Среднее расстояние между двумя точками в...

[perasperaadastra]

Предлагаю головоломку.

Дан единичный квадрат (сторона = 1). Каково среднее расстояние между двумя случайными точками внутри квадрата? Все точки внутри квадрата равновероятны.

[Uzito]

http://mathworld.wolfram.com/SquareLinePicking.html" onclick="window.open(this.href);return false;

[perasperaadastra]

Если честно, аналитическое решение изяществом не отличается. Интересно, есть ли более наглядный приблизительный способ?

[venco]

Приближённо можно так:
разбиваем квадрат на 4 равных, с вероятностью 1/4 точки попадут в один под-квадрат, с вероятностью 1/4 в противоположные, и с вероятностью 1/2 - в соседние.
Дальше, в первом приближении среднее расстояние между случайными точками из разных под-квадратов можно представить как sqrt(Avg^2+d^2), где Avg - среднее расстояние точек в одном под-квадрате, а d - расстояние между под-квадратами.
Получается уравнение:
Avg=1/4*Avg/2 + 1/4*sqrt(1/2+Avg^2/4) + 1/2*sqrt(1/4+Avg^2/4)
Сводим его к би-квадратному и получаем решение:
Avg = sqrt(3/5 + 7/(5 sqrt(6)))/2 ~= 0.5412
Не сильно отличается от точного 0.5214

[perasperaadastra]

Хороший метод!

Я попробовал по-другому: разбил квадрат на 16 ячеек и считал среднее расстояние между центрами ячеек (если две точки попадают в одну ячейку, расстояние = 0). К сожалению, при таком количестве ячеек ошибка слишком велика (я получил среднее расстояние 0.47). Вручную считать больше 16 клеток сложно, поэтому попробую позже автоматизировать подсчет. Интересно, сколько клеток понадобится для точного второго знака после запятой?

[venco]

К сожалению, этот метод не подходит для вычислений вручную если делить на меньшие квадраты. В уравнении получается слишком много разных корней, и его можно решить только численно.
При разбиении на 9 квадратов получается 0.5320, на 16 - 0.5280.

[perasperaadastra]

Я имел в виду чисто численный метод, когда точки могут находиться только в центре клеток внутри квадрата. В принципе, тоже самое, что делать симуляцию по произвольным точкам...

Code: Select all

int m = 10; 						// квадратный корень от числа клеток в квадрате 
double dist = 0;					// среднее расстояние

for (int i = 1; i <= m; i++) {									// коорд x1
  for (int j = 1; j <= m; j++) {								// коорд y1
    for (int k = 1; k <= m; k++) {							// коорд x2
      for (int l = 1; l <= m; l++) {						// коорд y2
        dist = dist + sqrt(sq(k-i)+sq(l-j))/(m*m*m*m);	// расстояние между (x1,y1) и (x2, y2)
      }
    }
  }
}
dist = dist / m; 				// нормирование
print (dist);

Для 100 клеток: 0.5187
Для 400 клеток: 0.5208
Для 900 клеток: 0.5211
Для 10,000 клеток: 0.5214