что популяция очень большая (бесконечность). Тогда число выборок тоже ну очень большое.
Если взять курсы статистики попроще, то везде будет именно вторая формулировка. В математических книгах - первая.
Просто нигде не объясняют как две формулировки связаны.

Ещё раз, не иксперд и ТВИМС не любил.
Но КМК нельзя так. Если популяция бесконечна, мы не сможем найти даже среднее.
Нужно увязывать размер популяции как зависимость от размера выборки. Т.е. при стремлении n к бесконечности меняется популяция. А это уже чёрное шаманство.

Чтобы это все имело смысл, нужно чётко оговаривать многие допущения, видимо, их тупо срезали до "попроще"

[Физик-Лирик]

Мне кажется я начинаю понимать, что именно вы не понимаете . Вы ищете X1, X2, ... во втором определении. Они там есть, они как бы подразумеваются под словом "population" хотя, конечно, это не точно математически

Вот именно. Хочу точное определение. Вынь да полож X1, X2, ... Вот такой я нехороший.
Комми вон по девушкам сохнет, а я все о своём. Сами со своей статистикой начали. А я что, человек слабый, безвольный ... поддался искушению математики.

[Физик-Лирик]

Ещё раз, не иксперд и ТВИМС не любил.
Но КМК нельзя так. Если популяция бесконечна, мы не сможем найти даже среднее.
Нужно увязывать размер популяции как зависимость от размера выборки. Т.е. при стремлении n к бесконечности меняется популяция. А это уже чёрное шаманство.

Чтобы это все имело смысл, нужно чётко оговаривать многие допущения, видимо, их тупо срезали до "попроще"

Ну почему среднее найти не можем? Если известно распределение, ещё как можем.