Игра с кубиками

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 01:32

У Байдена и Харрис есть два обычных игровых кубика (dice), один у каждого. За каждый ход они бросают свои кубики и записывают результаты. Выигрывает тот, кто первым выбросит свою заранее обусловленную упорядоченную последовательность из трёх чисел -- для Байдена это (4,4,4), а для Харрис это (1,3,5). Is this a fair game or is it (as usual with these characters) rigged in favor of one of them?

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 03:06

Если бы сразу 3 кубика бросали, то байден в пролете. А так события независимы, так что должно быть одинаковым.
Правда есть какойто математический прикол, что надо не ставить на выигранный номер или както так. И он действительно работает. Если это можно притянуть сюда, то байден опять в пролете.

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 03:19

Прикол в том, что не одинаково. Хотя кубики честные, всё независимо -- и тем не менее.

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 03:40

Все равно байден в пролете.
Так как вероятность должна быть 1/6 для каждого номера, то каждому номеру 4 нужно 6 бросков. Так что байдену нужно типа 24 броска, вернее меньше 21-22.
А вот другому меньше. Скажем 1 выпал на третьем броске. Если 3 не выпадало, то за следующие 3 броска оно должно выпасть.

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 03:48

Непонятно, при чём тут 24 или даже 21-22. Байден может выбросить (4,4,4) за три броска. Или за четыре: (1,4,4,4). Или за пять: (4,1,4,4,4). Или за шесть: (3,2,5,4,4,4). И так далее.

Обычный 6-гранный кубик, последовательные броски которого порождают бесконечный ряд (а_1, а_2, а_3, ....), где каждое а_i -- независимая случайная реализация одного из элементов множества {1,2,3,4,5,6}. Что более вероятно: в этой последовательности встретится раньше (4,4,4) или (1,3,5)?

M. Ridcully · Post by **M. Ridcully** » 30 Dec 2020 04:04

Важно только кто первый выйграет (1 раз), или кто больше выйграет за N раундов?
Если первое, то вроде как шансы одинаковы - но надо еще подумать.
Если второе, то у Байдена преммущество - последовательность 4 4 4 4 даст ему 2 выигрыша, тогда как для Харрис эквивалента нет.

Edit: подумал, в первом случае шансы равны.

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 04:07

Ошибся - за 18 бросков = 6 × 3. Так как последняя 4 будет в последнем 6 бросковом сете, то вероятность будет 1/2 или 3-4 бросок. Поэтому за 15-16 бросков байден должен справляться.
Пусть броски будут пронумерованы b1, b2, b3 и тд. Тогда в любых 6 последовательных бросках должны быть все 6 цифр представлены один раз. Например, в b1-b6 или b4-b9. Если 1 выпало на b3 и 3 не было в b1 и b2, то 3 можно ожидать в b1-b6. Если 3 выпало в b2, то следующая 3 должна быть в b3-b8.
С 4-ой же всегда в следующих 6 выбросов. То есть 4 выпало в b3, так что следующая 4 в b4-b9.

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 04:15

M. Ridcully wrote: ↑30 Dec 2020 04:04 Важно только кто первый выйграет (1 раз), или кто больше выйграет за N раундов?
Если первое, то вроде как шансы одинаковы - но надо еще подумать.
Если второе, то у Байдена преммущество - последовательность 4 4 4 4 даст ему 2 выигрыша, тогда как для Харрис эквивалента нет.

Edit: подумал, в первом случае шансы равны.

Да, кто первый выиграет (1 раз).

Нет, шансы не равны.

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 04:17

DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:07 Ошибся - за 18 бросков = 6 × 3. Так как последняя 4 будет в последнем 6 бросковом сете, то вероятность будет 1/2 или 3-4 бросок. Поэтому за 15-16 бросков байден должен справляться.
Пусть броски будут пронумерованы b1, b2, b3 и тд. Тогда в любых 6 последовательных бросках должны быть все 6 цифр представлены один раз. Например, в b1-b6 или b4-b9. Если 1 выпало на b3 и 3 не было в b1 и b2, то 3 можно ожидать в b1-b6. Если 3 выпало в b2, то следующая 3 должна быть в b3-b8.
С 4-ой же всегда в следующих 6 выбросов. То есть 4 выпало в b3, так что следующая 4 в b4-b9.

У кубика нет памяти -- с какой стати в 6 бросках все 6 цифр должы быть представлены один раз?

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 04:23

jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:17
DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:07 Ошибся - за 18 бросков = 6 × 3. Так как последняя 4 будет в последнем 6 бросковом сете, то вероятность будет 1/2 или 3-4 бросок. Поэтому за 15-16 бросков байден должен справляться.
Пусть броски будут пронумерованы b1, b2, b3 и тд. Тогда в любых 6 последовательных бросках должны быть все 6 цифр представлены один раз. Например, в b1-b6 или b4-b9. Если 1 выпало на b3 и 3 не было в b1 и b2, то 3 можно ожидать в b1-b6. Если 3 выпало в b2, то следующая 3 должна быть в b3-b8.
С 4-ой же всегда в следующих 6 выбросов. То есть 4 выпало в b3, так что следующая 4 в b4-b9.
У кубика нет памяти -- с какой стати в 6 бросках все 6 цифр должы быть представлены один раз?

память здесь не причем. так работает вероятность, которая проявится не в одной игре, а длительном выкидывании кубиков.
конечно, будут моменты 444 или даже 444444, но в среднем в каждом 6 бросковом подсете должны быть все 6 цифр, если кубик честный.

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 04:33

DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:23
jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:17
DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:07 Ошибся - за 18 бросков = 6 × 3. Так как последняя 4 будет в последнем 6 бросковом сете, то вероятность будет 1/2 или 3-4 бросок. Поэтому за 15-16 бросков байден должен справляться.
Пусть броски будут пронумерованы b1, b2, b3 и тд. Тогда в любых 6 последовательных бросках должны быть все 6 цифр представлены один раз. Например, в b1-b6 или b4-b9. Если 1 выпало на b3 и 3 не было в b1 и b2, то 3 можно ожидать в b1-b6. Если 3 выпало в b2, то следующая 3 должна быть в b3-b8.
С 4-ой же всегда в следующих 6 выбросов. То есть 4 выпало в b3, так что следующая 4 в b4-b9.
У кубика нет памяти -- с какой стати в 6 бросках все 6 цифр должы быть представлены один раз?
память здесь не причем. так работает вероятность, которая проявится не в одной игре, а длительном выкидывании кубиков.
конечно, будут моменты 444 или даже 444444, но в среднем в каждом 6 бросковом подсете должны быть все 6 цифр, если кубик честный.

Множество 6-бросковых упорядоченных последовательностей состоит из 6^6 элементов. Из них лишь 6! имеют все 6 цифр, т.е. где-то полтора процента.

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 04:49

jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:33
DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:23
jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:17
DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:07 Ошибся - за 18 бросков = 6 × 3. Так как последняя 4 будет в последнем 6 бросковом сете, то вероятность будет 1/2 или 3-4 бросок. Поэтому за 15-16 бросков байден должен справляться.
Пусть броски будут пронумерованы b1, b2, b3 и тд. Тогда в любых 6 последовательных бросках должны быть все 6 цифр представлены один раз. Например, в b1-b6 или b4-b9. Если 1 выпало на b3 и 3 не было в b1 и b2, то 3 можно ожидать в b1-b6. Если 3 выпало в b2, то следующая 3 должна быть в b3-b8.
С 4-ой же всегда в следующих 6 выбросов. То есть 4 выпало в b3, так что следующая 4 в b4-b9.
У кубика нет памяти -- с какой стати в 6 бросках все 6 цифр должы быть представлены один раз?
память здесь не причем. так работает вероятность, которая проявится не в одной игре, а длительном выкидывании кубиков.
конечно, будут моменты 444 или даже 444444, но в среднем в каждом 6 бросковом подсете должны быть все 6 цифр, если кубик честный.
Множество 6-бросковых упорядоченных последовательностей состоит из 6^6 элементов. Из них лишь 6! имеют все 6 цифр, т.е. где-то полтора процента.

понятно, что разброс есть.
если сделать 6,000,000 сетов по 6 бросков и проссумировать кол-во выпавших цифры в каждом сете, то будет по ~1 миллиону каждой цифры в каждом месте сете.

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 04:52

DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:49
jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:33
DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:23
jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:17
DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:07 Ошибся - за 18 бросков = 6 × 3. Так как последняя 4 будет в последнем 6 бросковом сете, то вероятность будет 1/2 или 3-4 бросок. Поэтому за 15-16 бросков байден должен справляться.
Пусть броски будут пронумерованы b1, b2, b3 и тд. Тогда в любых 6 последовательных бросках должны быть все 6 цифр представлены один раз. Например, в b1-b6 или b4-b9. Если 1 выпало на b3 и 3 не было в b1 и b2, то 3 можно ожидать в b1-b6. Если 3 выпало в b2, то следующая 3 должна быть в b3-b8.
С 4-ой же всегда в следующих 6 выбросов. То есть 4 выпало в b3, так что следующая 4 в b4-b9.
У кубика нет памяти -- с какой стати в 6 бросках все 6 цифр должы быть представлены один раз?
память здесь не причем. так работает вероятность, которая проявится не в одной игре, а длительном выкидывании кубиков.
конечно, будут моменты 444 или даже 444444, но в среднем в каждом 6 бросковом подсете должны быть все 6 цифр, если кубик честный.
Множество 6-бросковых упорядоченных последовательностей состоит из 6^6 элементов. Из них лишь 6! имеют все 6 цифр, т.е. где-то полтора процента.
понятно, что разброс есть.
если сделать 6,000,000 сетов по 6 бросков и проссумировать кол-во выпавших цифры в каждом сете, то будет по ~1 миллиону каждой цифры в каждом месте сете.

Разумеется. Но эти приблизительные оценки приблизительно подтверждают гипотезу о том, что игра приблизительно честная. И да, приблизительно она честная -- шансы у Байдена и у Харрис приблизительно равны. Но лишь приблизительно. А если точно -- то нет. И именно в этом -- прикол.

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 05:43

jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:52
DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:49
jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:33
DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 04:23
jsjs wrote: ↑30 Dec 2020 04:17
У кубика нет памяти -- с какой стати в 6 бросках все 6 цифр должы быть представлены один раз?
память здесь не причем. так работает вероятность, которая проявится не в одной игре, а длительном выкидывании кубиков.
конечно, будут моменты 444 или даже 444444, но в среднем в каждом 6 бросковом подсете должны быть все 6 цифр, если кубик честный.
Множество 6-бросковых упорядоченных последовательностей состоит из 6^6 элементов. Из них лишь 6! имеют все 6 цифр, т.е. где-то полтора процента.
понятно, что разброс есть.
если сделать 6,000,000 сетов по 6 бросков и проссумировать кол-во выпавших цифры в каждом сете, то будет по ~1 миллиону каждой цифры в каждом месте сете.
Разумеется. Но эти приблизительные оценки приблизительно подтверждают гипотезу о том, что игра приблизительно честная. И да, приблизительно она честная -- шансы у Байдена и у Харрис приблизительно равны. Но лишь приблизительно. А если точно -- то нет. И именно в этом -- прикол.

Раз с этим разобрались, то смотреть надо на обьяснение с b1, b2, и тд. Отношение приблизительно будет 5 у байдена к 6 у харриса.

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 05:44

Все устал обьяснять на пальцах

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 06:20

Последовательность должна быть из трёх чисел подряд. Если Байден выбросил 454614, то это не считается за 444.

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 06:34

Ааа, так надо чтобы подряд.
Один фиг байден в пролете. Вероятность того, что в сете будет 3 четверки (или одинаковые цифры) меньше, чем 3 разные.

Oleg Co · Post by **Oleg Co** » 30 Dec 2020 07:03

DropAndDrag wrote: ↑30 Dec 2020 06:34 Ааа, так надо чтобы подряд.
Один фиг байден в пролете. Вероятность того, что в сете будет 3 четверки (или одинаковые цифры) меньше, чем 3 разные.

Не три разные, а определенная последовательность: 1, затем 3, и наконец 5. Не 5,3,1 и не 1,5,3, и не 3,5,1 и не ...

Chessplayer · Post by **Chessplayer** » 30 Dec 2020 07:19

jsjs wrote: Нет, шансы не равны.

А вы можете объяснить почему?

На мой взгляд, если броски кубика независимы и числа должны быть в строго указанном порядке без промежутков, то вероятность выбросить 135 равна вероятности 444 и равна 1/6*1/6*1/6.

Sent from my iPhone using Tapatalk

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 07:37

Chessplayer wrote: ↑30 Dec 2020 07:19
jsjs wrote: Нет, шансы не равны.
А вы можете объяснить почему?

На мой взгляд, если броски кубика независимы и числа должны быть в строго указанном порядке без промежутков, то вероятность выбросить 135 равна вероятности 444 и равна 1/6*1/6*1/6.

Sent from my iPhone using Tapatalk

Да, могу, конечно; но, наверное, лучше дать возможность ещё подумать другим участникам... Ну или могу в личном сообщении, чтобы не портить общую картину.

То, что Вы написали, а именно "вероятность выбросить 135 равна вероятности 444 и равна 1/6*1/6*1/6" -- совершенно верно. Но вопрос в задачке немного другой -- какая из комбинаций, 135 или 444 появится раньше? На первый взгляд (да и на второй, и на третий тоже) эти два вопроса эквивалентны, но нет.

Кстати, весь процесс легко запрограммировать на whatever, прогнать несколько (десятков) тысяч раз и самому убедиться экспериментально, что шансы не равны.

Chessplayer · Post by **Chessplayer** » 30 Dec 2020 07:44

Так как задача поставлена, то тут ничего программировать не нужно - у неё ответ один. Вероятности должны быть равны.

А в целом вы на Benford’s law что ли намекаете?

Sent from my iPhone using Tapatalk

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 07:48

Chessplayer wrote: ↑30 Dec 2020 07:44 Так как задача поставлена, то тут ничего программировать не нужно - у неё ответ один. Вероятности должны быть равны.

А в целом вы на Benford’s law что ли намекаете?

Sent from my iPhone using Tapatalk

Ну не нужно, так не нужно. Подождём правильного ответа в топике. Они, тем не менее, не равны.

Нет, Benford's law тут не при чём.

Chessplayer · Post by **Chessplayer** » 30 Dec 2020 07:53

Кубики считаются идеальными? Т.е. вероятность выпадения каждой грани 1/6 ?
Или для «обычного» кубика это не так?

Sent from my iPhone using Tapatalk

jsjs · Post by **jsjs** » 30 Dec 2020 08:14

Да, идеальные математические кубики, независимо выпадают, вероятность каждой грани 1/6.

DropAndDrag · Post by **DropAndDrag** » 30 Dec 2020 08:48

Ааа ... не так я понял задачу, но байден все равно в пролете.
Так как мы договорились, что в среднем в каждом сете из 6 бросков будут по разному значению, то для появления 3 кубиков 444, нужно 3 сета или 18 бросков. Пусть сета будут a, b, c. Если первая 4 на первой позиции, то 444 может быть создана 4 вариантами, например а4b4c4, a4c4b4. А вот 135 вариантов будет намного больше - a1a3a5, a1b3a5 и тд или 27 вариантов. Както неожиданно байдон круто пролетел в 27/4 раз. Жалко байдена ...

Привет