Задачки

Sas2 · Post by **Sas2** » 09 Mar 2001 23:20

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>
Во втором случае направление сил противоположно направлению сил в первом случае. В этом случае шар является неравновесным положением.
<HR></BLOCKQUOTE>

To chto on ne yawlyaetsya ravnovesnum polovheniem i konyu ponyatno. Vprochem kak i to chto kub ne ya vlayetsya ravnovesnum polovheniem. A vot dokazat' chto energiya shara bol'she energii kuba eto trudnee.

Vlad7 · Post by **Vlad7** » 09 Mar 2001 23:21

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by vlad3333:
[i:5679906f5d] Поэтому, я ее здесь помещаю. Завтра в это же время помещу решение. Если кто хочет поупражняться, пожалуйста.
[/i:5679906f5d]<HR></BLOCKQUOTE>

Мы сегодня должны увидеть решение задачи о колебаниях мыльного пузырька сделанное vlad3333. Я не вызывался решать эту задачу. Для решения сложных задач требуется некоторое время, тратить время на решение однотипных задач неинтересно, мне больше нравятся состязаться в решении уникальных задач. Отвечу честно, что за тот небольшой промежуток времени, который мне удалось выкроить для решения задачи, мне не удалось доказать тот факт, что можно при колебаниях мыльного пузыря пренебречь градиентом толщины пленки при колебаниях. Интуитивно понятно, что можно этим пренебречь. Но из приведенного мною примера об электроемкости видно, что интуитивное предположение не всегда верно, так как емкость не всегда возрастает при увеличении площади. Если пренебречь изменением градиента толщины, то задача с мыльным пузырем сводится к уже решенной мною задаче о колебаниях капли ртути. Посмотрим, насколько удачно справился с этим vlad3333.

Dilbert · Post by **Dilbert** » 09 Mar 2001 23:33

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Vlad7:
[i:bb01d188fe] Если пренебречь изменением градиента толщины, то задача с мыльным пузырем сводится к уже решенной мною задаче о колебаниях капли ртути. [/i:bb01d188fe]<HR></BLOCKQUOTE>

Тоже неправильно. У капли несжимаемой жидкости, каковой безусловно является ртуть, не может быть сферически-симметричных мод колебаний, как у пузырька в предложенной задачке...

Sas2 · Post by **Sas2** » 09 Mar 2001 23:52

Gradient tolschiny plenki eto kruto. Ya by za odnu takuyu frazu dvoyku stavil. Ya vse bolee razocharovyvayus' vo Vlad7.

Zaphod · Post by **Zaphod** » 10 Mar 2001 01:22

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Sas2:
[i:d64058c22d]Gradient tolschiny plenki eto kruto. Ya by za odnu takuyu frazu dvoyku stavil. Ya vse bolee razocharovyvayus' vo Vlad7.[/i:d64058c22d]<HR></BLOCKQUOTE>

В принципе, если рассматривать двумерное пространство, поверхность пузырька, то ничего еще. Но автору мало градиента толщины. У автора фигурирует "изменение градиента толщины". Тут естественно задаться такой философской мыслью - автор имеет в виду изменение градиента толщины во времени или по поверхности пузыря?

В силу того, что пузырь является, в математическом смысле, компактом, а так же, видимо, в силу теоремы о причесывании ежа, вряд ли можно ожидать, что градиент толщины будет постоянным на поверхности, за исключением случая тождественного нуля. Откуда следует, что отбросить изменение градиента толщины можно только в одном случае - если оного градиента нету.

Теперь - насчет изменения градиента во времени. Тут я пас. Наш собеседник предлагает свернуть из пузырька подкову, чтобы, очевидно, смоделировать магнит, но - электрический.

Хотелось бы представить себе условия, в которых заряженный пузырек будет изворачиваться в подкову. В земных условиях я это наблюдал только в Санта Крузе, когда мужик надувает большой мыльный пузырь, а его ветер сдувает, и получается почти подкова.

Кстати, там еще была вторая задача - что будет, если автомобиль сжать в десять раз методом, лучшим чем jpeg?

vlad3333 · Post by **vlad3333** » 10 Mar 2001 03:33

Как и обещал, приведу решение, которое вполне по силам советскому школьнику поступающему в МФТИ, НГУ, МГУ или другой приличный вуз. Попрошу не критиковать стиль, пишу в спешке.

1. Итак потенциальная энергия электрического поля заряженной сферы радиуса R и зарядом Q есть Q**2/(2R), потенциальная
энергия сил поверхностного натяжения 2*А*S=8*pi*A*R**2. Я учел, что пузырь имеет две поверхности (наружную и внутреннюю), и для каждой -потенциальная энергия А*S. Очевидно, что полная потенциальная энергия
U(R )=Q**2/(2R)+ 8*pi*A*R**2 (1)
имеет минимум – точку устойчивого равновесия R0. Чтобы не пользоваться производными, скажем что в минимуме потенциальной энергии силы растягивающие поверхность пузырька и сжимающие его равны, отсюда получим (любители могут рассматривать элемент поверхности и вычислять силы):
Q**2/(2R0**2)= 16*pi*A*R0. (2)
Отсюда равновесный радиус пузырька
R0=[Q**2/(32*pi*A)]**1/3). (3)
Дальше можно найти или силу действующую на элемент поверхности при изменении радиуса пузырька или изменение потенциальной энергии пузырька. Я предпочитаю второе. Представив R=R0+dR, и разлагая выражение для U(R), используя 1/(1+x)=1-x+x**2-...) , получим
U=U(R0)+U(R0)*(dR/R0)**2=U(R0)+24*pi*A*dR**2, (4)

U(R0)=24*pi*A*R0**2=3*Q*[Q*A*pi/2]**(1/3).

Как видно потенциальная энергия пропорциональна dR**2, значит возвращающая сила пропорциональна смещению как у
гармонического осциллятора (F~ -48*pi*A*dR). Кинетическая энергия пузырька в этих колебаниях равна М*Vrad**2/2. Полная энергия
М*Vrad**2/2+24*pi*A*dR**2 = const.
Сравнивая это выражение с выражением для энергии осциллятора (m*v**2/2+k*x**2/2=const, w**2=k/m), находим частоту колебаний:
W**2=48*pi*A/M (5)
То же самое, естественно получится если рассматривать уравнение для ускорения элемента поверхности.

2. Емкость. Это как раз тот самый случай, на который намекал по-моему tengiz, когда геометрия проводника зависит от заряда, и поэтому емкость тоже. В этом случае под емкостью проводника надо понимать заряд который нужно на него поместить, чтобы ИЗМЕНИТЬ его потенциал на единицу: C= dQ/dV. При этом нужно именно смотреть на реакцию проводника.
a) Очевидно, что если заряд дергать очень быстро, с частотой много больше, чем W, то поверхность не будет успевать сдвигаться и радиус пузырька будет оставаться постоянным, так что он будет себя вести как жестская сфера и емкость будет C=R0(Q).

b. Если же заряд вносить медленно, за время много большее чем период колебаний, так что размер пузырька будет успевать
подстраиваться под равновесный, то емкость будет другая. В этом случае V=Q/R0, dV=dQ/R0-Q*dR0/R0**2 =dQ/(3R0) . Как видно в этом случае емкость равна
C=3R0 (выросла в 3раза!)
Вывод на который я собственно хотел обратить внимание, что емкость НЕ ЖЕСТКОГО проводника может зависеть как от величины заряда, так и от того как быстро мы изменяем потенциал или заряд. Я думаю, что эта часть довольно сложная для школьника, хотя случаи которые я взял и не требуют сложной математики.

[This message has been edited by vlad3333 (edited 09-03-2001).]

Dilbert · Post by **Dilbert** » 10 Mar 2001 05:31

Все бы хорошо, но емкость - не производная заряда по потенциалу, а по-прежнему их отношение. Так что емкость пузыря в любой момент равна его радиусу. Будет радиус меняться в зависимости от заряда, соответственно и емкость изменится.

vlad3333 · Post by **vlad3333** » 10 Mar 2001 05:49

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Dilbert:
[i:722f8316b3]Все бы хорошо, но емкость - не производная заряда по потенциалу, а по-прежнему их отношение. Так что емкость пузыря в любой момент равна его радиусу. Будет радиус меняться в зависимости от заряда, соответственно и емкость изменится.[/i:722f8316b3]<HR></BLOCKQUOTE>
Представьте себе, что вы имеете черный ящик, в котором находится наш пузырь, и к которому вы подводите заряды проводничком. Вы не знаете ни заряда на нем ни его радиуса. Все что вы можете это посмотреть его реакцию. И по реакции определить.
Если система жесткая, то задача линейная и вы обнаружите емкость равную радиусу. Если же радиус меняется, то и реакция будет другая, потому что потенциал проводника будет меняться быстрее или медленнее, чем потенциал жесткого проводника.

Vladimir Patryshev · Post by **Vladimir Patryshev** » 10 Mar 2001 06:02

Вы меня глубоко поразили вашим шариком. А где это... где давление внутри и снаружи? Или у нас особый шарик, внутри вакуум и снаружи тоже?

Dilbert · Post by **Dilbert** » 10 Mar 2001 06:03

vlad3333, Вы идете по неверному пути своего тезки с меньшим номером. Нехватало только начать говорить о производной градиента или упаковке пузыря в jpeg. Пока имеет место квазистационарное приближение (т.е. токами смещения можно пренебрегать), потенциал вокруг пузыря радиуса R c зарядом Q кулоновский, Q/r, откуда все дальнейшее и вытекает. В частности, то, что электростатическая энергия есть CU**2/2 = Q**2/2R.

Zaphod · Post by **Zaphod** » 10 Mar 2001 09:29

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Vlad7:
[i:c811ad8c25]Решение задачи о емкости шара и куба, как мне показалось, не всем понятно. Я готов ответить тем, кто считает, что проведенное мною решение неверное или неполное.

На http://www.00homepage.com/vivlev/Moto.tif находится изображение, которое в .tif имеет размер 33.502 K, а после моего упаковщика размер получается 21065. Это пока абсолютный рекорд среди упаковщиков. По крайней мере, я просмотрел все упаковщики, которые я нашел в Инете. Желающие побить рекорд есть? [/i:c811ad8c25]<HR></BLOCKQUOTE>

Вопрос первый. Где ваше "проведенное решение"? Где? Никто его что-то не видит.

Вопрос второй. Насчет упаковщика. Вам сгодится упаковщик, который Вашу конкретную картинку упакует в 8 байт? Про остальные - ничего не гарантирую.

(Хинт. Метод упаковки - CRC-32.)

Sas2 · Post by **Sas2** » 10 Mar 2001 09:37

Кстати Vlad7 стрелки классно перевел с физики на цифровые изображения. То есть, если я правильно понимаю, решить задачки предложенные vlad3333 он не может.

Vlad7 · Post by **Vlad7** » 10 Mar 2001 15:48

С задачей о мыльном пузыре я был невнимателен. К тому же, пока я отходил на кухню один из моих приятелей ради шутки поменял сочетание «сферически - симметричных колебаний» на «сферически - несимметричных колебаний» в cache страницы. Так что сказанное мною относиться к несколько другой задаче. А сочетание «изменение градиента» это просто опечатка. Просто задачи по вполне понятным причинам в праздники решать тяжелее.

Vlad7 · Post by **Vlad7** » 10 Mar 2001 15:52

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Dilbert:
[i:97004042be]Если же капля ртути может принимать только определенную форму, то в этом случае нам важно знать, как меняется энергия системы при переходе из одной формы в другую. В первом случае при переходе от куба к шару высвобождается энергия, то есть система может совершать некоторую работу, а во втором случае мы должны затратить некоторую энергию, чтобы превратить куб в шар.[/i:97004042be]
Мы должны совершить работу против сил поверхностного натяжения, чтобы увеличить поверхность капли несжимаемой жидкости, потому что при равном объеме поверхность шара меньше, чем куба. В какую сторону при этом изменяется электростатическая энергия, по-прежнему неясно - вершины мы удаляем друг от друга, центры граней сближаем. Still arm waving, no proof, no solution.<HR></BLOCKQUOTE>

Я специально привел пример с силой гравитационного взаимодействия. Тело под воздействием гравитационных сил стремится превратиться из куба в шар. Я полагаю, что это очевидно. Хотя его вершины приближаются к центру куба, а центры граней удалятся от центра шара. Чем отличается силы электростатического взаимодействия одноименных зарядов от гравитационных сил? Знаком и коэффициентом. Если бы были заряды не могли перемещаться внутри тела (равномерно заряженный диэлектрик), то очевидно, что в этом случае энергия куба меньше энергии шара. По сравнению с гравитационным взаимодействием здесь меняется знак силы, которую нужно приложить, чтобы одно тело преобразовать в другое. Если же мы заряды сделаем незакрепленными, то в этом случае перемещение зарядов с центра грани к вершине только уменьшит потенциальную энергию тела.

Vlad7 · Post by **Vlad7** » 10 Mar 2001 16:02

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Zaphod:
[i:6c861704c0] Вам сгодится упаковщик, который Вашу конкретную картинку упакует в 8 байт? Про остальные - ничего не гарантирую.

(Хинт. Метод упаковки - CRC-32.)[/i:6c861704c0]<HR></BLOCKQUOTE>

Зачем 8 байт? Можно и 0 байт. По имени файла вызывается копия содержимого файла, хранящегося в внутри тела программы. Задача на самом деле не содержит никакого подвоха. Просто моя программа пакует одни файлы на 50% плотнее, а другие всего на 10% плотнее, чем аналогичные программы.