Игра с кубиками

[Физик-Лирик]

Для (1,4) и (4,4) (предположим, что первая комбинация - это поражение, вторая - победа)
существует 3 состояния (state) перед каждым броском кубика:
1. на предыдущем ходе выпала 1.
2. на предыдущем ходе выпала 4.
3. на предыдущем ходе выпала не 1 или 4.

Вероятности переходов между состояниями:
из состояния 3: 1/6 в сост. 1, 1/6 в сост. 2, 4/6 остаться
из состояния 1: 1/6 - lose (выпала 4, как следствие переход в сост 2 запрещен), 5/6 - в сост.3
из состояния 2: 1/6 - win (выпала 4), 1/6 - в сост. 1, 4/6 - в сост. 3.

Как мы видим симметрия нарушена. Можно честно расписать мат ожидание и все посчитать. Но если (1,4) заменить на (1,3), то симметрия восстанавливается - опять появляется переход из состояния 1 в сост. 2.

Как-то так.

Извините, но непонятно. Может быть потому, что мат. ожидание "често не расписано".

[Chessplayer]

Извините, но непонятно. Может быть потому, что мат. ожидание "често не расписано".

Попробуйте нарисовать диаграмму переходов. Может быть тогда станет понятнее. Все вероятности переходов я уже привёл. Увидите, что состояния 1 и 2 неэквиваленты. Мат ожидание может вечерком посчитаю.

[Физик-Лирик]

Извините, но непонятно. Может быть потому, что мат. ожидание "често не расписано".

Попробуйте нарисовать диаграмму переходов. Может быть тогда станет понятнее. Все вероятности переходов я уже привёл. Увидите, что состояния 1 и 2 неэквиваленты. Мат ожидание может вечерком посчитаю.

Тогда поясните "переход в состояние 2 запрещен".

[Chessplayer]

Если вы находясь в состоянии 1, вытягиваете 4, то вы получаете последовательность (1,4) и игра заканчивается - вы проиграли. Т.е. из состояния 1 в состояние 2 попасть нельзя, а вот наоборот можно.


Sent from my iPhone using Tapatalk

[M. Ridcully]

Мат. ожидание как раз будет больше для повторяющихся цифр.

меньше.

Это как?
По-моему очевидно, что частота последовательности 4-4-4 будет больше, чем частота последовательности 1-3-5.

[Chessplayer]

Это как?
По-моему очевидно, что частота последовательности 4-4-4 будет больше, чем частота последовательности 1-3-5.

Мой комментарий относился к сравнению вероятностей 1-4 и 4-4. Про 1-3-5 и 4-4-4 мне кажется, что должно быть одинаково.


Sent from my iPhone using Tapatalk

[Физик-Лирик]

Если вы находясь в состоянии 1, вытягиваете 4, то вы получаете последовательность (1,4) и игра заканчивается - вы проиграли. Т.е. из состояния 1 в состояние 2 попасть нельзя, а вот наоборот можно.


Sent from my iPhone using Tapatalk

А если из состояни 2 в состояние 2, игра не заканчивается? Из ваших рассуждений не совсем ясно, что вы пытаетесь получить. Собственно в этом и мой вопрос.

[jsjs]

я не вижу, как у одного игрока шансов может быть больше, чем у другого. Вот почему.

У стандартного кубика сумма чисел на противоположных сторонах равна 7. Т.е. чтобы выпала 4-ка, надо, чтобы кубик приземлился на 3-ку.
Т.е., если бы игра заключалось в том, кто первый выбросит 4-ку (т.е. приземлит кубик на 3-ку) три раза подряд, то очевидно, что оба игрока имеют одинаковые шансы.
В нашем случае совершенно неважно стандартные кубики или нет. Поэтому сделаем так:
- оба игрока просто бросают кубик в надежде 3 раза подряд приземлить его на 3-ку.
- с кубиком 1-го игрока мы ничего не делаем, а у кубика 2-го меняем местами 1 и 4. Далее, если таки он приземлил кубик на 3-ку, меняем местами 3 и 1. И если ему повезло дважды - то 5 и 3.

Т.е. вполне очевидно, что шансы равны.

Я выше и написал, что если кубик бросать два раза, то шансы первым получить искомую тройку равны (равны нулю), Если бросать три раза, то шансы тоже равны (равны 1/216). Но это не является ни доказательством, ни опровержением того, что шансы равны или не равны в бесконечной последовательности.

[jsjs]

Дело не в вероятности выпадения слова в бесконечной последовательности, а в мат.ожидании его ПЕРВОГО выпадения.

Другими словами, есть случайная величина, равная времени первого события (т.е. номера итерации). Событие = выпадение заданной последовательности. Ищется распределение этой случайной величины (а точнее, двух величин) и, как следствие, сравнение моментов.

Марковские цепи - наше всё.

Да, Марковкая цепочка. Однако, если под событием подразумевать выпадение следующего кубика, то получается транзитивная вероятность 1/6 (она же условная вероятность) в силу независимости событий.

Да. Точнее, само распределение не ищется, вопрос лишь о его первом моменте. Естественно, из первого следует второе, но первое -- это, пожалуй, overkill в данном контексте.

Если состояния марковской цепочки -- отдельные цифры, то да. Однако (на грани hint'a) состояния цепочки (события) можно определять по-разному, в зависимости от того, что хочется узнать.

[Chessplayer]

А если из состояни 2 в состояние 2, игра не заканчивается? Из ваших рассуждений не совсем ясно, что вы пытаетесь получить. Собственно в этом и мой вопрос.

Вы мне задали вопрос: где и как ломается симметрия. Я вам на него ответил. Вы с какой целью спрашивали?


Sent from my iPhone using Tapatalk

[Физик-Лирик]

А можно так рассуждать? Рассматриваю для простоты пару цифр.
Процесс (реализация стохастического процесса) подбрасываний кубика: Р=(р_1, р_2, , ...), где р_i из множества (1,2,3,4,5,6)
Событие C=(с1,с2).
T - время первого события: Т=k, если p_k = c1, p_(k+1) = c2.
Подсчитаем вероятности Prob(T=k).

1) C=(1,3), т.е. разные цифры.
Prob(T=1): одна комбинация из 6^2, т.е. Prob(T=1) = 1/6^2.
Prob(T=2): p_2 = c1, p_3 = c2, тогда р_1 может быть любой; Prob(T=2) = 6/6^3, т.е. из 6^3 возможных комбинаций из трех цифр в шести получаем результат.
Prob(T=3): p_3 = c1, p_4 = c2. Всего 6^4 комбинаций из четырех цифр. Первые две цифры не могут составлять пару (с1,с2), т.е. из 6^2 комбинаций из первых двух цифр исключим одну пару (с1,с2); Prob(T=3)=(6^2 -1)/6^4
Продолжаем вычисления.

2) C=(4,4), т.е. c1=c2, одинаковые цифры.
Prob(T=1): одна комбинация из 6^2, т.е Prob(T=1) = 1/6^2.
Prob(T=2): если p_2 = c1, p_3 = c2(=c1), тогда р_1 может быть любой кроме c1(=c2); Prob(T=2) = (6-1)/6^3
Prob(T=3): p_3 = c1, p_4 = c2(=c1). Всего 6^4 комбинаций. Первые две цифры (p_1, p_2) не могут составлять пару (с1,с2), и вторая цифра не может быть с1(=c2), т.е. из 6^2 комбинаций первых двух цифр исключим (с1,с2) и 5 других комбинаций, когда первая цифра не равна с1, а вторая цифра = с2.
Prob(T=3)=(6^2 -1-5)/6^4
Продолжаем вычисления.

Уже из этих первых шагов видно, что вероятность встретить пару одинаковых цифр меньше вероятности получения пары неодинаковых цифр. Сами цифры значения не имет. Важно лишь равны или не равны.

[Физик-Лирик]

Я кстати прогнал программу для подтверждения. Действительно, при равенстве цифр среднее значение времени первого события больше.

[Физик-Лирик]

А если из состояни 2 в состояние 2, игра не заканчивается? Из ваших рассуждений не совсем ясно, что вы пытаетесь получить. Собственно в этом и мой вопрос.

Вы мне задали вопрос: где и как ломается симметрия. Я вам на него ответил. Вы с какой целью спрашивали?


Sent from my iPhone using Tapatalk

С целью разобраться.

[jsjs]

Да, можно, и это правильный путь.

[jsjs]

Я кстати прогнал программу для подтверждения. Действительно, при равенстве цифр среднее значение времени первого события больше.

Всё правильно.

Должно быть где-то на 16% больше.