Кубик из резисторов

Joker · Пт янв 25, 2002 5:33 pm

Я сперва и не собирался bother, но меня смутил восторженный отзыв Mikhail_L... [img:b4d835a63f]images/smiles/icon_wink.gif[/img:b4d835a63f]

Mikhail_L · Пт янв 25, 2002 6:19 pm

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
Я сперва и не собирался bother, но меня смутил восторженный отзыв Mikhail_L... [img:5ce8390c61]images/smiles/icon_wink.gif[/img:5ce8390c61] <hr></blockquote>

отзыв был об элегантности мысли - очень уж понравилось что просто можно разрезать, переписав сопротивления. задача упрощается значительно. Просто очень здорово, когда встречаются такие мысли. Это как, например, паять провода с аспирином - креатив. Или, например, однажды встретил такое (прошу прощения за отступление): начали в городе Казани реставрировать дворец спорта, закупили тонированные стекла для наружной отделки... Поставили первую партию и оказалось что они просвечивают и через них изоляцию видно. Зрелище довольно неприятное. Стояло такое зрелище с месяц, наверное попало всем за халатность. А потом гляжу, все застеклили и нормально - ничего не видно. Какой то прораб предложил просто черной краской покрасить внутри. И все дела. Решение на поверхности, а не все видят.

А про то, что ответ 5/6 - это точно, ну опечатка просто, наверное.

Михаил.

Joker · Пт янв 25, 2002 7:40 pm

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Mikhail_L:
[i:7fb9397b85]отзыв был об элегантности мысли - очень уж понравилось что просто можно разрезать, переписав сопротивления. задача упрощается значительно.[/i:7fb9397b85]<hr></blockquote>Упрощается??? Я до сих пор не понимаю, как ее решать после этого - я серьезно [img:7fb9397b85]images/smiles/icon_eek.gif[/img:7fb9397b85] объяснить можете?
Имхо, ничего проще и красивее элементарного (видимо, основного) решения, когда точки с одинаковым потенциалом объединяются, нет...

Drom · Сообщение **Drom** » Пт янв 25, 2002 9:20 pm

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
Упрощается??? Я до сих пор не понимаю, как ее решать после этого - я серьезно [img:7d22caf427]images/smiles/icon_eek.gif[/img:7d22caf427] объяснить можете?
Имхо, ничего проще и красивее элементарного (видимо, основного) решения, когда точки с одинаковым потенциалом объединяются, нет...<hr></blockquote>

оно не проще и не красивее, но интересное.

восьмерка на цифровых часах.
такой же формы схема из 7 резисторов.
верхний и нижний по 2 R, остальные по R.
сопротивление схемы меряется в дальних точках.
flip_flop распилил кубик на две такие схемы (2R получилoсь на ребрах куба, которые были в схемах общими)

Joker · Пт янв 25, 2002 10:28 pm

Это-то я понял, и даже нарисовал себе эту "восьмерку" (я бы сказал, два квадрата [img:6b37dbfabc]images/smiles/icon_smile.gif[/img:6b37dbfabc] ) - Но, а что дальше? Автор писал про два внутренних узла (? - их вроде как 4?), треугольник (???) и звезду (?????)

Drom · Пт янв 25, 2002 10:52 pm

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
... [img:9cab53dd84]images/smiles/icon_smile.gif[/img:9cab53dd84] ) - Но, а что дальше? Автор писал про два внутренних узла (? - их вроде как 4?), треугольник (???) и звезду (?????)<hr></blockquote>

п-прикалываетесь? [img:9cab53dd84]images/smiles/icon_wink.gif[/img:9cab53dd84] ок, для любой из этих "2-х квадратных схем": две цепочки резисторов (2R+R) сразу рассматриваем как 3R - остаются 2 внутренних узла на общей стороне 2-х треугольников - каннибализируем любой из них (треугольников) в звезду, получившaяся cxeмa - сперматозоид (вы бы cказaли... "квадрат с хвостом"?) уже решается в лоб.

[ 25-01-2002: Message edited by: Drom ]

Joker · Сб янв 26, 2002 1:23 am

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Drom:
[i:907250b859]п-прикалываетесь? [img:907250b859]images/smiles/icon_wink.gif[/img:907250b859] [/i:907250b859]<hr></blockquote>Нет, просто отупел окончательно к вечеру [img:907250b859]images/smiles/icon_smile.gif[/img:907250b859]
Все равно, очень некрасиво и слишком сложно... имхо...

flip_flop · Сб янв 26, 2002 1:45 am

Сорри, проблемы с арифметикой - конечно 5/6 (решал забавную задачку на митинге, мешали коллеги). Джокер, Ваше решение конечно проще, просто надо рисовать куб, учитывать симметрию и считать число граней между еквипотенциальными точками. Можно предложить компромисс (хе-хе, если Вы не против) - сводим не все еквипотенциали в одну точку, а вначале по горизонтальным граням (получаем "восьмерку" на плоскости с сопротивлениями R, R/2) а затем еще две пары еквипотенциалей по диагоналям квадратов, получаем все те же R/3+R/6+R/3=5/6R . Что еще раз демонстрирует гомоморфизм между математикой и теорией цепей. Известный всем Киргофф в позапрошлом веке показал связь между решением систем линейных уравнений и редукцией резистивных цепей. Что проще, решать каждому по вкусу. Я так понял, понятия звезды и треугольника Вам не знакомы, Вы наверное физик-теоретик? Сорри еще раз.
Cheers

Joker · Сб янв 26, 2002 1:48 am

Вы попали в точку [img:83e6d651a6]images/smiles/icon_smile.gif[/img:83e6d651a6] [img:83e6d651a6]images/smiles/icon_smile.gif[/img:83e6d651a6] [img:83e6d651a6]images/smiles/icon_smile.gif[/img:83e6d651a6]

AK70 · Сообщение **AK70** » Сб янв 26, 2002 3:06 am

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
Для аналитических вычислений существует специальный пакет — Mathematica... намного лучше всех этих распространенных средств - Матлаба и Маткада. Имхо, разумеется.<hr></blockquote>

Matlab integrates Maple. Maple is as powerful as Matematica. I personally like Maple.

Mikhail_L · Сб янв 26, 2002 3:42 am

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by flip_flop:
...
Разрезаем куб на 2 части по диагоналям горизонтальных граней плоскостью, проходящей через заданные точки. Получаем 2 половины куба ...<hr></blockquote>

изящно. нравится, сразу и не догадаешься, если ни разу не применял.

flip_flop · Сб янв 26, 2002 6:11 pm

<blockquote>quote:<hr>Originally posted by Joker:
Вы попали в точку [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] <hr></blockquote>
Тогда понятно, почему элементарные выкладки кажутся Вам сложными и некрасивыми [img:c482247aad]images/smiles/icon_wink.gif[/img:c482247aad] В защиты метода разрезания кубика - он годится для любых резисторов без учета эквипотенциалей и столь любимих физиками симметрий [img:c482247aad]images/smiles/icon_wink.gif[/img:c482247aad] . А вот в защиту эквивалентного преобразования звезды в треугольник можно привести некоторое усложнение задачи (навеяно Бэй Бридж) - укрепляем кубик таким образом, чтобы каждая вершина куба соединялась со всеми оставшимися вершинами (сопротивления разные). Преобразование обобщенного треугольника в обобщенную звезду позволяет легко (ну не очень сложно) найти искомое сопротивление, в том числе и в виде формулы. Какая есть тому альтернатива (безо всяких там компютеров) ?

wanderer · Чт фев 07, 2002 11:30 pm

quote:
--------------------------------------------------------------------------------
Originally posted by AK70:
you have a mesh - NxN points, connected with resistors (R) of length L. so if N=9, then it looks like a chessboard
what's a resistance, between its two farest corners? for N=2, it's R.

now, somebody throws the ball (D is its diameter). it breakes every resistor, which was impacted.

what's going to be the average resistance of the mesh between it's two farest corners?

he-he... this is THE PROBLEM

--------------------------------------------------------------------------------

Между прочим, красивая задача!

... Но, увы, неоднозначная. Очевидно, ответ зависит от того, как близко шарик упал к одному из тех двух углов, в которых меряется сопротивление. Представим случай когда шарик в точности разбивает те два резистора составляющих этот самый угол. Тогда сопротивление становится бесконечным. Вместе с тем, интуитивно ясно, что чем ближе падение шара к центру квадрата (точнее ко второй диагонали), тем меньше влияние на изменение сопротивления.

Интуицию можно легко подтвердить строгим анализом частного случая:

Сначала разберемся, как считать сопротивление первоначальной сетки:
соединим две точки измерения воображаемой линией.
В силу симметрии, все вершины лежащие на линиях перпендикулярных к этой линии эквипотенциальны, значит их можно соединить.

В итоге получается ряд (считаем сопротивление = 1):

1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/(2*(N-1)) + 1/(2*(N-1)) + ... + 1/6 + 1/4 + 1/2

Теперь предположим что диаметр шара почти 3, т.е. он целиком помещается внутри квадрата 3 на 3 и разбивает все резисторы внутри.

Предположим, что точки измерения сопротивления находятся в координатах (0,0) и (N-1, N-1).

Присвоим произвольной эквипотенциальной диагонали соединяющей точки (0,K) и (K, 0) номер K.

Предположим, что шар сделал прорыв где-то между диагоналями K и (К+6), что и соответствует квадрату 3 на 3.

Тогда в изначальном ряду нужно заменить 1/K на 1/(K-2) (на 2 резистора меньше), 1/(К+2) на 1/(К+2-4) (на 4 резистора меньше), затем по убывающей (на 4 резистора меньше и снова на 2). Начертите рисунок, станет ясно о чем я говорю.

Для простоты я также предположил что область прорыва находится целиком в левой нижней половине, т.е. не пересекает диагональ (N-1,0)(0,N-1) -- ряды легче получаются.

Но если посмотреть, к примеру, на разницу между 1/К и 1/(К-2), то ясно, что чем больше К (т.е. чем ближе область прорыва к диагонали (0,N-1)(N-1,0), тем эта разница 2/{К*(К-2)} меньше.

Значит, ответ неоднозначен.
Шар, центр которого упал в любую точку диагонали (N-1,0)(0,N-1) изменит сопротивление на наименьшую величину.

[ 07-02-2002: Message edited by: wanderer ]

AK70 · Сообщение **AK70** » Пт фев 08, 2002 9:32 am

wanderer,

Few years ago, I had to study a theory of percolation, to solve some problem in radiation physics. this problem is similar to problems in the theory of percolation. Actually, some people made similar experiments with meshes. I don't remember the exact results. I think that one experiment was to make holes in the mesh, then measure a conductivity as a function of ratio of hole area to full area. These guys actually built meshes with resistors [img:26c107534f]images/smiles/icon_smile.gif[/img:26c107534f]

If I'm not mistaken, R = R0(1 + C/(a-a0)^n) , where a0 is a threshold area, and C much less than 1. It means that when area of whole is almost a0, the resistance sharply goes up.