Табуретка и горбатый пол.

[venco]

Прямоугольный стол тоже можно на месте развернуть так, чтобы он стоял всеми четырьмя ножками.
Проведём вертикальную прямую v через некую точку пола C. Теперь для всех плоскостей, проходящих через прямую v отметим по две точки X и Y пересечения плоскости и пола таких, что расстояние |XY| равно диагонали стола, а середина отрезка XY лежит на прямой v. Множество таких точек образует на полу кривую s, близкую к окружности.
Теперь определим функцию h(X) - координату середины отрезка |XY| на прямой v. Если h(X) - константа, то стол будет стоять всеми ножками независимо от поворота. Иначе h(X) будет иметь минимум (в точке A) и максимум (в точке B). Если мы поставим стол одной диагональю на отрезок с началом в A, то вторая диагональ точно будет выше, а если повернём первую диагональ до точки B, то вторая диагональ точно станет ниже. Из непрерывности найдётся в промежутке между этими положениями такое, в котором все четыре ножки стоят на полу.
QED

[venco]

Ставим 3 ножки на пол, 4-ая висит.

Как выбирается место, куда ставить?

Любое.

Ведь есть случаи, когда приведенный алгоритм не работает.

Поясни.

[Deynekin]

DeynekinДавайте ещё, посложнее.

-Нэту! по крайней мере, пока...

О самом решении: спасибо, всё хорошо и правильно, на мой взгляд. Правда, несколько громоздко. При этом одна только чисто техническая зазубрина осталась: как формализовать поворот нашего квадрата? Ведь центр гуляет, ориентация - тоже... Т.е. цель - всё свести к зависимости от угла поворота, вот только сам этот "угол поворота" описать трудновато. Хотя на интуитивном уровне вопросов не возникает.

Послесловие: итак, табуретку всегда можно поставить так чтобы не шаталась. Причём от любого места, где вы её сначала поставили на три ноги вовсе необязательно уходить далеко: устойчивое положение найдётся путём поворота, причём на угол не более 90 градусов!

[Polar Cossack]

Если бы при повороте 4-ая ножка ни разу не коснулась пола, то теперь, подняв 3-ю на высоту, на которой раньше висела 4-ая, мы должны были получить исходное положение, т.к. квадрат симметричен...

Поверхность - тоже?

[venco]

Если бы при повороте 4-ая ножка ни разу не коснулась пола, то теперь, подняв 3-ю на высоту, на которой раньше висела 4-ая, мы должны были получить исходное положение, т.к. квадрат симметричен...

Поверхность - тоже?

Нет.

[venco]

При этом одна только чисто техническая зазубрина осталась: как формализовать поворот нашего квадрата? Ведь центр гуляет, ориентация - тоже... Т.е. цель - всё свести к зависимости от угла поворота, вот только сам этот "угол поворота" описать трудновато. Хотя на интуитивном уровне вопросов не возникает.

В случае с квадратом можно в принципе поворачивать по любой траектории. Если в начале было ниже, а в конце - выше, то где-то между должен быть ноль.
В случае с прямоугольником пришлось придумать такую траекторию, чтобы в момент прохода через ноль у нас был нужный прямоугольник.

[venco]

Да, если стол - не прямоугольный, то, похоже, одного вращения недостаточно. Я этот случай рассматривать не берусь.

[vaduz]

Ведь есть случаи, когда приведенный алгоритм не работает.

Поясни.

1. Ставим квадрат на плоский пол.
2. Проводим из центра квадрата два луча через две соседние вершины квадрата
3. Сдвигаем вниз часть пола внутри угла, включая лучи
4. Сдвигаем в прежнее положение один из лучей и все, что под ним

Получаем ситуацию, когда при любом угле поворота одна и только одна из сторон квадрата "висит" внутри "дырки".
Пол при этом непрерывен.

[venco]

Согласен, что есть проблема с определением непрерывности пола, т.к. в зависимости от направления вертикали одна и та же поверхность пола может быть и непрерывной, и с разрывами. Поэтому задача решается для случая, когда пол не слишком неровен. Точное определение этому условию дать трудно.
Давай ограничимся полом без ступенек.

Кстати, в твоём случае задача как раз решается, и даже без поворота.
Обе ножки над вырезом опускаются вниз и упираются в стенки ступеньки.

[Vasilisa B]

1. Аксиома стереометрии:
В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки пространства проходит плоскость.
2. Четвертая точка пространства (пол) может находится за пределами этой плоскости.
3. Если точка находится за пределами плоскости проходящей через три остальные точки пространства, то надо найти другую точку пространства-пола, которая будет в той же плоскости.

Общий ответ: Если в пространстве-поле есть какие угодно точки, то такую точку можно найти с помощью стула.

Частный случай 1: Если пол вмеру ровный, т.е. пространство-пол является плоскостью, с небольшими отклонениями, то их (пол и плоскость) можно условно совместить (вариант с поворотом стула).
Частный случай 2: Если пол очень горбатый и площадь его мала, то совместить не получится (шкаф в хрущёвке) и придётся подкладывать стирательную резинку под одну из ножек.

P.S. Бутылку приготовленную для здачи экзамена по стереометрии присылайте мне!

[Vasilisa B]

Deynekin, задачка довольно простая, но было интересно почитать заблуждения других. Давайте ещё, посложнее.

+1

P.S. Вобще такие вещи в науку надо бросать.

[vaduz]

Согласен, что есть проблема с определением непрерывности пола, т.к. в зависимости от направления вертикали одна и та же поверхность пола может быть и непрерывной, и с разрывами. Поэтому задача решается для случая, когда пол не слишком неровен. Точное определение этому условию дать трудно.
Давай ограничимся полом без ступенек.

Кстати, в твоём случае задача как раз решается, и даже без поворота.
Обе ножки над вырезом опускаются вниз и упираются в стенки ступеньки.

Нифига, специально же сделано, чтобы две не влезло. Надо стол как минимум двигать.
Кстати, решение невозможно даже если нет ступеньки, а есть просто наклон.

[venco]

В случае с прямоугольником пришлось придумать такую траекторию, чтобы в момент прохода через ноль у нас был нужный прямоугольник.

Не совсем так. В случае с прямоугольником хитрое построение требовалось, чтобы найти два положения, в которых одна диагональ находится выше и ниже другой диагонали. А двигать из одного положения в другое можно также по любой траектории.

[venco]

Нифига, специально же сделано, чтобы две не влезло. Надо стол как минимум двигать.

Неважно, ступенька приравнивается к разрыву. Согласен?

Кстати, решение невозможно даже если нет ступеньки, а есть просто наклон.

А вот здесь поподробнее, плз.

[Vasilisa B]

Нифига, специально же сделано, чтобы две не влезло. Надо стол как минимум двигать. Кстати, решение невозможно даже если нет ступеньки, а есть просто наклон.

В теории возможно. На практике невозможно.
Однако, на практике есть еще один фактор - гибкость стула. Т.е. если на этот стул посадить достаточно толстую Жэ, то стул прогнётся достаточно, чтобы четвертая ножка достало "неровную плоскость - пол".