Табуретка и горбатый пол.

[Deynekin]

Независимо от формы пола, табуретку всегда можно поставить так, чтобы она не качалась. - Доказать.

Для буквоедов:
1) пол - произвольная "достаточно большая" непрерывная поверхность;
2) опорные концы ножек табуретки образуют квадрат.

Естественно-напрашивающиеся вопросы-обобщения этой задачи будут предложены по мере её решения.

Иллюстрация из жизни. Недавно мы с приятелем сидели в аэропортовском буфете за круглым столиком, смонтированным на круглой колонне-стойке, расходящейся внизу на четыре опорные лапы. Столик шатался, и приятель, знакомый с задачей "сложить газету пополам пятьдесят раз" (получается пакет, толщиной, соизмеримой с расстоянием от Земли до Солнца), стал складывать салфетку, чтобы подложить под качающуюся опору. Я же, вспомнив предложенную выше задачу, к удивлению приятеля "решил проблему" простым поворотом столика.

[Polar Cossack]

В общем случае, Вы не правы. Не на любую поверхность можно положить квадрат.

[AKBApuyc]

В общем случае, Вы не правы. Не на любую поверхность можно положить квадрат.

Автор на практике устанавливает столы на любой поверхности простым верчением и просит Вас доказать, что это у него получается по науке.

[Teh Instructor]

для решения этой задачи перепад высот поверхности должен быть сопоставим с перепадом высот ножек. Что для стандартного качества пола и стандартного качества табуреток - обычно соблюдается.
Что и требовалось доказать.

Рассмотрим девиации от стандартного качества для табуреток и пола. Можно заменить, что при ухудщении качества табуретки вероятность поставить ее падает очень сильно.
В то время как если ухудшать качество пола, вероятность возможности поставить на него качественную табуретку по прежнему будет высока, но только до определенной степени.

[Australopitek]

В общем случае, Вы не правы. Не на любую поверхность можно положить квадрат.

+1. Частные случаи с столиками в аэропортовском буфете - только частные случаи.

[Merilica]

Если бы у стола/табуретки было бы три ноги, еще можно было бы о чем-то разговаривать, а четыре ноги - это уже перебор.

[Australopitek]

Рассмотрим девиации от стандартного качества для табуреток и пола. Можно заменить, что при ухудщении качества табуретки вероятность поставить ее падает очень сильно.
В то время как если ухудшать качество пола, вероятность возможности поставить на него качественную табуретку по прежнему будет высока, но только до определенной степени.

Давайте подведем теоретическую базу. Для затравки предлагаю теорему: Для каждого некачественного пола можно изготовить, как минимум одну некачественную табуретку, которая будет опираться на четыре или более ножек, не качаясь.

[Australopitek]

Если бы у стола/табуретки было бы три ноги, еще можно было бы о чем-то разговаривать, а четыре ноги - это уже перебор.

Математики утверждают, что трехногие столы не надо крутить, они и так не качаются.

[Merilica]

Если бы у стола/табуретки было бы три ноги, еще можно было бы о чем-то разговаривать, а четыре ноги - это уже перебор.

Математики утверждают, что трехногие столы не надо крутить, они и так не качаются.

А если в результате поворота стола (четырехногого) он перестал качаться, значит просто повезло, а могло и не повезти.

[KP580BE51]

У стола три ножки будут опираться в любом случае. Значит нужно найти точку, где будет упираться в землю и четвертая. Учитывая что столы обычно имеют свойство гнуться, то допуски по высоте достаточного большие.

[vaduz]

Насколько я понял условие, кроме поворота допускается перенос. Проекцию центра тяжести табуретки внутрь квадрата, образованного ножками, пока для простоты не требуем.
Чтобы опровергнуть утверждение достаточно привести пример поверхности, на которой нельзя найти четыре точки, образующие квадрат заданного размера. ИМХО, поверхность должна быть гладкой.

[Polar Cossack]

Насколько я понял условие, кроме поворота допускается перенос. Проекцию центра тяжести табуретки внутрь квадрата, образованного ножками, пока для простоты не требуем.
Чтобы опровергнуть утверждение достаточно привести пример поверхности, на которой нельзя найти четыре точки, образующие квадрат заданного размера.

Это делается легко. Любимым методом от противного. Поверхность по определению произвольная. Если нельзя найти место, в котором опираются три ноги (недостаточно пологие изгибы) - доказано. Если можно в любом месте - рассматриваем проекцию четвертой опоры. Так как поверхность произвольная, то точка проекции может находиться ниже или выше токи опоры табуретки. Три остальные точки касания определяют плоскость (не могут менять положение), следовательно, четвертая в обзем случае не лежит в той же плоскости.
Более того, при достаточно больших допусках к кривизне поверхности случай, когда табурет стоит устойчиво - вырожденный случай.

[vaduz]

Насколько я понял условие, кроме поворота допускается перенос. Проекцию центра тяжести табуретки внутрь квадрата, образованного ножками, пока для простоты не требуем.
Чтобы опровергнуть утверждение достаточно привести пример поверхности, на которой нельзя найти четыре точки, образующие квадрат заданного размера.

Это делается легко. Любимым методом от противного.

Не убедилo...
Я сходу могу привести пару примеров произвольных поверхностей, где можно найту бесконечное число квадратов : плоскость, сфера. Можете ли вы привести хоть одну поверхность, даже не гладкую, где этого сделать нельзя?

[Polar Cossack]

Насколько я понял условие, кроме поворота допускается перенос. Проекцию центра тяжести табуретки внутрь квадрата, образованного ножками, пока для простоты не требуем.
Чтобы опровергнуть утверждение достаточно привести пример поверхности, на которой нельзя найти четыре точки, образующие квадрат заданного размера.

Это делается легко. Любимым методом от противного.

Не убедилo...

Легко проверить на натуре.

[vaduz]

Насколько я понял условие, кроме поворота допускается перенос. Проекцию центра тяжести табуретки внутрь квадрата, образованного ножками, пока для простоты не требуем.
Чтобы опровергнуть утверждение достаточно привести пример поверхности, на которой нельзя найти четыре точки, образующие квадрат заданного размера.

Это делается легко. Любимым методом от противного.

Не убедилo...

Легко проверить на натуре.

Я сходу могу привести пару примеров произвольных поверхностей, где можно найту бесконечное число квадратов : плоскость, сфера. Можете ли вы привести хоть одну поверхность, даже не гладкую, где этого сделать нельзя?

[Polar Cossack]

Насколько я понял условие, кроме поворота допускается перенос. Проекцию центра тяжести табуретки внутрь квадрата, образованного ножками, пока для простоты не требуем.
Чтобы опровергнуть утверждение достаточно привести пример поверхности, на которой нельзя найти четыре точки, образующие квадрат заданного размера.

Это делается легко. Любимым методом от противного.

Не убедилo...

Легко проверить на натуре.

Я сходу могу привести пару примеров произвольных поверхностей, где можно найту бесконечное число квадратов : плоскость, сфера. Можете ли вы привести хоть одну поверхность, даже не гладкую, где этого сделать нельзя?

А понятно различие между "любую" и "пару примеров"? Пример - легко: любая советская столовая.

[valeriypi]

Я думал тут обсуждают катание на моторизованной тубуреткe и возможности избежания краша

[Deynekin]

Если бы у стола/табуретки было бы три ноги, еще можно было бы о чем-то разговаривать, а четыре ноги - это уже перебор.

А по-моему, как раз в случае трёх ног говорить не о чём, а для четырёх именно что появляется тема для разговора.

Не на любую поверхность можно положить квадрат.

Один пример - всего лишь один пример! - и Ваша взяла!
Если верить старому журналу "Квант", из которого "вспомнена" эта задача, то - можно.

Hint:
1. Качение всегда происходит вокруг одной из диагоналей.
2. Всегда можно иметь три ножки, касающиеся поверхности.
3. Будем, сохраняя контакт трёх ножек, двигать наш квадрат так, чтобы диагонали поменялись местами...

[Polar Cossack]

Если бы у стола/табуретки было бы три ноги, еще можно было бы о чем-то разговаривать, а четыре ноги - это уже перебор.

А по-моему, как раз в случае трёх ног говорить не о чём, а для четырёх именно что появляется тема для разговора.

Не на любую поверхность можно положить квадрат.

Один пример - всего лишь один пример! - и Ваша взяла!
Если верить старому журналу "Квант", из которого "вспомнена" эта задача, то - можно.

Hint:
1. Качение всегда происходит вокруг одной из диагоналей.
2. Всегда можно иметь три ножки, касающиеся поверхности.
3. Будем, сохраняя контакт трёх ножек, двигать наш квадрат так, чтобы диагонали поменялись местами...

Ну, раз Квант - докажите, что на произвольной поверхности есть сечение квадратом данного размера, в котором углы лежат на поверхности, и Ваша взяла.
Да, ни табуретка, ни квадрат не "умеют" катиться. ... А, кажется, Вы имели в виду "качание".
Если поменять диагонали местами - ничего не изменится - табурет-то квадратный.

[vaduz]

Насколько я понял условие, кроме поворота допускается перенос. Проекцию центра тяжести табуретки внутрь квадрата, образованного ножками, пока для простоты не требуем.
Чтобы опровергнуть утверждение достаточно привести пример поверхности, на которой нельзя найти четыре точки, образующие квадрат заданного размера.

Это делается легко. Любимым методом от противного.

Не убедилo...

Легко проверить на натуре.

Я сходу могу привести пару примеров произвольных поверхностей, где можно найту бесконечное число квадратов : плоскость, сфера. Можете ли вы привести хоть одну поверхность, даже не гладкую, где этого сделать нельзя?

А понятно различие между "любую" и "пару примеров"? Пример - легко: любая советская столовая.

А вам понятно, что примером (плоскость), который противоречит вашему утверждению (Легко проверить на натуре) это утверждение опровергается?
Ваше же построение не содержит примера, который бы опроверг утверждение автора темы, и не содержит доказательства от противного.

[vm__]

Автор на практике устанавливает столы на любой поверхности простым верчением и просит Вас доказать, что это у него получается по науке.

Условие 2 очень сильное (про квадрат). На практике сплошь и рядом пол довольно ровный, а стол - кривой. Но это уже другая задача

[Polar Cossack]

А вам понятно, что примером (плоскость), который противоречит вашему утверждению (Легко проверить на натуре) это утверждение опровергается?
Ваше же построение не содержит примера, который бы опроверг утверждение автора темы, и не содержит доказательства от противного.

А Вам не понятно, что пример "плоскость" уж очень далек от "произвольной поверхности". Нужно-то доказать не "найдется поверхность...", а "на любой..."
Что не содержит доказательства, тоже нужно доказать.

[vaduz]

А вам понятно, что примером (плоскость), который противоречит вашему утверждению (Легко проверить на натуре) это утверждение опровергается?
Ваше же построение не содержит примера, который бы опроверг утверждение автора темы, и не содержит доказательства от противного.

А Вам не понятно, что пример "плоскость" уж очень далек от "произвольной поверхности". Нужно-то доказать не "найдется поверхность...", а "на любой..."
Что не содержит доказательства, тоже нужно доказать.

Да, я вижу, вам непонятно...
Relax, подождем настояшчих секарей...

[Polar Cossack]

А вам понятно, что примером (плоскость), который противоречит вашему утверждению (Легко проверить на натуре) это утверждение опровергается?
Ваше же построение не содержит примера, который бы опроверг утверждение автора темы, и не содержит доказательства от противного.

А Вам не понятно, что пример "плоскость" уж очень далек от "произвольной поверхности". Нужно-то доказать не "найдется поверхность...", а "на любой..."
Что не содержит доказательства, тоже нужно доказать.

Да, я вижу, вам непонятно...

Я задавал вопросы?

[Deynekin]

Ну, раз Квант - докажите, что на произвольной поверхности есть сечение квадратом данного размера, в котором углы лежат на поверхности, и Ваша взяла.

- Э-э, нет, так не пойдёт. Вы просто переформулировали мою задачу "в более строгих (скучных) терминах" - нужно, ещё, правда, непременно добавить слово "непрерывной": "на протзвольной непрерывной поверхности..." Так что, как возражение-контрдовод, я этого принять не могу.

Да, ни табуретка, ни квадрат не "умеют" катиться. ... А, кажется, Вы имели в виду "качание".

- Ну, насчёт первого, это смотря, как сильно ногой поддать. Как говорил Швейк: "Айн-цвайн - так и полетит с лестницы!"
В то же время признаю: в Apr 2009 21:16 случилась глупая описка; должно было быть "Качание всегда происходит...", а не "Качение..."

Если поменять диагонали местами - ничего не изменится - табурет-то квадратный.

- А Вы попробуйте! Нет-нет, Вы действительно попробуйте "поменять местами"! Вот прямо так, возьмите и попробуйте!..
(Hint: сделайте это не одним скачком, чтобы "ничего не измелось", а ползя тремя вершинами по поверхности, - вот, кстати, где и непрерывность понадобится!)

PS Я вот думаю: может, упоминание про "Квант" снять (ну, сказать, что я его для страху выдумал), чтобы приумолкшие шутники снова оживились? А то решать задачку - это думать надо, а шутки шутить много проще.