<blockquote><font size="1" face="Arial, Verdana, Helvetica, sans-serif">quote:</font><hr>Originally posted by flip_flop:
<strong>...
Разрезаем куб на 2 части по диагоналям горизонтальных граней плоскостью, проходящей через заданные точки. Получаем 2 половины куба ...</strong><hr></blockquote>
изящно. нравится, сразу и не догадаешься, если ни разу не применял.
Кубик из резисторов
-
flip_flop
- Уже с Приветом
- Posts: 4379
- Joined: 20 Jun 2001 09:01
Кубик из резисторов
<blockquote><font size="1" face="Arial, Verdana, Helvetica, sans-serif">quote:</font><hr>Originally posted by Joker:
<strong>Вы попали в точку [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] </strong><hr></blockquote>
Тогда понятно, почему элементарные выкладки кажутся Вам сложными и некрасивыми [img:c482247aad]images/smiles/icon_wink.gif[/img:c482247aad] В защиты метода разрезания кубика - он годится для любых резисторов без учета эквипотенциалей и столь любимих физиками симметрий [img:c482247aad]images/smiles/icon_wink.gif[/img:c482247aad] . А вот в защиту эквивалентного преобразования звезды в треугольник можно привести некоторое усложнение задачи (навеяно Бэй Бридж) - укрепляем кубик таким образом, чтобы каждая вершина куба соединялась со всеми оставшимися вершинами (сопротивления разные). Преобразование обобщенного треугольника в обобщенную звезду позволяет легко (ну не очень сложно) найти искомое сопротивление, в том числе и в виде формулы. Какая есть тому альтернатива (безо всяких там компютеров) ?
<strong>Вы попали в точку [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] [img:c482247aad]images/smiles/icon_smile.gif[/img:c482247aad] </strong><hr></blockquote>
Тогда понятно, почему элементарные выкладки кажутся Вам сложными и некрасивыми [img:c482247aad]images/smiles/icon_wink.gif[/img:c482247aad] В защиты метода разрезания кубика - он годится для любых резисторов без учета эквипотенциалей и столь любимих физиками симметрий [img:c482247aad]images/smiles/icon_wink.gif[/img:c482247aad] . А вот в защиту эквивалентного преобразования звезды в треугольник можно привести некоторое усложнение задачи (навеяно Бэй Бридж) - укрепляем кубик таким образом, чтобы каждая вершина куба соединялась со всеми оставшимися вершинами (сопротивления разные). Преобразование обобщенного треугольника в обобщенную звезду позволяет легко (ну не очень сложно) найти искомое сопротивление, в том числе и в виде формулы. Какая есть тому альтернатива (безо всяких там компютеров) ?
-
wanderer
- Новичок
- Posts: 88
- Joined: 05 Sep 1999 09:01
- Location: CA, USA
Кубик из резисторов
quote:
--------------------------------------------------------------------------------
Originally posted by AK70:
you have a mesh - NxN points, connected with resistors (R) of length L. so if N=9, then it looks like a chessboard
what's a resistance, between its two farest corners? for N=2, it's R.
now, somebody throws the ball (D is its diameter). it breakes every resistor, which was impacted.
what's going to be the average resistance of the mesh between it's two farest corners?
he-he... this is THE PROBLEM
--------------------------------------------------------------------------------
Между прочим, красивая задача!
... Но, увы, неоднозначная. Очевидно, ответ зависит от того, как близко шарик упал к одному из тех двух углов, в которых меряется сопротивление. Представим случай когда шарик в точности разбивает те два резистора составляющих этот самый угол. Тогда сопротивление становится бесконечным. Вместе с тем, интуитивно ясно, что чем ближе падение шара к центру квадрата (точнее ко второй диагонали), тем меньше влияние на изменение сопротивления.
Интуицию можно легко подтвердить строгим анализом частного случая:
Сначала разберемся, как считать сопротивление первоначальной сетки:
соединим две точки измерения воображаемой линией.
В силу симметрии, все вершины лежащие на линиях перпендикулярных к этой линии эквипотенциальны, значит их можно соединить.
В итоге получается ряд (считаем сопротивление = 1):
1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/(2*(N-1)) + 1/(2*(N-1)) + ... + 1/6 + 1/4 + 1/2
Теперь предположим что диаметр шара почти 3, т.е. он целиком помещается внутри квадрата 3 на 3 и разбивает все резисторы внутри.
Предположим, что точки измерения сопротивления находятся в координатах (0,0) и (N-1, N-1).
Присвоим произвольной эквипотенциальной диагонали соединяющей точки (0,K) и (K, 0) номер K.
Предположим, что шар сделал прорыв где-то между диагоналями K и (К+6), что и соответствует квадрату 3 на 3.
Тогда в изначальном ряду нужно заменить 1/K на 1/(K-2) (на 2 резистора меньше), 1/(К+2) на 1/(К+2-4) (на 4 резистора меньше), затем по убывающей (на 4 резистора меньше и снова на 2). Начертите рисунок, станет ясно о чем я говорю.
Для простоты я также предположил что область прорыва находится целиком в левой нижней половине, т.е. не пересекает диагональ (N-1,0)(0,N-1) -- ряды легче получаются.
Но если посмотреть, к примеру, на разницу между 1/К и 1/(К-2), то ясно, что чем больше К (т.е. чем ближе область прорыва к диагонали (0,N-1)(N-1,0), тем эта разница 2/{К*(К-2)} меньше.
Значит, ответ неоднозначен.
Шар, центр которого упал в любую точку диагонали (N-1,0)(0,N-1) изменит сопротивление на наименьшую величину.
[ 07-02-2002: Message edited by: wanderer ]</p>
--------------------------------------------------------------------------------
Originally posted by AK70:
you have a mesh - NxN points, connected with resistors (R) of length L. so if N=9, then it looks like a chessboard
what's a resistance, between its two farest corners? for N=2, it's R.
now, somebody throws the ball (D is its diameter). it breakes every resistor, which was impacted.
what's going to be the average resistance of the mesh between it's two farest corners?
he-he... this is THE PROBLEM
--------------------------------------------------------------------------------
Между прочим, красивая задача!
... Но, увы, неоднозначная. Очевидно, ответ зависит от того, как близко шарик упал к одному из тех двух углов, в которых меряется сопротивление. Представим случай когда шарик в точности разбивает те два резистора составляющих этот самый угол. Тогда сопротивление становится бесконечным. Вместе с тем, интуитивно ясно, что чем ближе падение шара к центру квадрата (точнее ко второй диагонали), тем меньше влияние на изменение сопротивления.
Интуицию можно легко подтвердить строгим анализом частного случая:
Сначала разберемся, как считать сопротивление первоначальной сетки:
соединим две точки измерения воображаемой линией.
В силу симметрии, все вершины лежащие на линиях перпендикулярных к этой линии эквипотенциальны, значит их можно соединить.
В итоге получается ряд (считаем сопротивление = 1):
1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/(2*(N-1)) + 1/(2*(N-1)) + ... + 1/6 + 1/4 + 1/2
Теперь предположим что диаметр шара почти 3, т.е. он целиком помещается внутри квадрата 3 на 3 и разбивает все резисторы внутри.
Предположим, что точки измерения сопротивления находятся в координатах (0,0) и (N-1, N-1).
Присвоим произвольной эквипотенциальной диагонали соединяющей точки (0,K) и (K, 0) номер K.
Предположим, что шар сделал прорыв где-то между диагоналями K и (К+6), что и соответствует квадрату 3 на 3.
Тогда в изначальном ряду нужно заменить 1/K на 1/(K-2) (на 2 резистора меньше), 1/(К+2) на 1/(К+2-4) (на 4 резистора меньше), затем по убывающей (на 4 резистора меньше и снова на 2). Начертите рисунок, станет ясно о чем я говорю.
Для простоты я также предположил что область прорыва находится целиком в левой нижней половине, т.е. не пересекает диагональ (N-1,0)(0,N-1) -- ряды легче получаются.
Но если посмотреть, к примеру, на разницу между 1/К и 1/(К-2), то ясно, что чем больше К (т.е. чем ближе область прорыва к диагонали (0,N-1)(N-1,0), тем эта разница 2/{К*(К-2)} меньше.
Значит, ответ неоднозначен.
Шар, центр которого упал в любую точку диагонали (N-1,0)(0,N-1) изменит сопротивление на наименьшую величину.
[ 07-02-2002: Message edited by: wanderer ]</p>
-
AK70
- Уже с Приветом
- Posts: 3127
- Joined: 10 Apr 2001 09:01
- Location: MD
Кубик из резисторов
wanderer,
Few years ago, I had to study a theory of percolation, to solve some problem in radiation physics. this problem is similar to problems in the theory of percolation. Actually, some people made similar experiments with meshes. I don't remember the exact results. I think that one experiment was to make holes in the mesh, then measure a conductivity as a function of ratio of hole area to full area. These guys actually built meshes with resistors [img:26c107534f]images/smiles/icon_smile.gif[/img:26c107534f]
If I'm not mistaken, R = R0(1 + C/(a-a0)^n) , where a0 is a threshold area, and C much less than 1. It means that when area of whole is almost a0, the resistance sharply goes up.
Few years ago, I had to study a theory of percolation, to solve some problem in radiation physics. this problem is similar to problems in the theory of percolation. Actually, some people made similar experiments with meshes. I don't remember the exact results. I think that one experiment was to make holes in the mesh, then measure a conductivity as a function of ratio of hole area to full area. These guys actually built meshes with resistors [img:26c107534f]images/smiles/icon_smile.gif[/img:26c107534f]
If I'm not mistaken, R = R0(1 + C/(a-a0)^n) , where a0 is a threshold area, and C much less than 1. It means that when area of whole is almost a0, the resistance sharply goes up.