Почему площадь измеряется квадратами?

[Helmsman]

Как писал выше, интересно, что если обобщить это измерение площади на об'ем (в размерностях 3 и более), и искать эталон для покрытия без дыр среди правильных многогранников, то похоже, что куб соответствующей размерности - единственный вариант.

Так и есть: http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=200900503

[Deynekin]

Что-то не просматривается "филосовская глубина" вопроса, хотя вопрос задан с явным намёком на неё.

Во-первых, при измерении нужно (чрезвычайно желательно), чтобы при покрытии измеряемой фигуры эталонными мерами этот "паркет"можно было бы выкладывать без дыр между мерами; уже по одной этой причине пяти- и прочие восьмиугольники не годятся.
А во-вторых, квадрат выбрали из удобства; если угодно, измеряйте в треугольниках — никакой революции не произойдёт. Но тогда найдётся кто-нибудь, кто спросит: "А почему именно треугольники?" — Вот и вся "философия", вроде той, с какого конца разбивать яйцо: с острого или тупого? (Хотя я лично предпочитаю с тупого, т.к. именно с этой стороны находится воздушный пузырь яйца.)

[лопарь]

Хозяин подвел меня к куче скатанных в трубки циновок. - Выбирайте любую, - сказал он. - К каждой циновке прикреплен ярлык, на котором написаны ее размеры. Я знал, что площадь нашей каюты равна десяти квадратным метрам, и поэтому выбрал циновку с пометкой: "10 к. метров". Вернувшись на судно, я тотчас отправился в каюту, чтобы обновить подарок... Но что это? Циновка в каюте не умещалась! Сперва я подумал, что по ошибке захватил не ту циновку... Нет! На ярлыке стояло все то же: "10 к. метров". Я заново измерил каюту - 10 квадратных метров! Тогда я решил проверить площадь циновки, и, можете себе представить, она оказалась равной 31, 4 квадратного метра. Вот так так! Наш хозяин, видимо, здорово просчитался. Я бросился на палубу. Судно уже отчаливало, но я все же успел крикнуть стоявшему на берегу плетельщику, что он, мол, ошибся и подарил мне циновку в три с лишним раза большую. Тот что-то отвечал, только я не все расслышал. - Все верно! - кричал он. - У нас... измеряют... не в квадратных... а в круговых... За единицу площади принят... Тут мощный гудок "Быстроходной улитки" окончательно заглушил его голос, оставив меня в полном недоумении.

[aml5691]

Что-то не просматривается "филосовская глубина" вопроса, хотя вопрос задан с явным намёком на неё.

Во-первых, при измерении нужно (чрезвычайно желательно), чтобы при покрытии измеряемой фигуры эталонными мерами этот "паркет"можно было бы выкладывать без дыр между мерами; уже по одной этой причине пяти- и прочие восьмиугольники не годятся. [...]

Я тоже об этом выше писал. Однако 5- и 8- угольники не удовлетвoряют этому требованию, если требовать, что эталон должен быть правильным многоугольником (т.е. выпуклым многоугольником со сторонами равной длины и с одинаковыми углами при всех вершинах). Если не требовать правильности многоугольников, то таким требованиям может соответствовать специально сконструированный многоугольник с любым количеством сторон.

Требование о том, что площадь нужно замостить эталонами без дыр между эталонами - на самом деле довольно полезное. Оно означает, что, если использовать все более мелкие копии данного эталона (скажем, 1/4, 1/16, 1/64 и т.д.), то данную площадь можно измерить произвольно точно. Ошибка в измерении площади будет только из-за неточного покрытия вблизи границы и (для достаточно гладкой границы) такая ошибка будет стремиться к нулю с измельчением эталона. Если эталоны покрывают площадь с дырами между ними, то ошибка измерения не будет уменьшаться при измельчении эталона.

[perasperaadastra]

Если ударяться в "философию", то нужно углубляться в математические аксиомы. Площадь получается произведением образующих векторов на синус угла, который для ортогональных векторов равен единице. То есть, на первый взгляд, все сводится к свойствам ортогональности. С другой стороны, как быть с непрямоугольными системами координат? Представим, что я знаю исключительно полярные координаты и не имею не малейшего понятия, как перейти к прямоугольным координатам и что с ними делать. Если я знаю только полярные координаты (радиус и угол), то какое определение я дам площади? Понятно, что получиться должно то же самое, что и в прямоугольных координатах (площадь это инвариант), но я-то про них ничего не знаю!

Если я, по аналогии с прямоугольными координатами, умножу радиус на угол, то получу длину дуги, а не площадь. Чтобы получилась площадь я должен использовать не радиус-координату r, а половину ее квадрата, R=0.5r^2. Зато теперь длина дуги имеет квадратный корень R! Кто из математиков занимался "экзотическими" координатами? Гаусс? Какое определение он давал площади?

[aml5691]

Если ударяться в "философию", то нужно углубляться в математические аксиомы. Площадь получается произведением образующих векторов на синус угла, который для ортогональных векторов равен единице. То есть, на первый взгляд, все сводится к свойствам ортогональности. С другой стороны, как быть с непрямоугольными системами координат? Представим, что я знаю исключительно полярные координаты и не имею не малейшего понятия, как перейти к прямоугольным координатам и что с ними делать. Если я знаю только полярные координаты (радиус и угол), то какое определение я дам площади? Понятно, что получиться должно то же самое, что и в прямоугольных координатах (площадь это инвариант), но я-то про них ничего не знаю!

Если я, по аналогии с прямоугольными координатами, умножу радиус на угол, то получу длину дуги, а не площадь. Чтобы получилась площадь я должен использовать не радиус-координату r, а половину ее квадрата, R=0.5r^2. Зато теперь длина дуги имеет квадратный корень R! Кто из математиков занимался "экзотическими" координатами? Гаусс? Какое определение он давал площади?

Если приходится жить в каких-либо криволинейных координатах и нужно вычислять площадь/об'ем/длину кривых, то нужно знать метрический тензор во всех точках пространства. В частности, на плоскости, метрический тензор для полярных координат (r, phi) в прямоугольной ортонормированоой системе координат имеет компоненты g = [1, 0; 0, r^2] (в обозначениях MATLAB/Octave). Бесконечно малый элемент площади в полярных координатах dS = sqrt(det(g))*dr*dphi = r*dr*dphi, и площадь произвольной области получается интегрированием r*dr*dphi по ней.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Метрический_тензор

https://ru.wikipedia.org/wiki/Полярная_ ... _координат

[perasperaadastra]

Оперирование понятием метрического тензора подразумевает знание о существовании иных координатных систем и о возможности перехода к ним с использованием касательных пространств. А если все, что мне доступно, это полярная система координат, я смогу определить лишь частный случай этого тензора — и то исходя из моего интуитивного определения длины как определенной комбинации координат. А до этого определения длины (или площади) я должен каким-то образом додуматься исходя из моего чувственного опыта. То есть нужно сделать то же самое, что сделал Евклид, с одной лишь разницей, что Евклид строил аксиомы для прямых (что эквивалентно работе с прямолинейными координатами), а мы имеем дело с кривыми. Получается геометрический подход Лобачевского?

[Deynekin]

Оперирование понятием метрического тензора подразумевает знание о существовании иных координатных систем и о возможности перехода к ним с использованием касательных пространств. А если все, что мне доступно, это полярная система координат, я смогу определить лишь частный случай этого тензора [... и т.д.]

Предлагаю расставить акценты иначе. Чувственный опыт — локомотив нашей интуиции, конечно, неоценимо сильный, но формально можно вполне и без него. В частности, длину вполне благополячно определяют довольно произвольным образом, требуя только выполнения трёх несложных условий: положительности, симметрии и неравенства треугольника — всё! Естественно, что при таком подходе ждать совпадения с чувственным опытом во всех случаях не приходится. Иными словами, теорему Пифагора можно не доказывать, отталкиваясь от уже имеющегося интуитивного понятия длины, а взять в качестве (одного из множества возможных!) определений расстояния. Более того, такой подход, будучи широким, оказывается очень плодотворным.

Более конкретно. Только потому, что геометрическое многообразие/пространство параметризировано (в каждой точке воткнут флажок с координатами точки) ещё ничего нельзя сказать ни о "кривизне пространства", ни о "криволинейности" такой системы координат, и ничего невозможно измерить. Если на это пространство теперь "набросить" — довольно произвольно! — метрический тензор (образно говоря, на каждый тот "флажочек" дописать компоненты тензора — в общем случае, меняющиеся от точки к точке), становится возможным это пространство метризировать — ввести в нём понятия угла, расстояния, площади...

Параллельно с этим всегда можно вводить к.-л. другие координаты — просто как фукции уже имеющихся (т.е. проблема "знания о существовании иных координатных систем" легко преодолима). При этом, разумеется, на каждом флажочке поменяются как координаты точки, так и компоненты метрического тензора (которые при таком переходе меняются по вполне определённому "тензорному" закону). И если удаётся найти такую новую систему координат, в которой метрический тензор в любой точке выглядит как единичная матрица (достаточно просто перестать зависеть от координат точки), говорят, что такое пространство эвклидово/плоское/не кривое. А самоё такую ситему называют прямолинейной; все же другие системы координат, в которых метрический тензор не констатна, суть криволинейные координаты в эвклидовом пространстве.

Естественно, при довольно произвольном задании поля метрического тензора нет гарантии, что некоторой заменой координат его можно всюду привести к матрице-константе. И если это таки "не получается" говорят, что такое пространство кривое. Естественно, дополнительно говорить о криволинейности ситем координат в нём уже смысла нет — в нём все системы "криволинейные".

А теперь важный интересный момент.
Оказывается, любое кривое пространства всегда можно "погрузить" в эвклидово пространство достаточно большой размерности — отнюдь не просто (n+1)-й, как нам ошибочно подсказывает наш чувственный опыт, основанный на n=1 и 2, а в общем случае заметно большей.
Это можно интерпретировать двояко: либо "кривой" метрический тензор исходного метрического пространства путём достаточного добавления размерности пространства можно расширить до "прямого" эвклидового тензора. Либо что эвклидов тензор достаточно большого пространства можно сузить до тензора, совпадающиго с имеющимся метрическим исходного пространства. Проще говоря, для всякого кривого пространства можно найти обнимающее его прямое/эвклидово пространство, из которого первое уже выглядит "объективно кривым".

Ну и последнее. Всё сказанное выше относится к ситуации, когда поле метрического тезора уже выбрано. Вспоминая, что произвол при выборе этого тензора очень велик, возвращаемся к относительности понятий кривое-прямое. Например, формально ничто не запрещает для любого многообразия метрический тензор задать матрицей-константой (сгодится любая симметричная положительно определённая), одним росчерком пера превратив его в "плоское". В реалности же на выбор метризации влияет желание, чтобы она была ещё и "естественной" — здесь мы возвращаемся к нашему чувственному опыту — после чего "кривое" и "прямое" занимают свои привычные нам места.

[MaximS]

Да потому что вычислить площадь квадрата проще всего!

[adb]

Систему координат какую будем использовать?