Задачки

vlad3333 · Post by **vlad3333** » 09 Mar 2001 03:21

В топике "Лететь иль нет?" было много дискуссий затеянных тов. Vlad7, который забросал всех плохо поставленными задачками, при этом рассказывал как он подготавливает учеников в вузы, так что они решают сложные задачки лучше ФМШ-тиков. С другой стороны качество его задач заставляло в этом усомниться. Пока мы там шумели над его задачками я придумал для него свою. ФМШ-тики и вообще хорошие школьники должны решить. Правда, вторая часть скорее не для вступительного экзамена, а для олимпиады, но на таких задачках-то и хорошо учить. Помните, задачка для школьников, так что вторая часть не предполагает полного решения.

Дал я ее, а Vlad7 исчез. А АА обвиняет, что я сам не могу ее решить. Поэтому, я ее здесь помещаю. Завтра в это же время помещу решение. Если кто хочет поупражняться, пожалуйста.

Итак:
1. Найти частоту малых сферически - симметричных колебаний заряженного мыльного пузырька (коэф. поверх.натяж. - "A", заряд-Q, масса пузырька М). Считать, что мыло проводник и заряд распределен равномерно по поверхности. Давлением и массой воздуха пренебречь - дело происходит "в космосе."

2. Найти емкость пузырька (мыло проводник). Что можно сказать о ней?

[This message has been edited by vlad3333 (edited 08-03-2001).]

Vlad7 · Post by **Vlad7** » 09 Mar 2001 17:43

To vlad3333.

Позвольте высказать свое недоумение по поводу плохо поставленных задач. Задача о динамометре составлена не мною. Я просто хотел обратить внимание на то, что задача имеет не тот ответ, который подразумевали авторы. Мне показалось, что большинство согласилось с приведенным мною ответом. Решение задачи о емкости шара и куба, как мне показалось, не всем понятно. Я готов ответить тем, кто считает, что проведенное мною решение неверное или неполное. В принципе, я могу и ошибаться, но я решение этой задачи очень тщательно проанализировал и к тому же задавал эту задачку своим знакомым физикам, имеющим десятки научных трудов, а у одного в штатах издано четыре монографии. Вероятность неправильной формулировки или решения близка к нулю.

Задачу о частоте заряженного мыльного пузыря я считаю вариацией на тему решенной мною задаче о колебаниях капли ртути. Это задача с институтской олимпиады по физике, просто в силу стечения обстоятельств мне была не видна приписка, что оценку частоты нужно находить с соображений размерности. Вопрос о емкости мыльного проводящего пузыря вызывает недоумение. Емкость шара равна R и не зависит от материала проводника.

Я сейчас занимаюсь компьютерной графикой и могу предложить на суд читателей мое решение задачи, позволяющее улучшать качество изображения после упаковки http://www.00homepage.com/vivlev/Lizard0.jpg и http://www.00homepage.com/vivlev/screen2.jpg . Было очень интересно найти более качественное решение, чем у фирмы Lizard, аналогичная программа которой установлена на 10 млн. компьютеров. К сожалению пока не могу описать здесь, как эта задача решается.

Я могу привести решение другой интересной задачи. Мне удалось найти способ упаковки черно-белых изображений, который позволяет в некоторых случаях упаковывать изображения намного плотнее, чем TIFF Group 4. На http://www.00homepage.com/vivlev/Moto.tif находится изображение, которое в .tif имеет размер 33.502 K, а после моего упаковщика размер получается 21065. Это пока абсолютный рекорд среди упаковщиков. По крайней мере, я просмотрел все упаковщики, которые я нашел в Инете. Желающие побить рекорд есть?

Vladimir Patryshev · Post by **Vladimir Patryshev** » 09 Mar 2001 17:58

vlad7, не могли бы Вы хотя бы привести линк на Ваше решение задачи о кубе и шаре. Я совершенно в растерянности.

Раз уж эту задачу про пузырь решить не удалось.

AA · Post by AA » 09 Mar 2001 18:07

Ну, что же посмотрим как vlad3333 сейчас сферических интегралов наворочает [img:645d809808]http://www.privet.com/ubb/biggrin.gif[/img:645d809808]

vlad3333 · Post by **vlad3333** » 09 Mar 2001 18:08

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Vlad7:
[i:b1cd093e7b]To vlad3333.
Задачу о частоте заряженного мыльного пузыря я считаю вариацией на тему решенной мною задаче о колебаниях капли ртути. Это задача с институтской олимпиады по физике, просто в силу стечения обстоятельств мне была не видна приписка, что оценку частоты нужно находить с соображений размерности. Вопрос о емкости мыльного проводящего пузыря вызывает недоумение. Емкость шара равна R и не зависит от материала проводника.
[/i:b1cd093e7b]<HR></BLOCKQUOTE>

В отличие от задачки с каплей ртути, где колебания в принципе не могли быть сферически симметричными, и точное решение задачи требует, скажем образования, эта задачка решается точно без привлечения метода размерности и школьными методами. Кстати, здесь метод размерности не проходит, т.к. есть независимый безразмерный параметр, которые могут входить в ответ в любой степени. Насчет емкости шара, я уже предупреждал, что есть изюминка.

vlad3333 · Post by **vlad3333** » 09 Mar 2001 18:11

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by AA:
[i:e043ed9a4e]Ну, что же посмотрим как vlad3333 сейчас сферических интегралов наворочает [img:e043ed9a4e]http://www.privet.com/ubb/biggrin.gif[/img:e043ed9a4e][/i:e043ed9a4e]<HR></BLOCKQUOTE>

Ни одного интеграла, и даже обойдусь без слова "производная", если хотите.

AA · Post by AA » 09 Mar 2001 18:15

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by vlad3333:
[i:3d0b783875] Ни одного интеграла, и даже обойдусь без слова "производная", если хотите.[/i:3d0b783875]<HR></BLOCKQUOTE>

Назревает переворот в науке !

Sas2 · Post by **Sas2** » 09 Mar 2001 19:53

Да нет vlad3333 прав. Там три физические формулы и пара математических формул всего используются. Никаких производных и тем паче интегралов. Только что константу по поверхности сферы проинтегрировать [img:bd829e6285]http://www.privet.com/ubb/smile.gif[/img:bd829e6285]

Кстати нормального решения про куб и шар, а не рассуждения на пальцах, я так и не увидел.

Sas2 · Post by **Sas2** » 09 Mar 2001 19:55

Да Vlad7 так и не потрудился разъяснить, что он имеет ввиду в задаче об изуродованной машине.

Dilbert · Post by **Dilbert** » 09 Mar 2001 22:19

Задачка сформулирована хорошо и имеет вполне элементарное решение, в отличие от задач Vlad7, из которых одна была сформулирована плохо, а другая элементарного решения не имела. Вспомним заявление Vlad7:
<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Vlad7:
[i:0235bc6c4e] Хотите проверить уровень квалификацию преподавателя физики? Задайте задачу. Эту задачу я придумал сам, до этого она нигде не публиковалась, так что ответ могут знать только мои ученики или их знакомые. Задача несложная. После того, как я подробно ознакомлю учеников, что такое заряд, потенциал, емкость, большинство из них самостоятельно могут решить эту задачу.

Задача на понимание законов физики:
Имеем два тела одинакового объема: шар и куб. Электрическая емкость какого тела больше?

Учитель, который не может решать те задачи, которые решают у меня ученики после месячной подготовки, не сможет обучить ученика решать задачи данной сложности.
[/i:0235bc6c4e]<HR></BLOCKQUOTE>
Это не могло не вызвать интереса, потому что вряд ли в Америке или в России найдется не только школьный учитель, но даже университетский профессор, способный предложить элементарное решение этой «несложной» задачи. (То, что впоследствии сообщил об этом Vlad7 – это какой-то детский лепет. Как и ссылки на знакомых, имеющих «десятки научных трудов».) Потому-то есть все основания опасаться, что достижения Vlad7 в упаковке изображений – того же порядка, и инвестировать в них реальные деньги пока преждевременно.

Vlad7 · Post by **Vlad7** » 09 Mar 2001 22:35

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Vladimir Patryshev:
[i:4fa92dbd62]vlad7, не могли бы Вы хотя бы привести линк на Ваше решение задачи о кубе и шаре.[/i:4fa92dbd62]<HR></BLOCKQUOTE>

Решение задачи о емкости куба и шара одинакового размера.

Капля ртути под действием сил тяжести поверхностного натяжения стремится приобрести форму шара. Для того, чтобы изменить форму капли мы должны приложить внешнюю силу, так как мы должны увеличить поверхность капли. В случае заряженного шара наблюдается обратная картина. Из-за отталкивания зарядов капля стремится увеличить свою поверхность. Микроскопические выступы на поверхности приводят к тому, что в этом месте увеличивается плотность заряда. Увеличение локальной плотности заряда приводит к тому, что локальная область будет еще больше удаляться от остальной части. Т.е. будет лавинообразный процесс. Энергия системы зарядов в этом случае уменьшается. Для превращения куба в шар нужно затратить энергию, так как мы должны приблизить заряды ближе к центру. Если энергия системы зарядов выше, то выше и электрический потенциал шара. Из формулы C=Q/Fi видно, что емкость куба выше.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Я собрал по топику «Лететь аль нет» все заданные вопросы и объясняю более подробно, что было непонятно.

Посмотрим, как будет вести себя тело, если мы возьмем:
1. большое космическое тело и будем учитывать силы только гравитационного взаимодействия (например, планету).
2. заряженное тело и будем учитывать силы только гравитационного взаимодействия.

Очевидно, что в первом случае отдельные участки тела будут притягиваться друг другу. И для этого случая равновесной формой является шар. Система стремится к минимуму энергии и тело в этом случае стремится превратиться в шар (если этому ничего не препятствует). Я даже видел где-то задачку, в которой предлагалось оценить максимально-возможную высоту гор на Земле. Задача «Почему Луна круглая?» не кажется такой уж некорректной, если под этим условием понимать следующее: «Почему мы по краю лунного диска не видим явных зазубрин?».

Во втором случае направление сил противоположно направлению сил в первом случае. В этом случае шар является неравновесным положением. Заряженная капля ртути при отсутствии сил поверхностного натяжения действительно будет растягиваться до бесконечности. Если же капля ртути может принимать только определенную форму, то в этом случае нам важно знать, как меняется энергия системы при переходе из одной формы в другую. В первом случае при переходе от куба к шару высвобождается энергия, то есть система может совершать некоторую работу, а во втором случае мы должны затратить некоторую энергию, чтобы превратить куб в шар. Неважно, каким способом это мы сделали. Для потенциальных сил, которыми являются силы притяжения и силы электростатического взаимодействия, выполняемая работа не зависит от пройденного пути. Чем ниже энергия, тем ниже потенциал. То есть, электрическая емкость куба больше.

Здесь для более полного понимания существа вопроса интересно было бы привести случай, когда увеличение поверхности заряженного тела характеризуется не уменьшением энергии системы, а увеличением. Мы имеем подковообразную форму. Если мы попытаемся вытянуть дугу так, чтобы концы сблизились, то в некоторый момент мы получим, что энергия, затрачиваемая на преодоление отталкивающего действия концов, будет выше энергии, высвобождающейся в результате уменьшения поверхностной плотности заряда. Т.е. в некоторый момент у нас энергия, затрачиваемая для изменения формы поверхности, поменяет знак. Это будет равновесным положением системы.
Это как раз и будет тот случай, когда увеличение поверхности не приводит к увеличению емкости.

Dilbert · Post by **Dilbert** » 09 Mar 2001 22:51

[i:5346b5ee8b]Если же капля ртути может принимать только определенную форму, то в этом случае нам важно знать, как меняется энергия системы при переходе из одной формы в другую. В первом случае при переходе от куба к шару высвобождается энергия, то есть система может совершать некоторую работу, а во втором случае мы должны затратить некоторую энергию, чтобы превратить куб в шар.[/i:5346b5ee8b]
Мы должны совершить работу против сил поверхностного натяжения, чтобы увеличить поверхность капли несжимаемой жидкости, потому что при равном объеме поверхность шара меньше, чем куба. В какую сторону при этом изменяется электростатическая энергия, по-прежнему неясно - вершины мы удаляем друг от друга, центры граней сближаем. Still arm waving, no proof, no solution.

Zaphod · Post by **Zaphod** » 09 Mar 2001 23:01

А мне где-то все ясно, хоть я, конечно, и не врач.

Мне понравилось, как решается задача об относительной электрической емкости шара и куба одного объема - "возьмем каплю ртути в форме куба..."

Интересно, где наш изобретатель преподает свои науки? Резюме свое он так и не вывесил...

[This message has been edited by Zaphod (edited 09-03-2001).]

Sas2 · Post by **Sas2** » 09 Mar 2001 23:02

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>
Для превращения куба в шар нужно затратить энергию, так как мы должны приблизить заряды ближе к центру.
<HR></BLOCKQUOTE>

Rassuzhdenie na pal'cah. Dokazhite eto strogo. Ya uzhe zayawlayl chto chast' zaryadov nuvhno priblizit', a chast' UDALIT'!!!! Dokazite chto rabota vysvobozhdaemaya na udalenie zaryadov ot centra, men'she raboty zatrachivaemoy na priblizhenie drugih. Wot vasha ve citata.
<BLOCKQUOTE>quote:<HR>
Ведь центр граней куба находится ближе к центру куба, чем любая точка шара, и плотность заряда в этой точки не равна нулю. Т.е. нужно при определении емкости куба [b:d6ec022fe3]доказать[/b:d6ec022fe3], что влияние зарядов в центре граней (на пересечении диагоналей) будет давать меньший вклад в суммарный потенциал, чем заряды в вершинах куба. Существует более простой способ решения.
<HR></BLOCKQUOTE>

[This message has been edited by Sas2 (edited 09-03-2001).]

ACL · Post by **ACL** » 09 Mar 2001 23:17

Можно порассуждать псевдонаучно.
Из всех тел одинакового объема и заряда шар будет иметь некий экстремум потенциала - или минимум или максимум. Интуитивно. Из сферической симметрии задачи.
Чтобы понять минимум это или максимум - сравним с чем нибудь типа тора очень большого диаметра, того же объема. Все-таки ощущается, что потенциал такого тора будет убывать по мере увеличения диаметра. И когда-нибудь станет-таки меньше потенциала шара.
Т.е шар это максимум.

Sas2 · Post by **Sas2** » 09 Mar 2001 23:20

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>
Во втором случае направление сил противоположно направлению сил в первом случае. В этом случае шар является неравновесным положением.
<HR></BLOCKQUOTE>

To chto on ne yawlyaetsya ravnovesnum polovheniem i konyu ponyatno. Vprochem kak i to chto kub ne ya vlayetsya ravnovesnum polovheniem. A vot dokazat' chto energiya shara bol'she energii kuba eto trudnee.

Vlad7 · Post by **Vlad7** » 09 Mar 2001 23:21

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by vlad3333:
[i:5679906f5d] Поэтому, я ее здесь помещаю. Завтра в это же время помещу решение. Если кто хочет поупражняться, пожалуйста.
[/i:5679906f5d]<HR></BLOCKQUOTE>

Мы сегодня должны увидеть решение задачи о колебаниях мыльного пузырька сделанное vlad3333. Я не вызывался решать эту задачу. Для решения сложных задач требуется некоторое время, тратить время на решение однотипных задач неинтересно, мне больше нравятся состязаться в решении уникальных задач. Отвечу честно, что за тот небольшой промежуток времени, который мне удалось выкроить для решения задачи, мне не удалось доказать тот факт, что можно при колебаниях мыльного пузыря пренебречь градиентом толщины пленки при колебаниях. Интуитивно понятно, что можно этим пренебречь. Но из приведенного мною примера об электроемкости видно, что интуитивное предположение не всегда верно, так как емкость не всегда возрастает при увеличении площади. Если пренебречь изменением градиента толщины, то задача с мыльным пузырем сводится к уже решенной мною задаче о колебаниях капли ртути. Посмотрим, насколько удачно справился с этим vlad3333.

Dilbert · Post by **Dilbert** » 09 Mar 2001 23:33

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Vlad7:
[i:bb01d188fe] Если пренебречь изменением градиента толщины, то задача с мыльным пузырем сводится к уже решенной мною задаче о колебаниях капли ртути. [/i:bb01d188fe]<HR></BLOCKQUOTE>

Тоже неправильно. У капли несжимаемой жидкости, каковой безусловно является ртуть, не может быть сферически-симметричных мод колебаний, как у пузырька в предложенной задачке...

Sas2 · Post by **Sas2** » 09 Mar 2001 23:52

Gradient tolschiny plenki eto kruto. Ya by za odnu takuyu frazu dvoyku stavil. Ya vse bolee razocharovyvayus' vo Vlad7.

Zaphod · Post by **Zaphod** » 10 Mar 2001 01:22

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Sas2:
[i:d64058c22d]Gradient tolschiny plenki eto kruto. Ya by za odnu takuyu frazu dvoyku stavil. Ya vse bolee razocharovyvayus' vo Vlad7.[/i:d64058c22d]<HR></BLOCKQUOTE>

В принципе, если рассматривать двумерное пространство, поверхность пузырька, то ничего еще. Но автору мало градиента толщины. У автора фигурирует "изменение градиента толщины". Тут естественно задаться такой философской мыслью - автор имеет в виду изменение градиента толщины во времени или по поверхности пузыря?

В силу того, что пузырь является, в математическом смысле, компактом, а так же, видимо, в силу теоремы о причесывании ежа, вряд ли можно ожидать, что градиент толщины будет постоянным на поверхности, за исключением случая тождественного нуля. Откуда следует, что отбросить изменение градиента толщины можно только в одном случае - если оного градиента нету.

Теперь - насчет изменения градиента во времени. Тут я пас. Наш собеседник предлагает свернуть из пузырька подкову, чтобы, очевидно, смоделировать магнит, но - электрический.

Хотелось бы представить себе условия, в которых заряженный пузырек будет изворачиваться в подкову. В земных условиях я это наблюдал только в Санта Крузе, когда мужик надувает большой мыльный пузырь, а его ветер сдувает, и получается почти подкова.

Кстати, там еще была вторая задача - что будет, если автомобиль сжать в десять раз методом, лучшим чем jpeg?

vlad3333 · Post by **vlad3333** » 10 Mar 2001 03:33

Как и обещал, приведу решение, которое вполне по силам советскому школьнику поступающему в МФТИ, НГУ, МГУ или другой приличный вуз. Попрошу не критиковать стиль, пишу в спешке.

1. Итак потенциальная энергия электрического поля заряженной сферы радиуса R и зарядом Q есть Q**2/(2R), потенциальная
энергия сил поверхностного натяжения 2*А*S=8*pi*A*R**2. Я учел, что пузырь имеет две поверхности (наружную и внутреннюю), и для каждой -потенциальная энергия А*S. Очевидно, что полная потенциальная энергия
U(R )=Q**2/(2R)+ 8*pi*A*R**2 (1)
имеет минимум – точку устойчивого равновесия R0. Чтобы не пользоваться производными, скажем что в минимуме потенциальной энергии силы растягивающие поверхность пузырька и сжимающие его равны, отсюда получим (любители могут рассматривать элемент поверхности и вычислять силы):
Q**2/(2R0**2)= 16*pi*A*R0. (2)
Отсюда равновесный радиус пузырька
R0=[Q**2/(32*pi*A)]**1/3). (3)
Дальше можно найти или силу действующую на элемент поверхности при изменении радиуса пузырька или изменение потенциальной энергии пузырька. Я предпочитаю второе. Представив R=R0+dR, и разлагая выражение для U(R), используя 1/(1+x)=1-x+x**2-...) , получим
U=U(R0)+U(R0)*(dR/R0)**2=U(R0)+24*pi*A*dR**2, (4)

U(R0)=24*pi*A*R0**2=3*Q*[Q*A*pi/2]**(1/3).

Как видно потенциальная энергия пропорциональна dR**2, значит возвращающая сила пропорциональна смещению как у
гармонического осциллятора (F~ -48*pi*A*dR). Кинетическая энергия пузырька в этих колебаниях равна М*Vrad**2/2. Полная энергия
М*Vrad**2/2+24*pi*A*dR**2 = const.
Сравнивая это выражение с выражением для энергии осциллятора (m*v**2/2+k*x**2/2=const, w**2=k/m), находим частоту колебаний:
W**2=48*pi*A/M (5)
То же самое, естественно получится если рассматривать уравнение для ускорения элемента поверхности.

2. Емкость. Это как раз тот самый случай, на который намекал по-моему tengiz, когда геометрия проводника зависит от заряда, и поэтому емкость тоже. В этом случае под емкостью проводника надо понимать заряд который нужно на него поместить, чтобы ИЗМЕНИТЬ его потенциал на единицу: C= dQ/dV. При этом нужно именно смотреть на реакцию проводника.
a) Очевидно, что если заряд дергать очень быстро, с частотой много больше, чем W, то поверхность не будет успевать сдвигаться и радиус пузырька будет оставаться постоянным, так что он будет себя вести как жестская сфера и емкость будет C=R0(Q).

b. Если же заряд вносить медленно, за время много большее чем период колебаний, так что размер пузырька будет успевать
подстраиваться под равновесный, то емкость будет другая. В этом случае V=Q/R0, dV=dQ/R0-Q*dR0/R0**2 =dQ/(3R0) . Как видно в этом случае емкость равна
C=3R0 (выросла в 3раза!)
Вывод на который я собственно хотел обратить внимание, что емкость НЕ ЖЕСТКОГО проводника может зависеть как от величины заряда, так и от того как быстро мы изменяем потенциал или заряд. Я думаю, что эта часть довольно сложная для школьника, хотя случаи которые я взял и не требуют сложной математики.

[This message has been edited by vlad3333 (edited 09-03-2001).]

Dilbert · Post by **Dilbert** » 10 Mar 2001 05:31

Все бы хорошо, но емкость - не производная заряда по потенциалу, а по-прежнему их отношение. Так что емкость пузыря в любой момент равна его радиусу. Будет радиус меняться в зависимости от заряда, соответственно и емкость изменится.

vlad3333 · Post by **vlad3333** » 10 Mar 2001 05:49

<BLOCKQUOTE>quote:<HR>Originally posted by Dilbert:
[i:722f8316b3]Все бы хорошо, но емкость - не производная заряда по потенциалу, а по-прежнему их отношение. Так что емкость пузыря в любой момент равна его радиусу. Будет радиус меняться в зависимости от заряда, соответственно и емкость изменится.[/i:722f8316b3]<HR></BLOCKQUOTE>
Представьте себе, что вы имеете черный ящик, в котором находится наш пузырь, и к которому вы подводите заряды проводничком. Вы не знаете ни заряда на нем ни его радиуса. Все что вы можете это посмотреть его реакцию. И по реакции определить.
Если система жесткая, то задача линейная и вы обнаружите емкость равную радиусу. Если же радиус меняется, то и реакция будет другая, потому что потенциал проводника будет меняться быстрее или медленнее, чем потенциал жесткого проводника.

Vladimir Patryshev · Post by **Vladimir Patryshev** » 10 Mar 2001 06:02

Вы меня глубоко поразили вашим шариком. А где это... где давление внутри и снаружи? Или у нас особый шарик, внутри вакуум и снаружи тоже?

Dilbert · Post by **Dilbert** » 10 Mar 2001 06:03

vlad3333, Вы идете по неверному пути своего тезки с меньшим номером. Нехватало только начать говорить о производной градиента или упаковке пузыря в jpeg. Пока имеет место квазистационарное приближение (т.е. токами смещения можно пренебрегать), потенциал вокруг пузыря радиуса R c зарядом Q кулоновский, Q/r, откуда все дальнейшее и вытекает. В частности, то, что электростатическая энергия есть CU**2/2 = Q**2/2R.