Математическая задачка - just for fun

[VladStar]

Мне тут на днях задали одну математическую задачку:
Найти число, которое бы увеличивалось ровно вдвое при перестановке (переносе) его последней цифры в старший разряд.

Т.е., к примеру, исходное число 1xxx2 должно быть ровно вдвое меньше полученного числа 21xxx.

Задачу я, конечно, решил, по ходу получив изрядный фан... Задачка, по словам Ирины Б., задавшей мне ее, была на олимпиаде по математике для пятиклассников. Кстати, не думайте, что все так просто, с "пол-пинка" тут числа не подбираются. "А Вам слабО ?"

[omnibee]

263157894736842105

не знаю можно ли короче. кстати, я именно подбирал числа, начиная с младшей цифры и наращивая их влево...

[olg2002]

Не слабо для пятиклассников!
Поскольку чисел таких много, приведу одно без боязни
испортить удовольствие другим:

157894736842105263157894736842105263

[olg2002]

Привычка сразу решать задачу в общем случае.
Просили ведь одно число найти, а не все.
Отличная задача для олимпиады в 5-м классе!
Самое маленькое число, кстати, 105263157894736842.

[Belarus]

Народ, оглашайте метод решения..
Найти такое число сидя у 64-битного компьютера - не вопрос, а как же ДЕТИ это делают?

[VladStar]

[quote:483c51f0de="olg2002"]Не слабо для пятиклассников!
Поскольку чисел таких много, приведу одно без боязни
испортить удовольствие другим:

157894736842105263157894736842105263[/quote:483c51f0de]

На самом деле, не так уж и много... больше того скажу - некоторых сочетаний просто не существует (т.к. первой цифрой высчитанного числа оказывается "0"). Я развлекся тем, что написал простенький скрипт на perl'е, позволяющий высчитывать числа в зависимости от заданной последней цифры и множителя. Для тех, кто не сможет высчитать самостоятельно, либо просто захочет посмотреть на различные результаты при разных исходных данных - взять его можно здесь: http://vladstar.pp.ru/temp/justforfun.pl.

P.S. Да, специально для Юниксоидов - версия скрипта с сообщениями в koi8 - http://vladstar.pp.ru/temp/justforfun_koi.pl.

[VladStar]

[quote:fd1fc7217f="Belarus"]Народ, оглашайте метод решения..
Найти такое число сидя у 64-битного компьютера - не вопрос, а как же ДЕТИ это делают?[/quote:fd1fc7217f]

А самому(самой) подумать над алгоритмом решения задачи ? В этом и состоит фан...

[olg2002]

[quote:6dd42719fc="VladStar"]На самом деле, не так уж и много...[/quote:6dd42719fc]

Вот разница между программистским и математическим подходом!
У меня получилось счетное множество.

[dancing_in_the_rain]

[quote:2ede62fba2="Belarus"]Народ, оглашайте метод решения..
Найти такое число сидя у 64-битного компьютера - не вопрос, а как же ДЕТИ это делают?[/quote:2ede62fba2]
Ну, для начала, берут любое однозначное число и умножают его на два

[helg]

Запишем число до удвоения в виде

Ab

где b - младшая цифра, а A - все остальные.

Если число Ab - n+1-разрядное, то bA - это 10**n*b+A. По условию bA=2*Ab, то есть:

10**n * b + A = 2* (10*A + b)

или

(10**n -1 )-2)*b = 19*A (*)

Любое решение этого уравнения, где b - цифра, а А - число, даст нам ответ.

Поскольку 19 - простое число, а b<10, значит 10**n - 2 делится на 19. Стало быть, соответствующая степень десятки должна давать остаток 2 при делении на 19. Если к-я степень десятки дает R в остатке, то (K+1)-я - (10*R mod 19). Из этого находим подходящую степень:

В нижеприведенной таблице первая колонка - степень 10, вторая - остаток от деления ее на 19

0 1
1 10
2 5
3 12
4 6
5 3
6 11
7 15
8 17
9 18
10 9
11 14
12 7
13 13
14 16
15 8
16 4
17 2
18 1
19 10
...

Видно, что дальще все повторяется, и условиям задачи удовлетворяет
n=18*k-1, кде k-натуральное число.

Подставляя это в формулы выше, получим, что общая формула, описывающая все числа, удваивающиеся при перемещении последней цифры на первой место:

(10**(18*k-1)-2)*b*10/19 +b,

где к - натуральное, а b - ненулевая цифра.

Наименьшее такое число - когда k=1, b=2:
(10**17-2)*2*10/19+2 = 105263157894736842
поскольку при b=1 первой цифрой числа оказывается ноль.

В последнем рассуждении использовался калькулятор.

Интересно, что ответ - это прокрученый период дроби 1/19, да и все остальные ответы - тоже. Поняв это, можно привести более красивое решение.

Олег

[dancing_in_the_rain]

Oleg,
this is beautiful, but I doubt that this is how you are supposed to do it in the 5th grade!

[Chapaev]

[quote:59204c83e1="helg"]...Наименьшее такое число - когда k=1, b=2:
(10**17-2)*2*10/19+2 = 105263157894736842
Олег[/quote:59204c83e1]
В условии не сказано о системе счисления.
Наименьшее число = 1012 в трехричной системе счисления, что равно 32 в десятиричной.

[Chapaev]

Ого, тут есть еще меньшее числою
13 в пятеричной = 8 в десятиричной

[Drom]