Про центральную предельную теорему

Физик-Лирик
Уже с Приветом
Posts: 4096
Joined: 19 Oct 2004 01:46

Про центральную предельную теорему

Post by Физик-Лирик » 16 May 2017 04:19

Одна из математических формулировок Центральной Предельной Теоремы:
Let X1, X2,... be i.i.d. (independent identically distributed) random variables such that E(X1) = mu (mean), Var(X1) = sigma^2. Let Sn = X1 + X2 + ... + Xn.
If n-> infinity then (Sn - Mean(Sn))/sqrt(Var(Sn)) converges in distribution to N(0, 1), i.e. normal distribution with zero mean and unit variance.

На практике более часто работают с такой формулировкой:
Given a population with mean = mu and SD = sigma. One takes "many" random samples of size n from this population. For each sample one computes its sample mean and then one considers sampling distribution of sample means. If n -> infinity then distribution of sample means converges in distribution to normal distribution N(mu, sigma^2/n), i.e. normal distribution with mean = mu (i.e. population mean, which is a consequence of the Law of Large Numbers) and
SD = sigma/sqrt(n).

Понятно, что и в первой формулировке все можно свести к N(mu, sigma^2/n).
Теперь вопрос. Как вторую формулировку свести к первой? В том смысле, что где эти случайные величины X1, X2, ....
У меня есть свое представление, но хочется услышать мнение экспертов.

User avatar
perasperaadastra
Уже с Приветом
Posts: 20128
Joined: 21 Feb 2009 22:55
Location: Лох Онтарио

Re: Про центральную предельную теорему

Post by perasperaadastra » 17 May 2017 05:13

Во второй формулировке случайными величинами являются sample means x̅i

E(∑ Xi) = ∑ E(Xi) = μ * n
Таким образом, E (x̅i) = E(∑ Xi/n) = μ

Return to “Наука и Жизнь”