Почему площадь измеряется квадратами?

[Тверпен]

Если начать мерять, к примеру, круг, то, скажем, восьмиугольники в него будут упаковываться не хуже, а может и лучше, чем квадраты. Но для того, чтобы посчитать площать этих восьмиугольников, мы опять же разбиваем их на квадраты. Что такого особенного в квадратах? Не, ну я понимаю, прямой угол, одинаковые стороны... Но почему это важно? Почему важен прямой угол? Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

Аналогично, почему объем меряется кубами?

Только не надо говорить что наш мир основан на декартовом пространстве, потому что опять же вопрос: почему?

Понятно, что площать квадрата можно вычислить, умножив одну сторону на другую, но ведь это просто определение площади. С тем же успехом мы могли сказать, что площать круга численно равна радиусу, даже без квадрата и без всяких пи. Или не могли?

Наверное, нужна была удобная функция зависимости площади от размера базовой фигуры... У квадрата - квадратичная зависимость... Все равно, как-то неочевидно.

[Helmsman]

Удобно. Потому же мы считаем в десятичной системе, а не, например, в двенадцатиричной.

[Teh Instructor]

кстати у шестиугольника даже долее красивая формула получатся, потому что его "радиус" равняется длине его стороны, и упаковываются они хорошо

[helg]

Площадь меняется не в "квадратах", а в единицах измерения площади. Объект единичной площади может быть любым - хоть восьми-, хоть двадцатиугольник. Предпочтительность квадрата - в удобстве формирования единичного элемента площади из единичного элемента длины. Сказали, что площадь зала 200 квадратных метров - легко представить его линейные размеры. А если площадь - "60 восьмиугольников со стороной метр", прикидывать будет сложнее.

[perasperaadastra]

Площадь не измеряется квадратами. Площадь измеряется единицами площади, которые получаются возведением линейных единиц в квадрат. А так можно площадь изменять прямоугольниками, параллелограммами и даже кругами. Более того, в некоторых случаях невозможно измерить площадь квадратами — например, площадь сферы.

>мы могли сказать, что площать круга численно равна радиусу, даже без квадрата и без всяких пи. Или не могли?

Могли бы при условии, что радиус в степени два. Иначе потерялась бы размерность и пришлось бы переопределять операции с площадями.

PS helg, прошу меня извинить за повторение. Я начал отвечать раньше вас, но закончил ответ после того, как вы ответили. Бывает

[Тверпен]

Хорошо, пойдем с другой стороны. Очевидно, квадраты удобнее чем прямоугольники. Прямоугольники используются потому, что в декартовой системе координат оси перпендикулярны (ну или Декарт официально придумал свою систему после того, как древние египтяне нарезали земельные участки прямоуогольниками). Но чем хорош прямоугольник? Чем хорош прямой угол? Тем, что углы всех квадрантов в системе одинаковые?

Площадь легко получается из прямоугольников в декартовой системе, но ведь умножение одной стороны на другую это просто условность... Или нет? Пусть вместо прямоугольника у нас six-pack: две бутылки на три. Умножаем - действительно, шесть. Но мы можем перекосить упаковку, в получившемся параллелограмме останется две на три бутылки и шесть всего. Но площадь параллелограмма считается через высоту, а не произведение сторон.

Чего-й то я недопонимаю.

[helg]

Предпочтительность квадрата - в удобстве формирования единичного элемента площади из единичного элемента длины.

Дайте определение площади через единичный параллелограмм - увидите, что оно сложнее, чем через единичный квадрат.

[aml5691]

После того, как геометрическая фигура единичной площади выбрана, нужно ею измерять площадь фигур произвольной формы. Чтобы это делать, нужно произвольные фигуры уметь покрывать идентичными копиями фигуры с единичной площадью, без "дыр" и перекрываний между этими идентичными фигурами.

По поводу (правильных) гексагона (6-угольника) или октагона (8-угольника), как альтернатив для геометрической фигуры, по которой определяется единица площади. У правильного 6-угольника есть преимущество перед правильным 8-угольником в том, что одинаковыми правильными 6-угольниками плоскость можно полностью покрыть без перекрываний этих 6-угольников. Сделать то же самое одинаковыми правильными 8-угольниками нельзя.

Также плоскость можно полностью покрыть без перекрываний одинаковыми правильными треугольниками и конечно одинаковыми квадратами. Есть хитрые покрытия плоскости одинаковыми 5-угольниками, но не правильными.

В случае пространств с размерностью 3 и более, если не ошибаюсь, единственный правильный многогранник, одинаковыми копиями которого можно покрыть все пространство без перекрываний этих многогранников - куб соответствующей размерности. Возможно поэтому наиболее общее определение единицы площади/обьема удобнее давать через куб/квадрат.

См.

Паркет (геометрия)
http://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation
http://en.wikipedia.org/wiki/Hexagon
http://en.wikipedia.org/wiki/Octagon

[perasperaadastra]

Но площадь параллелограмма считается через высоту, а не произведение сторон.

Векторное произведение сторон параллелограмма даст вектор, длина которого равна площади параллелограмма.

Мне кажется, ваш вопрос на самом деле о том, что такого особенного в ортогональной системе.

[kosmo]

Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

А вы попробуйте посчитать площадь какой-нибудь элементарной фигуры, например, параболы, в единицах восьмиугольников или кругов. В процессе вычислений поймёте

[aml5691]

Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

А вы попробуйте посчитать площадь какой-нибудь элементарной фигуры, например, параболы, в единицах восьмиугольников или кругов. В процессе вычислений поймёте

В кругах или 8-угольниках может и сложно, а в правильных треугольниках или 6-угольниках примерно так же просто как и в квадратах. Достаточно нарисовать сетку из 3-х семейств равноотстоящих параллельных прямых под углом в 60 градусов друг к другу и посчитать правильные треугольники или 6-угольники. Чтобы оценить площадь в квадратах, конечно достаточно сетки из двух перпендикулярных семейств равноотстоящих параллельных прямых.

[kosmo]

Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

А вы попробуйте посчитать площадь какой-нибудь элементарной фигуры, например, параболы, в единицах восьмиугольников или кругов. В процессе вычислений поймёте

В кругах или 8-угольниках может и сложно, а в правильных треугольниках или 6-угольниках примерно так же просто как и в квадратах. Достаточно нарисовать сетку из 3-х семейств равноотстоящих параллельных прямых под углом в 60 градусов друг к другу и посчитать правильные треугольники или 6-угольники. Чтобы оценить площадь в квадратах, конечно достаточно сетки из двух перпендикулярных семейств равноотстоящих параллельных прямых.

Ну приведите здесь как вычислить интеграл от -2 до +1 функции Х^2. В единичных треугольниках.

[aml5691]

Почему другие фигуры не подходят в качестве базовой фигуры? Как объяснить это ребенку и себе?

А вы попробуйте посчитать площадь какой-нибудь элементарной фигуры, например, параболы, в единицах восьмиугольников или кругов. В процессе вычислений поймёте

В кругах или 8-угольниках может и сложно, а в правильных треугольниках или 6-угольниках примерно так же просто как и в квадратах. Достаточно нарисовать сетку из 3-х семейств равноотстоящих параллельных прямых под углом в 60 градусов друг к другу и посчитать правильные треугольники или 6-угольники. Чтобы оценить площадь в квадратах, конечно достаточно сетки из двух перпендикулярных семейств равноотстоящих параллельных прямых.

Ну приведите здесь как вычислить интеграл от -2 до +1 функции Х^2. В единичных треугольниках.

Вычисление площади фигуры с использованием интегралов основывается на определении понятии площади, которое использует предельный переход и уже не имеет прямого отношения к аппроксимации фигур квадратами или другими фигурами.

В основе различных определений интеграла функций одной действительной переменной лежат интегральные суммы, которые можно интерпретировать как аппроксимацию площади под произвольной кривой более простыми геометрическими фигурами, однако эти фигуры - не квадраты. В случае определения интеграла по Риману, эти фигуры - прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат. В случае определения по Лебегу, насколько помню, аппроксимирующие фигуры могут и не быть прямоугольниками, но для "достаточно простых" функций также являются прямоугольниками.

[aml5691]

Мне кажется, что интересный вопрос, с которого началось это обсуждение, можно интерпретировать по-разному и по-разному на него ответить.

Один способ конкретизирировать вопрос - основываться на простом, житейском, понятия измерения площади. Имеется эталон единицы площади (определенная геометрическая фигура, достаточно маленькая) и соглашение о способе измерения (как можно более точное покрытие измеряемой площади копиями эталонной фигуры, без пересечения этих эталонов). Какую геометрическую форму лучше выбрать за эталон?

Понятно, что покрытие площади произвольной формы эталонами будет оставлять "дыры" у границы площади и между эталонами, но, если выбрать эталон правильной формы, то от дыр можно избавиться по крайней мере внутри площади.

Если выбор фигур эталонов ограничить правильными многоугольниками, то вариантов для покрытия без дыр внутри площади три - правильные треугольник или 4-угольник или 6-угольник. Если нужен эталон-многоугольник, но не обязательно правильный, то к этим трем вариантам добавляются и другие, в том числе 5-угольники. Если допустить эталон ограниченный непрерывной кривой, то вариантов будет бесконечно много.

Как писал выше, интересно, что если обобщить это измерение площади на об'ем (в размерностях 3 и более), и искать эталон для покрытия без дыр среди правильных многогранников, то похоже, что куб соответствующей размерности - единственный вариант.

[perasperaadastra]

Куда-то Тверпен пропал. Боюсь, мы перестарались со своими мнениями