Privet wrote: ↑27 Dec 2020 16:44Ну, рассмешили вы меня вчера. Я занимаюсь цифровой обработкой лет эдак 40. И не просто любительски, а на глубоком профессиональном уровне. Я до сих пор имею приоритеты в России, которые в своё время открыли передо мной все двери. Я участвовал в разработках с лучшими специаристами России каждый в своей области. Нас специально отобрали для разработки в интересах МВД. Тогда всё упало и только они имели хоть какие-то деньги. И тут мне рассказывают о Теореме Котельникова. Она же Найквиста. Причуды форума.aml5691 wrote: ↑27 Dec 2020 05:46Если Вы не шутите и не иронизируете (и сами уже давно разобрались с возможностью применения этой теоремы), то с теоремой Котельникова (она же Nyquist-Shannon sampling theorem) Вам должно быть под силу разобраться. По крайней мере ее классическая формулировка (в отсутствии шумов/ошибок измерения) - вполне элементарна, сформулирована и доказана (в одну строчку) именно инженерами-практиками. Сложной или интересной математики в ней нет, хотя ее утверждение и может поначалу удивлять наивных людей.Privet wrote: ↑27 Dec 2020 05:13Что вы! Когда нам разбираться с теоремой Котельникова, а, тем более, Найквиста. Мы же не учёные, мы практики. Нам делать устройство надо - бит туда, байт туда. Если бы вы согласились, мы бы с вами договор заключили, но это, наверное, дорого будет, а мы можем заплатить только несколько тысяч долларов, не больше. Ну, десять если на несколько месяцев, но это максимум.aml5691 wrote: ↑27 Dec 2020 00:45Чтобы какой-либо "математический аппарат" мог бы это сделать, нужно, как минимум, знать, что подразумевается под "центром этого "колокольчика"".
Один возможный способ дать корректное определение искомому "центру колокольчика" - рассмотреть гипотетический случай, когда (1) шумов нет совсем, и (2) функция измерена в каждой точке достаточно широкого интервала значений ее аргумента (т.е. с бесконечно маленьким шагом дискретизации). Что Вам нужно тогда считать "центром этого "колокольчика"" для Ваших целей? К примеру (a) значение аргумента функции в единственном максимуме этой функции на интервале измерений; или (b) первый момент функции, вычисленный по интервалу (т.е. центр тяжести графика, или среднее значение аргумента функции с весом равным значению функции); (c) положение локального центра симметрии графика функции; или что-либо другое?
При отсутствии шумов (но дискретных измерениях сигнала) и при дополнительном условии ограниченности спектра Вашей функции, одно эффектное решение для любого из определений (а), (b), (c) и некоторых других, можно получить использовав теорему Котельникова (Sampling Theorem):
Ру.Википедия: Теорема Котельникова
En.Wikipedia: Nyquist–Shannon sampling theorem
Поскольку Вы уже называете функцию спектром, упомянутое условие ограниченности спектра нужно понимать, как ограниченность во времени сигнала, для которого Ваша функция является спектром.
Подозреваю, что в предположениях теоремы Котельникова, но при наличии шумов, тоже есть интересные и полезные решения, но скорее всего для них нужно знать больше при природу шумов и их характеристики.
Котельникова - что-то припоминаю, учили мы такое, но это было давно и неправда.
Неформально, в применении к спектру сигнала, меняющегося как функция времени, теорема Котельникова утверждает, что если (i) такой сигнал ограничен по времени (т.е. начинается в некоторый момент и заканчивается когда-либо); и (ii) его спектр (преобразование Фурье) вычислен для дискретных частот, с достаточно малым шагом по частоте; то, при отсутствии шумов и ошибок измерения, этот спектр можно абсолютно точно (с нулевой ошибкой интерполяции) проинтерполировать для любых частот между дискретными частотами, для которых вычислен спектр.
Если условия этой теоремы применимы к Вашей задаче (или Вас устраивает, что они только частично применимы), то, используя такую абсолютно точную интерполяцию, можно абсолютно точно найти "центр колокольчика", для широкого класса возможных определений такого центра. Процедура такой абсолютно точной интерполяции вполне элементарна.
Собственно, вы не при чём. Вы не знали кому пишите. Получилось комичная ситуация. Я просто не удержался пошутить. Не обижайтесь, пожалуйста.
Министерству Внутренних Дел Российской Федерации все-таки повезло, что над их задачами работают такие опытные эксперты как Вы! Не будь Вас, и попадись МВД РФ какому-нибудь лихому математику, тот бы им точно продал теорему Котельникова и не за несколько тысяч долларов, а гораздо дороже!
Будете иметь дело с математиками - держите ухо востро! За этим народом нужен глаз да глаз - на ходу подметки режут, суки. По сути дела: это обсуждение было бы более эффективным, если бы Вы потратили небольшую долю своего огромного опыта на то, чтобы корректно сформулировать задачу для математиков. В первую очередь - что все-таки понимается под "центром колокольчика"? Конечно нужно также знать, что известно о свойствах самого сигнала и его шума/помех/ошибок измерения. Иначе это все становится похожим на очередную статью о "тренировке нейронных сетей" по последним заветам Стива с Илоном, с квадратиками и кружочками соединенными стрелками, с графиками с ненадписанными осями и фотографиями кошек.
В частности - можно ли все-таки восстановить непрерывный спектр используя теорему Котельникова и найти "центр колокольчика" (что бы это не означало) этого спектра с произвольно малой ошибкой? Если нет, то интересно - почему? Сигнал (или сигнал+шумы/помехи/ошибки измерения) не ограничен по времени? "Центр колокольчика" нужно найти для сигнала без шума/помех/ошибок, а они слишком велики? Спектр может быть измерен только с шагом, меньшим чем частота Найквиста? Восстановление непрерывного спектра почему-либо не помогает найти "центр колокольчика"? То, что спектр - это только амплитуда преобразования Фурье вроде бы не должно мешать применить теорему Котельникова к нему.
