Угол бросания-2

[Deynekin]

Определить зону возможного поражения при стрельбе из зенитного орудия; стрельба может вестись под любым углом, но начальная скорость снаряда неизменна. - Задачка простенькая, но ответ красивый, стоит того, чтобы запомнить.

(Спецдобавление для КР580ВЕ51: сопротивлением воздуха пренебрегаем, кривизну Земли и её вращение не учитываем, снаряд рассматриваем как материальную точку, релятивистские и квантовые эффекты - побоку, туда же и все остальные слова, какие знаем...).

[kostia00]

Ответ: круг с центром в точке расположения орудия (если считать что орудие может стрелять вертицально вверх) и радиусом равным расстоянию на которое улетит снаряд выпущенный по углом \pi/4.

[/quote]

[PavelM]

зенитное же
кусок параболоида


для его границы выходит уравнение типа

S = -16H^2 + 8H*V^2/G

где

S - дальность выстрела,
H - высота полета,
V - нач.скорость,
G - уск. своб. падения

[Deynekin]

...где
S - дальность выстрела,
H - высота полета,
V - нач.скорость,

- Ответ, наверное, правильный. А "наверное" - это потому, что я помню только, что это - действительно параболоид (простоты ради будем говорить о параболе - меридианном сечении). Дальше - зная это - всё уже просто: осталось натянуть её на заведомые точки - максимально возможную высоту подъёма и максимальную дальность бросания (не то ли это, что Вы обозначили как S и H ?). Но в Вашем ответе слишком много параметров, красоты ради из S, H и V стоит оставить какой-нибудь один.

А главное - показать, почему это именно парабола. - Так что, "рано пока в землю штык втыкать."

[Иоп]

Прошу прощения за оффтоп: что означает "зенитное"?

[KP580BE51]

Прошу прощения за оффтоп: что означает "зенитное"?

Значит что зенит пристрелить может. (тоесть ствол можно вертикально (в идиале) поднять)

[Dimchik]

У меня получилось Y<-X^2/(2V^2/g)+V^2/2g. Решал просто находя куда нельзя долететь ни под каким углом.

[Dimchik]

для его границы выходит уравнение типа

S = -16H^2 + 8H*V^2/G
где
S - дальность выстрела,
H - высота полета,
V - нач.скорость,

- Ответ, наверное, правильный..."

Правильных ответов с неправильными размерностями не бывает:)

[Dimchik]

Кстати, Deynekin, вы ведь гидродинамике не чужой человек. Как объясняется, что у втекающей струи нет реакции? (эта задачка популярна в народе из-за Фейнмана и его книге "Конечно же вы шутите, мистер Фейнман". Но там он только описывает, как разбомбил лабу, пытаясь провести эксперимент, не давая ответа на вопрос).

Я знаю, что это показал Жуковский, и написано это в 4ом томе его собрания сочинений. Но доступа у меня к нему нет.

[kludge]

...где
S - дальность выстрела,
H - высота полета,
V - нач.скорость,

- Ответ, наверное, правильный. А "наверное" - это потому, что я помню только, что это - действительно параболоид (простоты ради будем говорить о параболе - меридианном сечении). Дальше - зная это - всё уже просто: осталось натянуть её на заведомые точки - максимально возможную высоту подъёма и максимальную дальность бросания (не то ли это, что Вы обозначили как S и H ?). Но в Вашем ответе слишком много параметров, красоты ради из S, H и V стоит оставить какой-нибудь один.

А главное - показать, почему это именно парабола. - Так что, "рано пока в землю штык втыкать."

Грохните меня об скалы, но как это может быть парабола?

[Dimchik]

Грохните меня об скалы, но как это может быть парабола?

речь идет о трехмерной области, т.е. "по воробьям" тоже можно стрелять, а не только по наземным целям. Поэтому область поражения есть "колпак" над пушкой. Мое его уравнение написано выше.

[PavelM]

для его границы выходит уравнение типа

S = -16H^2 + 8H*V^2/G
где
S - дальность выстрела,
H - высота полета,
V - нач.скорость,

- Ответ, наверное, правильный..."

Правильных ответов с неправильными размерностями не бывает:)

Логично, вобщем даже на глаз видно. Это я вчера накосячил.
Сейчас пересчитал, нашел 2 ошибки.

Вышло следующее

S^2 = -16H^4G^2/V^4 + 4H^2

Уточняю также определения:
H - макс высота полета
S - расстояние на котором она достигается (1/2 от максимального)

[PavelM]

Вышло следующее

S^2 = -16H^4G^2/V^4 + 4H^2

Уточняю также определения:
H - макс высота полета
S - расстояние на котором она достигается (1/2 от максимального)

Вобщем, это кривая максимальной высоты от расстояния, что не есть зона поражения.

[Deynekin]

Правильных ответов с неправильными размерностями не бывает

- Принято! А мне урок: впредь не верхоглядствовать; а то увидел какой-то "минус квадрат длины" (т.е. что-то похожее на перевернутую параболу) и удовольствовался.

У меня получилось Y<-X^2/(2V^2/g)+V^2/2g. Решал просто находя куда нельзя долететь ни под каким углом.

-Позволю себе переписать Ваш ответ в "максимально прозрачном" виде:

y = (1 - x^2)/2,

где x и y - это x и y, отнормированные на максимально возможную длину бросания L; последняя, в свою очередь, равна - это стоит запомнить насовсем! - удвоенной максимально возможной высоте подъёма H = V^2/(2g): L = 2*H. Теперь видно, что Ваша парабола и впрямь проходит через "правильные" точки (0, H) и (L, 0).

И всё же вопрос: как выглядит Ваше "простое" условие для куда нельзя долететь ни под каким углом? -Спрашиваю, потому что пока я знаю только один, стандартный, путь нахождения огибающей к однопараметрическому семейству кривых y = y(x,T) (в нашем случае это к пучку y = x*(T - x*(1+ T*T)/2), где T - тангенс угла бросания ):
добавляем к y = y(x,T) уравнение дy(x,T)/дT = 0 и исключаем параметр T.

[Deynekin]

Кстати, Deynekin, вы ведь гидродинамике не чужой человек. Как объясняется, что у втекающей струи нет реакции?

-Спасибо за, как говорят в Американии, "хороший вопрос" и за повод попробовать раскеросинить застывшие уже было шестерёнки в моём мозгу. Дайте немного времени подумать, вопрос из числа "вечных"...

[Dimchik]

У меня получилось Y<-X^2/(2V^2/g)+V^2/2g. Решал просто находя куда нельзя долететь ни под каким углом.

-Позволю себе переписать Ваш ответ в "максимально прозрачном" виде:

y = (1 - x^2)/2,

где x и y - это x и y, отнормированные на максимально возможную длину бросания L; последняя, в свою очередь, равна - это стоит запомнить насовсем! - удвоенной максимально возможной высоте подъёма H = V^2/(2g): L = 2*H. Теперь видно, что Ваша парабола и впрямь проходит через "правильные" точки (0, H) и (L, 0).

И всё же вопрос: как выглядит Ваше "простое" условие для куда нельзя долететь ни под каким углом? -Спрашиваю, потому что пока я знаю только один, стандартный, путь нахождения огибающей к однопараметрическому семейству кривых y = y(x,T) (в нашем случае это к пучку y = x*(T - x*(1+ T*T)/2), где T - тангенс угла бросания ):
добавляем к y = y(x,T) уравнение дy(x,T)/дT = 0 и исключаем параметр T.

Я просто написал уравнение траектории. Его можно рассматривать как y(x) при данном угле, а можно как уравнение на угол, если я хочу попасть в x,y. Как только у этого уравнения, как уравнения на угол, нет решений, так мы и встряли в область, куда снаряды не летят.

[venco]

Зона поражения - параболоид вращения с фокусом в начальной точке стрельбы, и фокусным расстоянием, равным максимальной высоте стрельбы.
Другими словами: z = h - (x^2+y^2)/4h.

[Deynekin]

... Как только у этого уравнения, как уравнения на угол, нет решений, так мы и встряли в область, куда снаряды не летят.

Зона поражения - параболоид вращения с фокусом в начальной точке стрельбы, и фокусным расстоянием, равным максимальной высоте стрельбы.

- Одно другого красивше; вот уж и вправду, "даю, чтобы и ты дал" (лат.) - Спасибо, понравилось

[PavelM]

Зона поражения - параболоид вращения с фокусом в начальной точке стрельбы, и фокусным расстоянием, равным максимальной высоте стрельбы.
Другими словами: z = h - (x^2+y^2)/4h.

А можно поинтересоваться логикой решения?

Я попробовал взять уравнения координат x и у и найти максимум расстояния x^2+y^2 дифференцируя по t

получил неочевидное кубическое уравнение

[venco]

А можно поинтересоваться логикой решения?

Я решал так же, или почти так же, как и Димчик.
Сначала вывел уравнение высоты в зависимости от расстояния по горизонтали r и угла стрельбы a.
Горизонтальная скорость - V*cos(a), значит на расстоянии r снаряд будет через время r/V/cos(a).
Начальная вертикальная скорость - V*sin(a) -> z(t) = V*sin(a)*t - gt^2/2, т.е. на расстоянии r:
z = r*tan(a) - (gr^2/2V^2) / cos(a)^2. (1)
Дифференцируем по a, и находим, что максимум достигается при tan(a) = V^2/gr, и равен V^2/2g - g/2V^2 * r^2.
Максимальная высота при r = 0 равна h = V^2/2g.
Если подставить h получаем простое выражение для максимальной высоты:
z = h - r^2 / 4h.
Снизу формула (1) не ограничена, т.е. вся зона поражения:
z <= h - r^2 / 4h.

[marat_2000]

Кстати, Deynekin, вы ведь гидродинамике не чужой человек. Как объясняется, что у втекающей струи нет реакции?

-... Дайте немного времени подумать, вопрос из числа "вечных"...

From Deynekin:
Dimchik, I beg your pardon: I asked for a short time to think, but the pause is getting too long... I'm having a huge crash with my comp and for now have no connection to the web...

Meanwhile, the answer is ready, please wait a little bit more. I hope soon I'll find a way to tell you what you asked about

PS This message is coming under name Marat because I used a friend's conmuter

[Dimchik]

Кстати, Deynekin, вы ведь гидродинамике не чужой человек. Как объясняется, что у втекающей струи нет реакции?

-... Дайте немного времени подумать, вопрос из числа "вечных"...

From Deynekin:
Dimchik, I beg your pardon: I asked for a short time to think, but the pause is getting too long... I'm having a huge crash with my comp and for now have no connection to the web...

Meanwhile, the answer is ready, please wait a little bit more. I hope soon I'll find a way to tell you what you asked about

PS This message is coming under name Marat because I used a friend's conmuter

Ждем, ждем

[Deynekin]

Понимаю, что поздновато, но всё же скажу...

Я решал так же, или почти так же, как и Димчик.
Сначала вывел уравнение высоты в зависимости от расстояния по горизонтали r и угла стрельбы a [...]:
z = r*tan(a) - (gr^2/2V^2) / cos(a)^2. (1)
Дифференцируем по a, и находим, что максимум достигается при tan(a) = V^2/gr, и равен V^2/2g - g/2V^2 * r^2.
Максимальная высота при r = 0 равна h = V^2/2g.
Если подставить h получаем простое выражение для максимальной высоты:
z = h - r^2 / 4h. (выделения болдом мои -Ю.Д.)

Venco, результат правильный, но вот слова, с помощью которых он получен, нуждаются либо в расшифровке-пояснении (это в лучшем случае), либо в переосмыслении (если Вы "честно заблуждались").

При скором чтении создаётся впечатление - боюсь, большинство читателей это именно так и поняли,- что Вы, говоря о максимальной высоте, имеете в виду вершину параболы-траектории полёта снаряда, пущенного под углом а.

Но уже по тому, что конечный результат верный, задним умом понимаем, что здесь есть какая-то шершавость, нуждающаяся в пояснении, потому что максимальная высота полёта снаряда и точка касания траектории с огибающей - это не одно и то же. Получается, что, вроде бы, говоря о первых, Вы нашли уравнение для вторых!?

Более того, то что Вы сделали, - это слово-в-слово всё тот же стандартный рецепт для нахождения огибающей к однопараметрическому семейству кривых y = y(x,T), который я списал у Корна:

добавляем к y = y(x,T) уравнение дy(x,T)/дT = 0 и исключаем параметр T.

(Если бы Вы с самого начала отнормировали задачу на h = V^2/2g, да ещё, пожалев себя, дифференцировать стали бы не по а, но сразу же по Т=tan(a) - благо, 1/cos(a)^2 легко через него выражается, то это было бы видно яснее некуда.)

Вот только с толкованием заковыка: хотя здесь и присутствует что-то похожее на условие экстремума (дy(x,T)/дT = 0), это выражение при поиске огибающей обычно трактуют как независимость от параметра на огибающей. Мне кажется, это следует особо подчеркнуть (а ещё лучше - пояснить!), тем более, что слова "максимальная высота", когда речь идёт о параболе, невольно уводят в сторону.
-------
Что же до кривой, на которой расположены вершины парабол-траекторий, то она тоже довольно красива (вот только большого смысла в ней нет) - хорошее упражнение для старшеклассников.

[SlimBoy]

Prostite, chto latinskimi.
Rassuzdaju tak: brosaem pod uglom a. Razlozhimb na vertikalnyjbi gorizontalnyjbvektor skorosti. Gorizontalnyj -postojanen. Vo skolko raz on bolshe pri fiksir vertikalnom, vo stolko dalshe poletit. To est,proporcionalen cos[a].
A letet budet, poka ne udaritsya o zemlu. Vo skolko raz silnee brosim vverh, vo stolko raz dolshe budet v vozduhe.to est, proporcionalen sin[a].
Vyvod:dalnost poleta vpravo proporcionalna cos[a] i proekcii vektora skorosti vverh po otdelnosti, t.e. Sin[a]cos[a] nado maximizirovat, t.e.0.5sin[2a]->max
Vyvod:a=pi/2.