Если аксиоматическая система слишком примитивна, и не может выразить даже понятия целых чисел, то ее непротиворечивость может быть как правило, доказана несложным образом. Однако все эти доказательсва являются на самом деле метадоказательствами, так как даже понятие выводимо невыразимо в таких примитивных системах
Для всех(*) более сложных систем, включающих арифметику, действует Теорема Геделя, и непротиворечивость такой системы может быть доказана только в более сложной. Например, непротиворечивость аксиоматики Пеано доказана в теории множеств. Непротиворечивость теории множеств вроде еще никто не доказал, тем более что вариантов теории множется есть множество

Если же система противоречива, то пользы от ее использования НОЛЬ так как в ней выводимо любое высказывание. У меня был громадный шок, когда я понял, что все здание математики стоит на песке... на ВЕРЕ. Математики ВЕРЯТ что теория множеств (хотябы какой то ее вариант) непротиворечив. Потому что иначе все труды насморку.
А бобмы падают близко, то исчисление Черча оказалось противоречивым, то доказали что некоторые усиленные варианты терии множеств противоречивы (с аксиомой об универсальной выбирающей функции)
Итак, при построении математики снизу вверх, от простого к сложному, вера в то, что все это работает, идет сверху, то есть правильность теории может быть проверена только более мощной теорией, и тд, и там где эта цепочка обрывается, остается верить