Паучок на резинке (повтор?)

[vaduz]

Мне не ясно, каким образом энергия будет передаваться колеску от резинки...
Точнее, каким образом резинка создаст силу, приложенную к центру колесика и направленную в сторону движения ленты.

[Иоп]

Хм... очень любопытный результат!
Если честно, я пока не смог до конца осмыслить метод; возможно, из-за того, что не вполне понимаю сам вопрос о работе. (Т.е. "чувственно" понимаю, а вот математически - нет).

Если я правильно помню, вычисление работы должно производится относительно инерциальных систем. Не смотря на то, что в системе с точкой отсчета "стена" паук движется с переменной скоростью (от V до U), в каждый отдельный момент времени мы можем считать связанную с ним систему инерциальной, памятуя об ускорении d^2x/dt2. Исходя из этого мы имеет два варианта для вычисления дифференциала пути:

1. В системе с т.о. "стена": dl=dx= (XU/L + V)*dt

2. В системах c т.о. "паук": dl=Vdt

Второй вариант дает W=UV, как было показано ранее.
Первый вариант, как я понимаю, даст (U^2)/2 + UV
Должен быть и третий вариант для того, чтобы получить (U^2)/2 в работе:

dl=XU/L*dt

Но вот на этом я теряю нить рассуждений и начинаю недоумевать по поводу физического смысла этого члена. Итак, работа это интеграл силы (ускорения) по пройденному расстоянию. Если мы рассматриваем фиксированную точку на веревке, то откуда берется ускорение, если скорость постоянна и пропорциональна U?

[Иоп]

Кажется, я начинаю понимать. Работа, связанная с растяжением веревки, вычисляется для всех точек, в которых побывает паук, отсюда и ускорение. Занятно!

[Deynekin]

вычисление работы должно производится относительно инерциальных систем.
...
Итак, работа это интеграл силы (ускорения) по пройденному расстоянию. Если мы рассматриваем фиксированную точку на веревке, то откуда берется ускорение, если скорость постоянна?

Требование инерциальности системы при вычислении работы вовсе не обязательно. Так, двигатель произвольным образом движущегося автомобиля производит одну и ту же работу (измеряемую, скажем, количеством сожжёного топлива) независимо от того, смотрим ли мы на него с обочины дороги или находимся внутри автомобиля. (Другое дело, что интерпретация того, на что пошла эта работа, с точки зрения различных наблюдателей различна, но отвлекаться на это сейчас не будем.)

Теперь насчёт ускорения. Очевидно, оно всё-таки должно быть: начали со скорости V, а закончили скоростью (V+U). Его только, может быть, увидеть непросто: каждая точки дороги движется с постоянной скоростью, скорость самого паучка тоже постоянна - откуда , вроде бы, быть ускорению?..
Но это то, что в гидродинамике назывется "конвективное ускорение": оно обусловлено перемещением от одной точки дороги/среды к другой, движущихся с различными скоростями - так, в частности, ускоряется жидкость при входе в сужающийся канал, даже если всё течение стационарно. Это ускорение равно градиенту скорости точек среды (он у нас есть!) на скорость пермещения по точкам среды (у нас это V).

Следовательно, если есть ускорение, должна быть и сила, его порождающая. Единственная сила в задаче, могущая это сделать, - это сцепление с дорогой, и она, разумеется, одна и та же, как с позиции неподвижного наблюдателя, так и для самого паучка. (Дальше вместо "паучка" и "резинки" буду говорить об "экипаже" и "дороге".)

При этом имеем две работы
- производимую самим экипажем (о ней-то и был вопрос): F*Vdt - произведение этой силы на расстояние , "отмотанное" по одометру экипажа; в экивалентных терминах: (момент силы на колесе)*(угол поворота колеса);
- и работу, совершаемую дорогой, тянущей экипаж с этой же силой (раз в той точке, где находится экипаж, приложена сила, дороге приходится потрудиться, чтобы продлжать своё движение "как ни в чём ни бывало").

Стоит отметить, что, если бы вместо "экипажа на растягивающейся дороге" имели бы задачу о "ракете в равномерно расширяющейся вселенной", второй работы бы не было (нет сцепления с дорогой!), и ракете для поддержания своей скорости пролёта встречных звёзд постоянной пришлось бы - увы! - затрачивать большую энергию, чем экипажу на растягивающейся дороге.

Кстати, полученный результат (U*V) ещё вот чем интересен. Пусть U<<V - например, случай мотоциклиста (V~100км/час) на дороге длиной 1 км, расширяющейся от нагрева утренним солнцем (U~1см/час). Казалось бы, чем больше V по сравнению с U, тем больше можно пренебречь расширением дороги, и тем точнее должен выполняться закон сохранения энергии. В то же время видим, что, чем больше V/U, тем большую дополнительную энергию, обусловленную расширением дороги, должен выполнять экипаж. Предлагаю подумать над этим парадоксом.

[Deynekin]

Мне не ясно, ... каким образом резинка создаст силу, приложенную к центру колесика и направленную в сторону движения ленты.

Если Вы спрашиваете всерьёз, предлагаю самостоятельно рассмотреть несколько задач о трёхколёсном велосипеде (самостоятельно - это для повышения самоценности результата, велосипеде - чтобы можно было явно чувствовать нагрузку на "двигателе", а трёхколёсном - чтобы не падал при нулевой скорости; всякими там "потерями-трениями в подшипниках", а также массой колёс, пренебрегаем):
0. Едем по неподвижной дороге с постоянной скоростью.
1. Едем с ускореннием по неподвижной дороге.
2. Устанавливаем велосипед на ускоренно движущуюся платформу и
-удерживая педали неподвижно, сохраняем своё положение отн. платформы;
-вращая педали, едем по платформе с постоянной скоростью отн. платформы.
-вращая педали, едем по платформе с постоянным ускорением отн. платформы.

В всех случаях единственная горизонтальная внешняя сила, действующая на велосипед, - это сила сцепления с дорогой, она-то его и ускоряет (как бы обидно это ни звучало для того, кто крутит педали!). Если Вам понятно, как это происходит в этих задачах, Ваш вопрос должен быть исчерпан. Если нет - в какой из задач возникает затруднение, и в чём оно конкретно состоит?

Кстати, а каким образом по-Вашему создаётся сила, "приложенная к центру колесика" автомобиля? NB: единственное, что вырабатывает двигатель - это момент силы на входе в дифференциал ведущего моста. - Где и как этот момент на кардановом валу превращается в пропульсивная силу, какие части автомобиля должны её выдерживать?

Попробуйте также рассмотреть механизм превращения вертикальной внешней силы (давление на педаль весом велосипедиста) в горизонтальную силу, ускоряющую велосипед. Заодно станет ясно, какие части велосипеда каким нагрузкам подвержены (усилия в каретке педалей, цепи, в ведомой звёздочке, оси ведущего колеса, раме...) - очень небесполезное упражнение.

[vaduz]

С задачами как раз затруднений нет.
Есть затруднение с колесиком на резинке.

Сила, которую приходится преодолевать паучку равна d(dX/dt)/dt^2,

Tут имелось ввиду ускорение колесика относительно, скажем, стенки умноженное на единичную массу?

а проходимое им самим за время dt расстояние - V*dt.
Стало быть, (при V=const интегрируется легко)

Вот тут непонятно, почему V=const. Я ожидал, что при рассчете работы данным способом путь должен считаться относительно стенки.

раз в той точке, где находится экипаж, приложена сила, дороге приходится потрудиться, чтобы продлжать своё движение "как ни в чём ни бывало"

У меня еще одно затруднение, потому как в идеальном случае опора несжимаема, т.е. приложенная сила ее не деформирует и в точке приложения внешней силы моментально возникает компенсирующая.
т.е. когда паучок отталкивается от резинки, то резинка (между ним и стенкой) не сжимается, т.е. движущийся конец не "узнает" о толчке. А значит и работу не произведет.

[vaduz]

Мда, надо было мне ограничиться сферическим паучком в ваккууме.

Но раз уж пошла такая пьянка, то вопрос: можно ли Spider-man считать паучком?
Если да, то он вполне может ускориться до U не затратив ни джоуля.
В каждый момент времени Spider-man выбрасывает вперед невесомую нерастягиваемую паутинку и попадает ей в точку, которая имеет скорость на V большую, чем скорость точки, в которую он переместится в следущий момент.

[banderas]

Че то я не понял по поводу совершенной работы, - если речь идет об изменении кинетической энергии, то свою скорость паук не менял и, соответственно, никакой работы не совершал. Тот, кто тянул резинку совершил работу по увеличению кинетической энергии паучка = m*(v+u)^2 - m*v^2 плюс изменение потенциальной енергии резинки = 0(?) - k * dL^2/2

[Deynekin]

Виноват, был в отъезде.

Tут имелось ввиду ускорение колесика относительно, скажем, стенки умноженное на единичную массу?

-Да, верно. Более того, можно говорить об "абсолютном ускорении" в том смысле, что при переходе от одной инерциальной системы к другой, оно не меняется. Его-то мы в задаче и вычиляли, через него и выражали силу взаимодействия экипажа с дорогой.

Я ожидал, что при рассчете работы данным способом путь должен считаться относительно стенки.

-Нет, отнюдь не стенки. Когда вы, вставая со стула, отталкиваетесь ногой от пола, вы совершаете работу (сила)*(дистанция, на которую распрямилась нога). Проделайте то же в лифте, движущемся произвольно, и эта формула не изменится. Сила - да, может быть уже другой (если лифт движется с ускорением), но дистанция, на которую вы "отпихнули" эту силу будет всё той же: длина ноги. И неважно, что и как быстро в это время мелькает за окном лифта.

в идеальном случае опора несжимаема, [...] т.е. когда паучок отталкивается от резинки, то резинка (между ним и стенкой) не сжимается, т.е. движущийся конец не "узнает" о толчке. А значит и работу не произведет.

Во-первых, слово "несжимаема" здесь явно не на месте: вся задача построена как раз на том, что дорога сжимаема (растяжима), и ещё как "сжимаема"! Видимо, Вы имели в виду, что "никакие приложенные силы (в частности, от экипажа) на закон растяжения дороги не влияют" - эдакое обобщение понятия абсолютно жёсткого тела.

Во-вторых, Ваше рассуждение легко можно обратить так, что выйдет, будто движущийся конец как раз всё и "узнает", а закреплённый - нет. (Когда паучок подтягивается на резинке, то резинка между ним и движущимся концом не растягивается, и движущийся конец "узнает" о подтягивании). Полученное "противоречие" - это хорошо известный случай статически неразрешимой задачи для абсолютно жёсткого тела при многоточечном закреплении. Поэтому с таким аршином сюда лучше не лезть.

Лучше всего дорогу представить как набор независимых самобеглых платформочек, движущихся по заданному закону (так, что в данном случае получается "равномерно растягивающаяся дорога"), и паучок/экипаж переползает/перескакивает с одной на другую. Теперь понятно, какой участок дороги производит работу: двигатель той платформы, на которой сейчас находится экипаж. Именно это я и имел ввиду, когда говорил, что "раз в той точке, где находится экипаж, приложена сила, дороге приходится потрудиться, чтобы продлжать своё движение "как ни в чём ни бывало"."

Кстати, вот Вам (шуточная) задача:
1. Mr.X стоит на предлинном эскалаторе метро ст. "Комсомольская кольцевая", равномерно движущемся вверх. Двигатель эскалатора, очевидно, развивает определённую силу и производит работу, поднимая груз.
2. Mr.X (опаздывая на поезд) бежит с постоянной скоростью по тому же эскалатору. При этом двигатель, очевидно, развивает ту же мощность, что и в первом случае.
Получается, что эскалатору безразлично, едет ли Mr.X мёртвым грузом или производит посильный вклад при своём подъёме наверх. - Куда делся энергетический вклад, произведённый вспотевшим Mr.X?.

Че то я не понял по поводу совершенной работы, - если речь идет об изменении кинетической энергии, то свою скорость паук не менял и, соответственно, никакой работы не совершал. Тот, кто тянул резинку совершил работу по увеличению кинетической энергии паучка = m*(v+u)^2 - m*v^2 плюс изменение потенциальной енергии резинки = 0(?) - k * dL^2/2

Ну, давайте снова "от печки":
-Усилие в точке контакта паука с дорогой было? - Было!
-Он эту силу отталкивал? - Отталкивал! (т.е. перемещение было) - Вот Вам и работа.

Возможно, если Вы ответите себе на вопросы:
-относительно чего свою скорость паук не менял? и
-относительно какой системы мы вычисляем энергию?
то ситуация прояснится.

О "потенциальной энергии резинки" мы вообще не говорим. Уже хотя бы потому, что сами слова "резинка", "тянуть за свободный конец" понадобились лишь для краткого интуитивного задания закона движения дороги. С таким же успехом можно было бы рассматривать равномерно разогреваемый стержень, оним концом упёртый в заделку. - И не было бы здесь ни того, кто тянет за свободный конец, ни накопленной упругой энергии...

[vaduz]

Полученное "противоречие" - это хорошо известный случай статически неразрешимой задачи для абсолютно жёсткого тела при многоточечном закреплении. Поэтому с таким аршином сюда лучше не лезть.

Похоже, что результат вычислений проделанной работы очень сильно зависит от конструкции резинки и способа передвижения паучка, что совсем не оговорено в формулировке задачи (см. мой пост про spider man).
Именно поэтому замена паучка колесиком, а потом экипажем с двигателем совершенно необоснована.

[Deynekin]

Похоже, что результат вычислений проделанной работы очень сильно зависит от конструкции резинки и способа передвижения паучка, что совсем не оговорено в формулировке задачи
Именно поэтому замена паучка колесиком, а потом экипажем с двигателем совершенно необоснована.

-Нет, нет и нет: и не похоже и не зависит - потому и не оговорено! Уж не знаю, как Вы это усмотрели.
Что "резинку тянем", что "нагревающийся стержень" пухнет, что имеем набор платформ-тележек - ничего не меняется (если, конечно, пренебречь дискретностью тележек).

А упомянутое "противоречие" заключается лишь в том, что без указания конструкции нельзя сказать, куда (не какой конец) передаётся усилие, развиваемое в точке касания экипажа с дорогой. Но это (если угодно: потому об этом) и не спрашивалось, и говорилось лишь о работе, совершаемой самим экипажем. Резюме: только та точка дороги "чувствует" паучка/колесо, которой паучок/колесо касается; куда дальше по дороге передаётся это усилие (и передаётся ли вообще?) нас не интересует - в случае "тележек" как раз вообще никуда, на двигателе, обязанном поддерживать скорость этой тележки заданной всё и заканчивается.

Кстати, забавная модификация задачи:
Рассмотреть тот же процесс, что и ранее, только не с позиций неподвижного наблюдателя, но с позиций наблюдателя, находящегося на том конце "резинки", за который тянут - тоже ведь инерциальная система!
Более того, как хорошо известно, в случае расширения, пропорциональном расстоянию, любую точку можно принять за центр расширения. Предлагаемая сейчас модификация и есть случай выбора в качестве "центра" конца резинки, за который тянут.

[vaduz]

Похоже, что результат вычислений проделанной работы очень сильно зависит от конструкции резинки и способа передвижения паучка, что совсем не оговорено в формулировке задачи
Именно поэтому замена паучка колесиком, а потом экипажем с двигателем совершенно необоснована.

-Нет, нет и нет: и не похоже и не зависит - потому и не оговорено! Уж не знаю, как Вы это усмотрели.
Что "резинку тянем", что "нагревающийся стержень" пухнет, что имеем набор платформ-тележек - ничего не меняется (если, конечно, пренебречь дискретностью тележек).

А как же spider man? Разница принципиальная с колесом по затраченной работе.
Кстати, какую работу совершет идеальный потолок, к которому прикреплен идеальный канат, по которому взбирается тяжелый паучок?

[Deynekin]

А как же spider man? Разница принципиальная с колесом по затраченной работе.
Кстати, какую работу совершет идеальный потолок, к которому прикреплен идеальный канат, по которому взбирается тяжелый паучок?

Честно говоря, я не совсем понимаю, что Вы там в этом spider man усмотрели. Ну да, прилепился, как Вы говорите, нерастяжимой нитью к чему-то движущемуся... Ну да, вследствие нерастяжимости нити сразу же приобрёл ту же скорость, что и прилепившийся конец нити (лишь бы только голову не оторвало от этого "сразу"!) Вся работа совершена точкой, к которой нерастяжимая нить приклеилась, и сам этот spider man ниакой работы не произвёл. именно потому, что не работал: никакую силу не толкал/не тянул. Вот когда он на этой своей нерастяжимой нити начнёт подтягиваться, появятся и развиваемые им ускорение-сила и производимое им перемещение - вот тогда и будет совершаемая им работа. А до того едет паразит-паразитом. - То же самое происходит и когда ступаете на бегущий эскалатор - в чём вопрос-то и что неясно?

По второму пункту ("идеальный потолок...") ответ: нуль. Хочется даже так сказать: ну, нуль - дальше что? К чему этот "вопрос"-то?

Вообще, у меня уже возникает впечатление, что от обсуждения красивой задачки мы перешли к жеванию жвачки, которой не видно конца: а что такое работа? а как была устроена резинка? а с какой силой её тянули? а каково усилие на противоположном конце? и т.п. - Вот уже и до "работы идельного потолка" дошли... Уверен, что на все Ваши вопросы Вы и сами смогли бы найти ответы, если бы сформулировали для самого себя свои недоумения более чётко.

Пожалуйста, как говорят, "поймите меня правильно", но мне кажется, что в этом направлении тема исчерпна. Вот разве что на решение этой зачи "в течение одной минуты", если у кого есть, ещё хотелось бы взглянуть.

[vaduz]

Про spider man вы недопоняли - он не подтягивается, а выбрасывает новую нитку и попадает в другую точку.
Потому затратит работу только на разгон от скорости U до (U+V) относительно стенки.
В то время как экипажику надо будет "работать" от V до (U+V).